2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-11橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線幾何條件與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>0，b>0)y22px(p>0)圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)(0，b)(a,0)(0,0)對(duì)稱軸x軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a；y軸，短軸長(zhǎng)2bx軸，實(shí)軸長(zhǎng)2a；y軸，虛軸長(zhǎng)2bx軸焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)c(c,0)c(，0)離心率0<e<1，ee>1，ee1準(zhǔn)線xxx漸近線yx(1)曲線與方程：如果曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，那么，這條曲線叫做方程的曲線，這個(gè)方程叫做曲線的方程(2)圓錐曲線的共同特征：圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比是定值e；當(dāng)0<e<1時(shí)，圓錐曲線是橢圓；當(dāng)e>1時(shí)，圓錐曲線是雙曲線；當(dāng)e1時(shí)，圓錐曲線是拋物線3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線和圓錐曲線的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交設(shè)直線l的方程為AxByC0，與圓錐曲線D的方程聯(lián)立可得(消去y)ax2bxc0(*)(1)當(dāng)a0時(shí)，若關(guān)于x的方程(*)的判別式>0，則直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)；若<0，則直線與圓錐曲線沒(méi)有交點(diǎn)；若0，則直線與圓錐曲線相切(2)當(dāng)a0時(shí)，若方程(*)有解，則直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)題型一圓錐曲線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用橢圓、雙曲線、拋物線的定義是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，往往體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化與化歸思想圓錐曲線的幾何性質(zhì)包括橢圓、雙曲線、拋物線的對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率，雙曲線的漸近線，拋物線的準(zhǔn)線等內(nèi)容，主要考查這些性質(zhì)的理解記憶例1如圖，已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(1)；一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1k21.(1)解由題意知，橢圓離心率為，得ac，又由以橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(1)，結(jié)合橢圓定義得2a2c4(1)，所以可解得a2，c2，故b2a2c24，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.易得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則k1，k2，所以k1k2，又點(diǎn)P(x0，y0)在雙曲線上，所以有1，即yx4，所以k1k21.跟蹤演練1已知橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B，O為原點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)過(guò)F、B、C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(m，n)(1)當(dāng)mn0時(shí)，求橢圓的離心率的取值范圍；(2)當(dāng)(1)的條件下，橢圓的離心率最小時(shí)，若點(diǎn)D(b1,0)，()的最小值為，求橢圓的方程解(1)設(shè)半焦距為c.由題意得FC、BC的中垂線方程分別為x、y，于是圓心坐標(biāo)為.所以mn0，即abbcb2ac0，即(ab)(bc)0，所以bc，于是b2c2，即a2b2c22c2，所以e2，即e1.(2)由(1)知emin，abc，此時(shí)橢圓的方程為1，設(shè)P(x，y)，則cxc，所以()x2xc2(x1)2c2.當(dāng)c時(shí)，上式的最小值為c2，即c2，得c2；當(dāng)0c時(shí)，上式的最小值為(c)2cc2，即(c)2cc2，解得c，與0c矛盾，舍去綜上所述，橢圓的方程為1.題型二與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題軌跡是動(dòng)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，軌跡的條件可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)求軌跡方程的基本方法是(1)直接法求軌跡方程：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)條件列出方程；(2)待定系數(shù)法求軌跡方程：根據(jù)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)定義法求軌跡方程：動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足圓錐曲線的定義；(4)代入法求軌跡方程：動(dòng)點(diǎn)M(x，y)取決于已知曲線C上的點(diǎn)(x0，y0)的坐標(biāo)變化，根據(jù)兩者關(guān)系，得到x，y，x0，y0的關(guān)系式，用x，y表示x0，y0，代入曲線C的方程例2如圖，已知線段AB4，動(dòng)圓O1與線段AB切于點(diǎn)C，且ACBC2，過(guò)點(diǎn)A、B分別作圓O1的切線，兩切線交于點(diǎn)P，且P、O1均在AB的同側(cè)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程解建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(2,0)，B(2,0)，由切線長(zhǎng)定理得ACBCPAPB2<4，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(不包括頂點(diǎn))a，c2，b22.