2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料直線和圓，圓錐曲線一直線與圓1,兩點間的距離公式:設,則;2,線段的定比分點坐標公式:設,點分的比為,則 ,3,直線方程的各種形式(1),點斜式:; (2),斜截式:; (3),兩點式:(4),截距式: ;(5),一般式:不同為零);(6)參數(shù)方程:為參數(shù),為傾斜角,表示點與之間的距離)4,兩直線的位置關系設(或).則(1),且(或且);(2),(或).5,兩直線的到角公式與夾角公式:(1),到角公式:到的到角為,則,();(2),夾角公式:與的夾角為,則,().6,點到直線的距離:.7,圓的方程(1),標準方程:,其中為圓心坐標,R為圓半徑;(2),一般方程:,其中,圓心為,半徑為.(3),參數(shù)方程: ,其中圓心為,半徑為R.二圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線定義與兩個定點的距離的和等于常數(shù)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)與一個定點和一條定直線的距離相等標準方程(或),(或)(或)參數(shù)方程(或)(或)(或)焦點或或或正數(shù)a,b,c,p的關系()()離心率準線(或)(或)(或)漸近線(或)焦半徑(或)(,),(點在左或下支)(或)統(tǒng)一定義到定點的距離與到定直線的距離之比等于定值的點的集合,(注:焦點要與對應準線配對使用)三解題思想與方法導引.1,函數(shù)與方程思想 2,數(shù)形結合思想. 3,分類討論思想. 4,參數(shù)法. 5,整體處理例題講解1在平面直角坐標系中,方程為相異正數(shù)),所表示的曲線是（ ）2平面上整點(坐標為整數(shù)的點)到直線的距離中的最小值是（ ）A, B, C, D,3過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線,若此直線與拋物線交于A,B兩點,弦AB的中垂線與軸交于P點,則線段PF的長等于（ ） A, B, C, D,4若橢圓上一點P到左焦點的距離等于它到右焦點距離的2倍,則P點坐標為（ ） A, B, C, D,5過橢圓中心的弦AB,是右焦點,則的最大面積為（ ） A, B, C, D,6已知P為雙曲線上的任意一點,為焦點,若,則（ ）A, B, C, D,7給定點,已知直線與線段PQ(包括P,Q在內(nèi))有公共點,則的取值范圍是 .8過定點作直線交軸于Q點,過Q點作交軸于T點, 延長TQ至P點,使,則P點的軌跡方程是 .9已知橢圓與直線交于M,N兩點,且,(為原點),當橢圓的離心率時,橢圓長軸長的取值范圍是 .10已知是橢圓的兩個焦點,M是橢圓上一點,M到軸的距離為 ,且是和的等比中項,則的值等于 .11已知點A為雙曲線的左頂點,點B和點C在雙曲線的右分支上,是等邊三角形,則的面積等于 .12若橢圓()和雙曲線有相同的焦點 ,P為兩條曲線的一個交點,則的值為 .13設橢圓有一個內(nèi)接,射線OP與軸正向成角,直線AP,BP的斜率適合條件.(1),求證:過A,B的直線的斜率是定值;(2),求面積的最大值.14已知為常數(shù)且),動點P,Q分別在射線OA,OB上使得 的面積恒為36.設的重心為G,點M在射線OG上,且滿足.(1),求的最小值;(2),求動點M的軌跡方程.15過拋物線(為不等于2的素數(shù))的焦點F,作與軸不垂直的直線交拋物線于M,N兩點,線段MN的垂直平分線交MN于P點,交軸于Q點.(1),求PQ中點R的軌跡L的方程;(2),證明:L上有無窮多個整點,但L上任意整點到原點的距離均不是整數(shù).課后練習1已知點A為雙曲線的左頂點，點B和點C在雙曲線的右支上，是等邊三角形，則的面積是（A） （B） （C） （D）2平面上整點（縱、橫坐標都是整數(shù)的點）到直線的距離中的最小值是（A） （B） （C） （D）3若實數(shù)x, y滿足(x + 5)2+(y 12)2=142，則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 4直線橢圓相交于A，B兩點，該圓上點P，使得PAB面積等于3，這樣的點P共有(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個5設a，bR，ab0，那么直線axyb0和曲線bx2ay2ab的圖形是 yyyyxxxx A B C D 6過拋物線y28(x2)的焦點F作傾斜角為60o的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于P點，則線段PF的長等于A B CD7方程表示的曲線是A. 焦點在x軸上的橢圓B. 焦點在x軸上的雙曲線C. 焦點在y軸上的橢圓D. 焦點在y軸上的雙曲線8在橢圓中，記左焦點為F，右頂點為A，短軸上方的端點為B。若該橢圓的離心率是，則= 。