2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-11空間向量(1)空間向量的知識(shí)脈絡(luò)：向量的概念向量的運(yùn)算基本定理直角坐標(biāo)系向量的坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用(2)空間向量的概念：定義：具有大小和方向的量稱(chēng)為向量；向量相等：長(zhǎng)度相等且方向相同(3)空間向量的運(yùn)算：加法法則：平行四邊形法則，三角形法則；減法法則：三角形法則；向量的數(shù)量積：ab|a|b|cos(為a與b的夾角)(4)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則加減法：ab(x1x2，y1y2，z1z2)；實(shí)數(shù)與向量積：a(x1，y1，z1)；數(shù)量積：abx1x2y1y2z1z2；a的模：|a|.(5)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a、b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b；且規(guī)定0a，b，顯然有a，bb，a；若a，b，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作ab.令a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則cosa，b.(6)空間向量平行、垂直的條件：兩向量垂直：abab0；兩向量平行：abba(a為非零向量)(7)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使pxaybzc.(8)空間共面向量定理：如果兩個(gè)向量a、b不共線，則向量c與向量a、b共面的充要條件是存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使cxayb.2平面的法向量若向量a所在直線垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作a，如果a，那么向量a叫做平面的法向量3用空間向量處理立體幾何問(wèn)題的常用方法(1)證明空間的平行證明直線與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明平面與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量平行證明直線和平面平行，也可以使用下面的定理：如圖，已知直線a平面，A，Ba，C，D，且C、D、E三點(diǎn)不共線，則a的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使.使用此定理時(shí)，我們常設(shè)，求，；若，存在即可證明a；若，不存在，則直線a與平面相交圖圖圖(2)證明空間的垂直證明直線與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線；證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量互相垂直(3)求空間的角立體幾何中的角的計(jì)算，均可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角的計(jì)算：異面直線所成角即為異面直線上兩向量的夾角，但要注意向量的夾角范圍是0，而異面直線所成角的范圍是(0，平面的斜線的方向向量與平面法向量的夾角余弦的絕對(duì)值等于該斜線與平面所成角的正弦，由此可求斜線與平面所成的角如圖，設(shè)n1，n2分別是二面角l中平面，的法向量，則n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角(4)求空間的距離兩平行平面間的距離、直線與平面的距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離；利用法向量可求點(diǎn)到平面的距離：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中A，則點(diǎn)B到平面的距離為.題型一空間向量及其運(yùn)算空間向量的運(yùn)算主要包括空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律與平面向量基本一致主要考查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運(yùn)算，這是用向量法求解立體幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)例1沿著正四面體OABC的三條棱、的方向有大小等于1、2和3的三個(gè)力f1，f2，f3.試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦值解如圖所示，用a，b，c分別代表棱、上的三個(gè)單位向量，則f1a，f22b，f33c，則ff1f2f3a2b3c，|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos606cos6012cos601423625，|f|5，即所求合力的大小為5.且cosf，a，同理可得：cosf，b，cosf，c.跟蹤演練1如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：0；0；0；0，其中正確結(jié)論的序號(hào)是_答案解析容易推出：0，所以正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正確，其余三個(gè)都不正確，故正確結(jié)論的序號(hào)是.題型二利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系向量作為工具來(lái)研究幾何，真正把幾何的形與代數(shù)中的數(shù)實(shí)現(xiàn)了有機(jī)結(jié)合；給立體幾何的研究帶來(lái)了極大的便利，利用空間向量可以方便地論證空間中的一些線面位置關(guān)系，如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等例2正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：平面AED平面A1FD1.證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則E(1,1，)、D1(0,0,1)、F(0，0)、A(1,0,0)(1,0,0)，(1,1，)，(0，1)設(shè)m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分別是平面AED和A1FD1的一個(gè)法向量，由令y11，得m(0,1，2)又由令z21，得n(0,2,1)mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.