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2y22 (x>)跟蹤演練2若動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N(2,0)，且與另一圓M：(x2)2y28相外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程解設(shè)P(x，y)，因?yàn)閯?dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N，所以PN是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，所以有PMPN2，即PMPN2，故點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距MN為4的雙曲線的左支，即a，c2，所以b，從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為1 (x)題型三圓錐曲線的綜合問(wèn)題圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、最值、范圍問(wèn)題是圓錐曲線的綜合問(wèn)題，它是解析法的應(yīng)用，它涉及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線知識(shí)的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識(shí)與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識(shí)的橫向聯(lián)系解這類問(wèn)題的分析思想與方法是可循的，重要的是要善于掌握?qǐng)A錐曲線知識(shí)縱向、橫向的聯(lián)系，努力提高解題能力例3如圖，設(shè)A(a,0) (a>0)，B、C分別為x軸、y軸上的點(diǎn)，非零向量滿足：2，.(1)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)設(shè)Q是曲線E上異于P的點(diǎn)，且0，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)(1)解設(shè)B(x0,0)，C(0，y0)，P(x，y)2，C是BP的中點(diǎn)，易知(x0，y0)，(a，y0)，由，即，得ax0y0，axy20，即y24ax.又(2x，y)0，P點(diǎn)的軌跡方程是y24ax (a>0，x0)(2)證明0，OPOQ，顯然直線OP的斜率存在，且不為0，可設(shè)直線OP：ykx，則直線OQ：yx，由得P；由得Q(4ak2，4ak)當(dāng)k1時(shí)，直線PQ的方程為x4a，過(guò)定點(diǎn)(4a,0)；當(dāng)k1時(shí)，直線PQ的方程為，整理得k(x4a)(k21)y0，k0，過(guò)定點(diǎn)(4a,0)綜上，直線PQ必過(guò)定點(diǎn)(4a,0)跟蹤演練3如圖，已知A(3p,0) (p>0)，B、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿足0，.(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點(diǎn)，A(3p,0)，求直線AE，AF的斜率之和解(1)設(shè)Q(x，y)，B(0，y0)，C(x0,0)，則(x0，y0)，(xx0，y)，(x0，y0)(xx0，y)，即x0，y0.B，C.又A(3p,0)，由0，得3pxy20，即y24px.Q點(diǎn)的軌跡方程為y24px (p>0)(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為yk(x3p) (k0)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)聯(lián)立方程組消去x，得y2y3kp0.y1y212p2，kAEkAF，又y4px1，y4px2，kAEkAF.由y1y212p2，得kAEkAF0.1圓錐曲線的定義是圓錐曲線問(wèn)題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn)，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，高考對(duì)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的考查方式有兩種：一個(gè)是在解答題中作為試題的入口進(jìn)行考查；二是在填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)進(jìn)行考查3圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，高考對(duì)此進(jìn)行重點(diǎn)考查，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，試題一般以圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進(jìn)行交匯命題4雖然考綱中沒(méi)有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)合的知識(shí)，但直線與圓錐曲線是密不可分的，如雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線，圓錐曲線的對(duì)稱軸等都是直線高考不但不回避直線與圓錐曲線，而且在試題中進(jìn)行重點(diǎn)考查，考查方式既可以是填空題，也可以是解答題5考綱對(duì)曲線與方程的要求是“了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，高考對(duì)曲線與方程的考查主要體現(xiàn)在以利用圓錐曲線的定義和待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，以直接法、代入法等方法求圓錐曲線的方程6高考對(duì)圓錐曲線的考查是綜合性的，這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識(shí)的相互交匯，高考對(duì)圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進(jìn)行，一般以橢圓或者拋物線為依托，全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問(wèn)題中的綜合運(yùn)用