9設F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1| : |PF2|2 : 1，則三角形PF1F2的面積等于_10在平面直角坐標系XOY中，給定兩點M（1，2）和N（1，4），點P在X軸上移動，當取最大值時，點P的橫坐標為_。11若正方形ABCD的一條邊在直線上，另外兩個頂點在拋物線上.則該正方形面積的最小值為 .12已知：和：。試問：當且僅當a,b滿足什么條件時，對任意一點P，均存在以P為頂點、與外切、與內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結論。13 設曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個公共點P。（1）實數(shù)m的取值范圍（用a表示）；（2）O為原點，若C1與x軸的負半軸交于點A，當0<a<時，試求OAP的面積的最大值（用a表示）。14已知點和拋物線上兩點使得，求點的縱坐標的取值范圍15一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點A，且OAa. 拆疊紙片，使圓周上某一點A/ 剛好與A點重合，這樣的每一種拆法，都留下一條直線折痕，當A/取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合16（04，14）在平面直角坐標系xoy中，給定三點，點P到直線BC的距離是該點到直線AB，AC距離的等比中項。（）求點P的軌跡方程；（）若直線L經(jīng)過的內(nèi)心（設為D），且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率k的取值范圍。17過拋物線上的一點A（1,1）作拋物線的切線，分別交軸于D，交軸于B.點C在拋物線上，點E在線段AC上，滿足;點F在線段BC上，滿足，且，線段CD與EF交于點P.當點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程.課后練習答案1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90 9.10.設橢圓的長軸、短軸的長及焦矩分別為2a、2b、2c，則由其方程知a3，b2，c，故，|PF1|PF2|2a6，又已知PF1|：|PF2|2：1，故可得|PFl|4，|PF2|2在PFlF2中，三邊之長分別為2，4，2，而2242(2)2，可見PFlF2是直角三角形，且兩直角邊的長為2和4，故PFlF2的面積411. 解：經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3x上，設圓心為S（a，3a），則圓S的方程為：對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當取最大值時，經(jīng)過M，N，P三點的圓S必與X軸相切于點P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=7。即對應的切點分別為，而過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點P（1，0）為所求，所以點P的橫坐標為1。12.解：設正方形的邊AB在直線上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標為、，則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得令正方形邊長為則在上任取一點（6，,5），它到直線的距離為.、聯(lián)立解得或13.利用極坐標解決：以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為-（1）顯知此平行四邊形ABCD必為菱形，設A，則B代入（1）式相加：由于該菱形必與單位圓相切，故原點到AB的距離為1，從而，14. 解：(1)由 消去y得： 設，問題(1)化為方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需討論以下三種情況： 10得：，此時xpa2，當且僅當aa2a，即0a1時適合； 2f (a)f (a)0，當且僅當ama； 3f (a)0得ma，此時xpa2a2，當且僅當aa2a2a，即0a1時適合 f (a)0得ma，此時xpa2a2，由于a2a2a，從而ma 綜上可知，當0a1時，或ama； 當a1時，ama (2)OAP的面積 0a，故ama時，0a， 由唯一性得 顯然當ma時，xp取值最小由于xp0，從而yp取值最大，此時， 當時，xpa2，yp，此時 下面比較與的大?。?令，得 故當0a時，此時 當時，此時 15.解：設點坐標為，點坐標為顯然，故由于，所以從而，消去，注意到得：由解得：或當時，點的坐標為；當時，點的坐標為，均滿足是題意故點的縱坐標的取值范圍是或16.