2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明章末檢測2 蘇教版選修1-2一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1在ABC中，E、F分別為AB，AC的中點(diǎn)，則有EFBC，這個問題的大前提為_答案三角形的中位線平行于第三邊解析這個三段論推理的形式為：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：EF為ABC的中位線；結(jié)論：EFBC.2對大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運(yùn)算有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根據(jù)上述分解規(guī)律，若m213511，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，則mn_.答案11解析m213511636，m6.2335,337911，4313151719，532123252729，n3的分解中最小的數(shù)是21，n353，n5，mn6511.3用反證法證明命題“是無理數(shù)”時，其反證假設(shè)是_答案是有理數(shù)解析應(yīng)對結(jié)論進(jìn)行否定，則不是無理數(shù)，即是有理數(shù)4已知f(x1)，f(1)1(xN*)，猜想f(x)的表達(dá)式為_答案解析當(dāng)x1時，f(2)，當(dāng)x2時，f(3)；當(dāng)x3時，f(4)，故可猜想f(x).5對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab與bc及ac中至少有一個成立；ac，bc，ab不能同時成立其中判斷正確的個數(shù)為_答案1解析若(ab)2(bc)2(ca)20，則abc，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故正確ab與bc及ac中最多只能有一個成立，故不正確由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個數(shù)相等或三個數(shù)都互不相等，故不正確6我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體下列幾何體中，一定屬于相似體的有_個兩個球體；兩個長方體；兩個正四面體；兩個正三棱柱；兩個正四棱錐答案2解析類比相似形中的對應(yīng)邊成比例知，屬于相似體7數(shù)列an滿足a1，an11，則axx等于_答案1解析a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)axxa23671a21.8若數(shù)列an中，a11，a235，a37911，a413151719，則a8_.答案512解析由a1，a2，a3，a4的形式可歸納：1234728，a8的首項(xiàng)應(yīng)為第29個正奇數(shù)，即229157.a85759616365676971512.9在數(shù)列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和)，則S2，S3，S4分別為_，猜想Sn_.答案，(nN*)解析由Sn，Sn1,2S1成等差數(shù)列，得2Sn1Sn2S1，因?yàn)镾1a11，所以2Sn1Sn2.令n1，則2S2S12123S2，同理，分別令n2，n3，可求得S3，S4.由S11，S2，S3，S4，猜想Sn.10黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是_答案4n2解觀察可知：除第一個以外，每增加一個黑色地板磚，相應(yīng)的白地板磚就增加四個，因此第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是一個“以6為首項(xiàng)，公差是4的等差數(shù)列的第n項(xiàng)”故第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是4n2.11觀察下列等式：(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135按此規(guī)律，第n個等式可為_答案(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)12f(n)1(nN*)，經(jīng)計(jì)算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推測當(dāng)n2時，有_答案f(2n)>(n2)解析觀測f(n)中n的規(guī)律為2k(k1,2，)不等式右側(cè)分別為，k1,2，f(2n)>(n2)13已知2，3，4，若6(a，b均為實(shí)數(shù))，推測a_，b_.答案635解析由前面三個等式，推測被開方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律由三個等式知，整數(shù)和這個分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是分子的平方減1，由此推測中，a6，b62135，即a6，b35.14在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為，把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖所示)，面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是_答案解析CE平分ACB，而面CDE平分二面角ACDB.可類比成，故結(jié)論為.二、解答題(本大題共6小題，共90分)15(14分)已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù)求證三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一個方程有兩個相異實(shí)根證明反證法：假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實(shí)根，則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20.由題意a、b、c互不相等，式不能成立假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實(shí)根16(14分)設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？(1)證明假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因?yàn)閍10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)解當(dāng)q1時，Snna1，故Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時，Sn不是等差數(shù)列，否則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，這與公比q0矛盾17(14分)請你把不等式“若a1，a2是正實(shí)數(shù)，則有a1a2”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論解推廣的結(jié)論：若a1，a2，an都是正實(shí)數(shù)，則有a1a2an.證明：a1，a2，an都是正實(shí)數(shù)，a22a1；a32a2；an2an1；a12an，a1a2an.18(16分)已知a，b，c為正數(shù)，且f(n)lg，求證：2f(n)f(2n)證明要證2f(n)f(2n)只需證2即證(anbncn)23(a2nb2nc2n)即2anbn2cnbn2ancn2(a2nb2nc2n)a2nb2n2anbn，a2nc2n2ancn，b2nc2n2bncn2anbn2cnbn2ancn2(a2nb2nc2n)原不等式成立19(16分)正實(shí)數(shù)數(shù)列an中，a11，a25，且a成等差數(shù)列證明數(shù)列an中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)證明由已知有：a124(n1)，從而an，取n1242k1，則an(kN*)用反證法證明這些an都是無理數(shù)假設(shè)an為有理數(shù)，則an必為正整數(shù)，且an24k，故an24k1，an24k1，與(an24k)(an24k)1矛盾，所以an(kN*)都是無理數(shù)，即數(shù)列an中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)20(16分)設(shè)a，b，c為一個三角形的三條邊，s(abc)，且s22ab，試證：s2a.證明要證s2a，由于s22ab，所以只需證s，即證bs.因?yàn)閟(abc)，所以只需證2babc，即證bac.由于a，b，c為一個三角形的三條邊，所以上式成立，于是原命題成立