2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5第1課時 等比數(shù)列的前n項和練習(xí) 新人教A版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5第1課時 等比數(shù)列的前n項和練習(xí) 新人教A版必修5.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5第1課時 等比數(shù)列的前n項和練習(xí) 新人教A版必修5
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+a,則a的值為( )
A.3 B.0
C.-1 D.任意實數(shù)
[答案] C
[解析] S1=a1=3+a,S2-S1=a2=32+a-3-a=6,S3-S2=a3=33+a-32-a=18,=,
所以a=-1.
2.若等比數(shù)列{an}各項都是正數(shù),a1=3,a1+a2+a3=21,則a3+a4+a5的值為( )
A.21 B.42
C.63 D.84
[答案] D
[解析] ∵a1+a2+a3=21,∴a1(1+q+q2)=21,
又∵a1=3,∴1+q+q2=7,
∵an>0,∴q>0,∴q=2,
∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=2221=84.
3.等比數(shù)列{an}中,已知前4項之和為1,前8項和為17,則此等比數(shù)列的公比q為( )
A.2 B.-2
C.2或-2 D.2或-1
[答案] C
[解析] S4=1,S8=S4+q4S4=1+q4=17∴q=2.
4.在等比數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和為Sn,若數(shù)列{an+1}成等差數(shù)列,則Sn等于( )
A.a(chǎn)n+1-a B.n(a+1)
C.na D.(a+1)n-1
[答案] C
[解析] 利用常數(shù)列a,a,a,…判斷,則存在等差數(shù)列a+1,a+1,a+1,…或通過下列運(yùn)算得到:2(aq+1)=(a+1)+(aq2+1),∴q=1,Sn=na.
5.已知等比數(shù)列前20項和是21,前30項和是49,則前10項和是( )
A.7 B.9
C.63 D.7或63
[答案] D
[解析] 由S10,S20-S10,S30-S20成等比數(shù)列,
∴(S20-S10)2=S10(S30-S20),
即(21-S10)2=S10(49-21),
∴S10=7或63.
6.已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則a1a2+a2a3+…+anan+1=( )
A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)
C.(1-4-n) D.(1-2-n)
[答案] C
[解析] ∵=q3=,∴q=.
∴anan+1=4()n-14()n
=25-2n,
故a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1
=23+21+2-1+2-3+…+25-2n
=
=(1-4-n).
二、填空題
7.(xx湖南理,14)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=________.
[答案] 3n-1
[解析] 考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).
∵3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,∴4S2=3S1+S3,∴4(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3?a3=3a2?q=3.
又∵{an}為等比數(shù)列,∴an=a1qn-1=3n-1.
[方法點(diǎn)撥] 條件或結(jié)論中涉及等差或等比數(shù)列中的兩項或多項的關(guān)系時,先觀察分析下標(biāo)之間的關(guān)系,再考慮能否應(yīng)用性質(zhì)解決,要特別注意等差、等比數(shù)列性質(zhì)的區(qū)別.
8.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,Sn=93,an=48,公比q=2,則項數(shù)n=________.
[答案] 5
[解析] 由Sn=93,an=48,公比q=2,得
?2n=32?n=5.
三、解答題
9.已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{2an}的前n項和Sn.
[解析] (1)由題設(shè),知公差d≠0,
由a1=1,a1,a3,a9成等比數(shù)列得
=,
解得d=1,或d=0(舍去).
故{an}的通項an=1+(n-1)1=n.
(2)由(1)知2an=2n,由等比數(shù)列前n項和公式,得
Sn=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
10.(xx福建文,17)等差數(shù)列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
[解析] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由已知得
解得
所以an=a1+(n-1)d=n+2.
(2)由(1)可得bn=2n+n.
所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)=+=(211-2)+55=211+53=2101.
一、選擇題
11.(xx新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)設(shè){an}是等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,對任意正整數(shù)n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,則S101的值為( )
A.2 B.200
C.-2 D.0
[答案] A
[解析] 設(shè)公比為q,∵an+2an+1+an+2=0,∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0,∴q2+2q+1=0,∴q=-1,又∵a1=2,
∴S101===2.
12.(xx福建理,8)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點(diǎn),且a,b,-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于( )
A.6 B.7
C.8 D.9
[答案] D
[解析] 由韋達(dá)定理得a+b=p,ab=q,因為p>0,q>0,則a>0,b>0,當(dāng)a,b,-2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時,-2必為等比中項,故ab=(-2)2=4,故q=4,b=.當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時,-2必不是等差中項,當(dāng)a是等差中項時,2a=-2,解得a=1,b=4,;當(dāng)b是等差中項時,=a-2,解得a=4,b=1,綜上所述,a+b=p=5,所以p+q=9,選D.
13.在各項為正數(shù)的等比數(shù)列中,若a5-a4=576,a2-a1=9,則a1+a2+a3+a4+a5的值是( )
A.1 061 B.1 023
C.1 024 D.268
[答案] B
[解析] 由a4(q-1)=576,a1(q-1)=9,
∴=q3=64,∴q=4,∴a1=3,
∴a1+a2+a3+a4+a5==1 023.
14.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和,已知a2a4=1,S3=7,則S5=( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] {an}是正數(shù)組成的等比數(shù)列,∴a3==1,又S3=7,∴,消去a1得,=7,解之得q=,∴a1=4,∴S5==.
二、填空題
15.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,S6=4S3,則a4=________.
[答案] 3
[解析] 若q=1時,S3=3a1,S6=6a1,顯然S6≠4S3,故q≠1,
∴=4,∴1+q3=4,∴q3=3.
∴a4=a1q3=3.
16.已知等比數(shù)列{an}共有2n項,其和為-240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比q=________.
[答案] 2
[解析] 由題意,得,
解得S奇=-80,S偶=-160,∴q===2.
三、解答題
17.(xx北京文,15)已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列{bn}滿足b1=4,b4=20,且{bn-an}為等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.
[解析] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得
d===3.
所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).
設(shè)等比數(shù)列{bn-an}的公比為q,由題意得
q3===8,解得q=2.
所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1,
從而bn=3n+2n-1(n=1,2,…).
(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,…).
數(shù)列{3n}的前n項和為n(n+1),數(shù)列{2n-1}的前n項和為1=2n-1.
所以,數(shù)列{bn}的前n項和為n(n+1)+2n-1.
18.(xx安徽文,18)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解析] (1)∵{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8,
∴??q3==8?q=2?an=a1qn-1=2n-1.
(2)由(1)可知Sn===2n-1,
∴bn=
=-.
∴Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)
=1-=.