解：如圖，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系，則有A(a，0)設折疊時，O上點A/()與點A重合，而折痕為直線MN，則 MN為線段AA/的中垂線設P(x，y)為MN上任一點，則PA/PA5分即10分 可得：1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化為1，即所求點的集合為橢圓圓1外(含邊界)的部分20分17. 解：（）直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設，即，化簡得點P的軌跡方程為圓S： （）由前知，點P的軌跡包含兩部分圓S： 與雙曲線T：因為B（1，0）和C（1，0）是適合題設條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。的內(nèi)心D也是適合題設條件的點，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設L的方程為（i）當k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。.10分（ii）當時，L與圓S有兩個不同的交點。這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：情況1：直線L經(jīng)過點B或點C，此時L的斜率，直線L的方程為。代入方程得，解得。表明直線BD與曲線T有2個交點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F。故當時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。情況2：直線L不經(jīng)過點B和C（即），因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組有且只有一組實數(shù)解，消去y并化簡得該方程有唯一實數(shù)解的充要條件是或解方程得，解方程得。綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。18.解一：過拋物線上點A的切線斜率為：切線AB的方程為的坐標為是線段AB的中點. 設、，則由知，得EF所在直線方程為：化簡得當時，直線CD的方程為：聯(lián)立、解得，消去，得P點軌跡方程為： 當時，EF方程為：方程為：，聯(lián)立解得也在P點軌跡上.因C與A不能重合，所求軌跡方程為 解二：由解一知，AB的方程為故D是AB的中點. 令則因為CD為的中線，而是的重心. 設因點C異于A，則故重心P的坐標為消去得故所求軌跡方程為 例題答案：1,D 令,得,令得,由此可見,曲線必過四個點:,從結構特征看,方程表示的曲線是以這四點為頂點的四邊形,易知它是非正方形的菱形.2,B ,當(可取)時, (其中為平面上任意整點).3,A 此拋物線的焦點與原點重合,得直線AB的方程為,因此A,B兩點的橫坐標滿足方程:.由此求得弦AB中點的橫坐標,縱坐標,進而求得其中垂線方程為,令,得P點的橫坐標,即PF=.4,C 設,又橢圓的右準線為,而,且,得,又,得,代入橢圓方程得.5,A (1)當軸時,;(2)當AB與軸不垂直時,設AB的方程為,由消去得.設,則,.6,A 由,得,.7, 設線段PQ上任意一點且令,則=,故,由得,解得.8, 設直線的方程為,則Q點坐標為,直線QT的方程為 ,所以T點坐標為,從而P點坐標為,設P的坐標為,則,消去可得P點軌跡方程為.9, 由,可得 由得,即,將,代入得,即,因為,得,得,有,解得.10, 延長NM與橢圓的右準線:相交于D,設,則,因,得,又,得,故.11, 設點C在軸上方,由是等邊三角形得直線AB的斜率,又直線 過點,故方程為,代入雙曲線方程,得點B的坐標為,同理可得C的坐標為,所以的面積為.12, 不妨設P為第一象限的一點,則,.得,于是.13,:(1)證明:易知直線OP的方程為,將此方程代入,可求得交點P(1, .由題意可設直線PA,PB的方程分別為和,分別與橢圓方程聯(lián)立,可求得A,B的橫坐標分別為,.從而,所以(定值).(2)不妨設直線AB的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,并消去得+,有 =點P到戰(zhàn)線AB的距離,所以=,當且僅當,即時,.14,解(1),以O為原點,的平分線為軸建立直角坐標系,則可設.于是的重心的坐標為 , =.又已知得,于是,且當時等號成立,故.(2),設,則由得,=b),得,代入,并整理得,這就是所求動點M的軌跡方程.15,解:(1)拋物線的焦點為,設的直線方程為.由得,設M,N的橫坐標分別為則,得,而,故PQ的斜率為,PQ的方程為.代入得.設動點R的坐標,則,因此,故PQ中點R的軌跡L的方程為.(2),顯然對任意非零整數(shù),點都是L上的整點,故L上有無窮多個整點.反設L上有一個整點(x,y)到原點的距離為整數(shù)m,不妨設,則,因為是奇素數(shù),于是,從可推出,再由可推出,令,則有,由,得,于是,即,于是,得,故,有,但L上的點滿足,矛盾!因此,L上任意點到原點的距離不為整數(shù).