跟蹤演練2如圖，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D為AB的中點(diǎn)，ACBCBB1.求證：(1)BC1AB1；(2)BC1平面CA1D.證明如圖，以C1為原點(diǎn)，分別以C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ACBCBB12，則A(2，0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2，0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)由于(0，2，2)，(2,2，2)，因此0440，因此，故BC1AB1.(2)取A1C的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，由于E(1,0,1)，所以(0,1,1)，又(0，2，2)，所以，又ED和BC1不共線，所以EDBC1，又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D.題型三利用空間向量求空間角1求異面直線所成的角設(shè)兩異面直線的方向向量分別為n1、n2，那么這兩條異面直線所成的角為n1，n2或n1，n2，cos|cosn1，n2|.2求斜線與平面所成的角如圖，設(shè)平面的法向量為n1，斜線OA的方向向量為n2，斜線OA與平面所成的角為，則sin|cosn1，n2|.3求二面角的大小如圖，設(shè)平面、的法向量分別為n1、n2.因?yàn)閮善矫娴姆ㄏ蛄克傻慕?或其補(bǔ)角)就等于平面、所成的銳二面角，所以cos|cosn1，n2|.例3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D為AB的中點(diǎn)(1)求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值解(1)由ACBC，D為AB的中點(diǎn)，得CDAB，又CDAA1，AA1ABA，故CD面A1ABB1，所以點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離為CD.(2)如圖，過(guò)D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)直三棱柱的高為h，則A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，C1(0，h)，從而(4,0，h)，(2，h)，由，有8h20，h2.故(2,0,2)，(0,0,2)，(0，0)設(shè)平面A1CD的法向量為m(x1，y1，z1)，則m，m，即取z11，得m(，0,1)設(shè)平面C1CD的法向量為n(x2，y2，z2)，則n，n，即取x21，得n(1,0,0)，所以cosm，n.所以二面角A1CDC1的平面角的余弦值為.跟蹤演練3如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE與AD的交點(diǎn)，ACBC，且ACBC.(1)求證：AM平面EBC；(2)求直線AB與平面EBC所成角的大??；(3)求二面角AEBC的大小(1)證明四邊形ACDE是正方形，EAAC，平面ACDE平面ABC，EA平面ABC.可以以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過(guò)A點(diǎn)平行于BC的直線為x軸，分別以AC和AE所在直線為y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)EAACBC2，則A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)M是正方形ACDE的對(duì)角線的交點(diǎn)，M(0,1,1)(0,1,1)，(0,2,0)(0,0,2)(0,2，2)，(2,2,0)(0,2,0)(2,0,0)，0，0.AMEC，AMCB.又ECCBC，AM平面EBC.(2)解AM平面EBC，為平面EBC的一個(gè)法向量(0,1,1)，(2,2,0)，cos，.，60.直線AB與平面EBC所成的角為30.(3)解設(shè)平面EAB的法向量為n(x，y，z)，則n且n，n0且n0.即取y1，x1.n(1，1,0)又為平面EBC的一個(gè)法向量，且(0,1,1)，cosn，.設(shè)二面角AEBC的平面角為，由圖可知為銳角，則cos|cosn，|，60.二面角AEBC等于60.空間向量的引入為空間幾何問(wèn)題的解決提供了新的思路，作為解決空間幾何問(wèn)題的重要工具，對(duì)空間向量的考查往往滲透于立體幾何問(wèn)題解決的過(guò)程之中，成為高考必考的熱點(diǎn)之一1高考對(duì)本章的考查重點(diǎn)是空間線面之間的位置關(guān)系的證明與探究；空間中的線線角、線面角以及二面角的求解；空間中簡(jiǎn)單的點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)面距的求解給出位置關(guān)系、角度或距離探求點(diǎn)的存在性問(wèn)題在近幾年考查中已有體現(xiàn)題目主要以解答題的形式給出，兼顧傳統(tǒng)的立體幾何的求解方法，主要考查空間向量在解決立體幾何中的應(yīng)用，滲透空間向量的基本概念和運(yùn)算2空間向量的引入為解決空間幾何問(wèn)題提供了一種新的思路，它使空間幾何體也具備了“數(shù)字化”的特征，從而把空間線面關(guān)系的邏輯推理證明與空間角、距離的求解變成了純粹的數(shù)字運(yùn)算問(wèn)題，降低了思維的難度，成為高考必考的熱點(diǎn)考查的重點(diǎn)是結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考查空間角與距離的求解，其中二面角是歷年高考命題的熱點(diǎn)，多為解答題3對(duì)利用向量處理平行和垂直問(wèn)題的考查，主要解決立體幾何中有關(guān)垂直和平行判斷的一些命題對(duì)于垂直，主要利用abab0進(jìn)行證明對(duì)于平行，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明二是對(duì)利用向量處理角度問(wèn)題的考查，利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)，其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角，而求兩個(gè)向量的夾角則可以利用公式cos進(jìn)行計(jì)算