2019-2020年高中數學 第3章 空間向量與立體幾何 1.3空間向量基本定理 蘇教版選修2-1課時目標1.掌握空間向量基本定理.2.能正確選擇合適基底，并正確表示空間向量1空間向量基本定理如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序實數組(x，y，z)，使得_由此可知，如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量組成的集合就是_這個集合可看作是由向量e1，e2，e3生成的，我們把_叫做空間的一個基底，_都叫做基向量空間任何三個不共面的向量都可構成空間的一個基底2正交基底與單位正交基底如果空間一個基底的三個基向量是_，那么這個基底叫做正交基底，當一個正交基底的三個基向量都是_時，稱這個基底為單位正交基底，通常用_表示3推論設O，A，B，C是_的四點，則對空間任意一點P，都存在惟一的有序實數組(x，y，z)，使得_一、填空題1若存在實數x、y、z，使xyz成立，則下列判斷正確的是_(寫出正確的序號)對于某些x、y、z的值，向量組，不能作為空間的一個基底；對于任意的x、y、z的值，向量組，都不能作為空間的一個基底；對于任意的x、y、z的值，向量組，都能作為空間的一個基底；根據已知條件，無法作出相應的判斷2.設O-ABC是四面體，G1是ABC的重心，G是OG1上的一點，且xyz，則(x，y，z)為_3在以下3個命題中，真命題的個數是_三個非零向量a，b，c不能構成空間的一個基底，則a，b，c共面；若兩個非零向量a，b與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則a，b共線；若a，b是兩個不共線向量，而cab(，R且0)，則a，b，c構成空間的一個基底4若a，b，c是空間的一個基底，則下列各組中能構成空間一個基底的是_(寫出符合要求的序號)a,2b,3c；ab，bc，ca；a2b,2b3c,3a9c；abc，b，c.5已知點A在基底a，b，c下的坐標為(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，則點A在基底i，j，k下的坐標是_6下列結論中，正確的是_(寫出所有正確的序號)若a、b、c共面，則存在實數x，y，使axbyc；若a、b、c不共面，則不存在實數x，y，使axbyc；若a、b、c共面，b、c不共線，則存在實數x，y，使axbyc；若axbyc，則a、b、c共面7.如圖所示，空間四邊形OABC中，a，b，c，點M在OA上且OMMA，BNNC，則_.8命題：若a與b共線，b與c共線，則a與c共線；向量a、b、c共面，則它們所在的直線也共面；若a與b共線，則存在惟一的實數，使ba.上述命題中的真命題的個數是_二、解答題9已知向量a，b，c是空間的一個基底，那么向量ab，bc，ca能構成空間的一個基底嗎？為什么？10.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點（1）化簡：；(2)設E是棱DD1上的點且，若xyz，試求x、y、z的值能力提升11.如圖所示，已知平行六面體ABCDABCD.求證：2.12.如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是ABC、OBC的重心，設a，b，c，試用向量a、b、c表示向量.1空間的一個基底是空間任意三個不共面的向量，空間的基底可以有無窮多個一個基底是不共面的三個向量構成的一個向量組，一個基向量指一個基底的某一個向量2利用向量解決立體幾何中的一些問題時，其一般思路是將要解決的問題用向量表示，用已知向量表示所需向量，對表示出的所需向量進行運算，最后再將運算結果轉化為要解決的問題31.3空間向量基本定理知識梳理1pxe1ye2ze3p|pxe1ye2ze3，x，y，zRe1，e2，e3e1，e2，e32兩兩互相垂直單位向量i，j，k3不共面xyz作業(yè)設計1解析當，共面時，則，共面，故不能構成空間的一個基底2(，)解析因為()()()()，而xyz，所以x，y，z.32解析命題，是真命題，命題是假命題4解析3(a2b)3(2b3c)(3a9c)0，3a9c3(a2b)3(2b3c)，即三向量3a9c，a2b,2b3c共面5(12,14,10)解析設點A在基底a，b，c下對應的向量為p，則p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故點A在基底i，j，k下的坐標為(12,14,10)6解析要注意共面向量定理給出的一個充要條件所以第個命題正確但定理的應用又有一個前提：b、c是不共線向量，否則即使三個向量a、b、c共面，也不一定具有線性關系，故不正確，正確7abc809解假設ab，bc，ca共面，則存在實數、使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c為基底，a，b，c不共面此方程組無解ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作為空間的一個基底10解(1)，().(2)()，x，y，z.11證明因為平行六面體的六個面均為平行四邊形，所以，.所以()()()2()又因為，所以，故2.12解，()(bc)，()()a(bc)，(bc)a(bc)a，即a.