2019-2020年高一數(shù)學上 第三章 數(shù)列：3.3.1 等差數(shù)列的前n項和1優(yōu)秀教案 教學目的： 1．掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路． 2．會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題 教學重點：等差數(shù)列n項和公式的理解、推導及應 教學難點：靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關問題 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析： 本節(jié)是在學習了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的基礎上，使學生掌握等差數(shù)列求和公式，并能利用它求和解決數(shù)列和的最值問題等差數(shù)列求和公式的推導，采用了倒序相加法，思路的獲得得益于等到差數(shù)列任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和這一性質(zhì)的認識和發(fā)現(xiàn)通過對等差數(shù)列求和公式的推導，使學生能掌握“倒序相加”數(shù)學方法 教學過程： 一、復習引入： 首先回憶一下前幾節(jié)課所學主要內(nèi)容： 1．等差數(shù)列的定義： －=d ，（n≥2，n∈N） 2．等差數(shù)列的通項公式： (或=pn+q (p、q是常數(shù))) 3．幾種計算公差d的方法： ① d=－ ② d= ③ d= 4．等差中項：成等差數(shù)列 5．等差數(shù)列的性質(zhì)： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) 6．數(shù)列的前n項和： 數(shù)列中，稱為數(shù)列的前n項和，記為. “小故事”: 高斯是偉大的數(shù)學家，天文學家，高斯十歲時,有一次老師出了一道題目, 老師說: “現(xiàn)在給大家出道題目: 1+2+…100=?” 過了兩分鐘,正當大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說： “1+2+3+…+100=5050 教師問：“你是如何算出答案的？ 高斯回答說：因為1+100=101； 2+99=101；…50+51=101，所以 10150=5050” 這個故事告訴我們： （1）作為數(shù)學王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西 （2）該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法 二、講解新課： 如圖，一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆? 這是一堆放鉛筆的V形架，這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖，看到此圖，大家都會很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關系，而且可以用一個式子來表示這種關系，利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么，這個V形架上共放著多少支鉛筆呢？這個問題又該如何解決呢？經(jīng)過分析，我們不難看出，這是一個等差數(shù)求和問題？ 這個問題，它也類似于剛才我們所遇到的“小故事”問題，它可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，…，n,…的前120項的和.在上面的求解中，我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項、末項及項數(shù)n來表示，且任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和，這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項的和.如果我們可歸納出一計算式，那么上述問題便可迎刃而解. 1．等差數(shù)列的前項和公式1： 證明： ① ② ①+②： ∵ ∴ 由此得： 從而我們可以驗證高斯十歲時計算上述問題的正確性 2． 等差數(shù)列的前項和公式2： 用上述公式要求必須具備三個條件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必須已知三個條件： （有時比較有用） 總之：兩個公式都表明要求必須已知中三個 公式二又可化成式子： ，當d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式 三、例題講解 例1 一個堆放鉛筆的V型的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆？ 解：由題意可知，這個V形架上共放著120層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆成等差數(shù)列，記為，其中，根據(jù)等差數(shù)列前n項和的公式，得 答：V形架上共放著7260支鉛筆 例2 等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項的和是54？ 解：設題中的等差數(shù)列為，前n項為 則 由公式可得 解之得：（舍去） ∴等差數(shù)列-10，-6，-2，2…前9項的和是54 例3 .已知等差數(shù)列{}中=13且=,那么n取何值時,取最大值. 解法1：設公差為d，由=得： 313+32d/2=1113+1110d/2 d= -2, =13-2(n-1), =15-2n, 由即得：6.5≤n≤7.5,所以n=7時,取最大值. 解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以 = - n+14 n = -（n-7）+49 ∴當n=7，取最大值 對等差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法: （1） 利用: 當>0，d<0，前n項和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值 當<0，d>0，前n項和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值 （2） 利用： 由利用二次函數(shù)配方法求得最值時n的值 四、練習： 1．求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和 解：由得 ∴正整數(shù)共有14個即中共有14個元素 即：7，14，21，…，98 是 ∴ 答：略 2. 已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220， 求其前項和的公式. 解：由題設： 得： ∴ 五、小結 本節(jié)課學習了以下內(nèi)容： 1.等差數(shù)列的前項和公式1： 2.等差數(shù)列的前項和公式2： 3.，當d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式 4.對等差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法: （3） 利用: 當>0，d<0，前n項和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值 當<0，d>0，前n項和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值 （4） 利用：二次函數(shù)配方法求得最值時n的值 六、課后作業(yè)： 已知等差數(shù)列的前項和為，前項和為，求前項和． 解：由題設 ∴ 而 .