2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第22講 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式教案 新人教版一課標(biāo)要求：1任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化；2三角函數(shù)（1）借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；（2）借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（/2, 的正弦、余弦、正切）。二命題走向從近幾年的新課程高考考卷來看，試題內(nèi)容主要考察三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)，但解決這類問題的基礎(chǔ)是任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式，在處理一些復(fù)雜的三角問題時，同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵。預(yù)測xx年高考對本講的考察是：1題型是1道選擇題和解答題中小過程；2熱點內(nèi)容是三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用和實際應(yīng)用，這也是新課標(biāo)教材的熱點內(nèi)容。三要點精講1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角。2終邊相同的角、區(qū)間角與象限角角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個角具有同終邊的所有角，它們彼此相差2k(kZ)，即|=2k+，kZ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。區(qū)間角是介于兩個角之間的所有角，如|=，。3弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。角有正負零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。角度制與弧度制的換算主要抓住?；《扰c角度互換公式：1rad57.30=5718、10.01745（rad）。弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：。4三角函數(shù)定義在的終邊上任取一點,它與原點的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則；。a的終邊P(x,y)Oxy利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦,記做,即；（2）叫做的余弦,記做,即；（3）叫做的正切,記做,即。5三角函數(shù)線Oxya角的終邊PTMA三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時，十分方便。以坐標(biāo)原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點，過點作軸交軸于點，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時,以為始點、為終點，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當(dāng)線段與軸反向時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當(dāng)線段與軸反向時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫坐標(biāo)。這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點,請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。6同角三角函數(shù)關(guān)系式使用這組公式進行變形時，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個常用關(guān)系式：sin+cos，sin-cos，sincos；(三式之間可以互相表示)同理可以由sincos或sincos推出其余兩式。 當(dāng)時，有。7誘導(dǎo)公式可用十個字概括為“奇變偶不變，符號看象限”。誘導(dǎo)公式一：，其中誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“函數(shù)名不變，符號看象限”；（3）sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kZ)；（4）；。四典例解析題型1：象限角例1已知角；（1）在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；（2）集合，那么兩集合的關(guān)系是什么？解析：（1）所有與角有相同終邊的角可表示為：，則令 ，得 解得 從而或代回或（2）因為表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合；而集合表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個象限平分線上的角的集合，從而：。點評：（1）從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個關(guān)于的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；（2）可對整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論。例2（xx全國理，1）若sincos0，則在（ ）A第一、二象限 B第一、三象限C第一、四象限 D第二、四象限解析：答案：B；sincos0，sin、cos同號。當(dāng)sin0，cos0時，在第一象限，當(dāng)sin0，cos0時，在第三象限，因此，選B。例3（xx春季北京、安徽，8）若A、B是銳角ABC的兩個內(nèi)角，則點P（cosBsinA，sinBcosA）在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：A、B是銳角三角形的兩個內(nèi)角，AB90，B90A，cosBsinA，sinBcosA，故選B。例4已知“是第三象限角，則是第幾象限角?解法一：因為是第三象限角，所以，當(dāng)k=3m（mZ）時，為第一象限角；當(dāng)k= 3m1（mZ）時，為第三象限角，當(dāng)k= 3m2（mZ）時，為第四象限角，故為第一、三、四象限角。解法二：把各象限均分3等份，再從x軸的正向的上方起依次將各區(qū)域標(biāo)上I、，并依次循環(huán)一周，則原來是第象限的符號所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域。由圖可知，是第一、三、四象限角。點評：已知角的范圍或所在的象限，求所在的象限是?？碱}之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份，再從x軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上I、，并循環(huán)一周，則原來是第幾象限的符號所表示的區(qū)域即為 (nN*)的終邊所在的區(qū)域。題型2：三角函數(shù)定義例5已知角的終邊過點，求的四個三角函數(shù)值。解析：因為過點，所以，。當(dāng)； ，。當(dāng)，；。例6已知角的終邊上一點，且，求的值。解析：由題設(shè)知，所以，得，從而，解得或。當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；當(dāng)時， 。題型3：誘導(dǎo)公式例7（xx全國文，1）tan300+的值是（ ）A1B1C1D1解析：答案：B tan300tan(36060)tan601。例8化簡：（1）；（2）。解析：（1）原式；（2）當(dāng)時，原式。當(dāng)時，原式。點評：關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)是表示的整數(shù)倍與公式一中的整數(shù)有區(qū)別，所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類型，分別加以討論。題型4：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式例9已知，試確定使等式成立的角的集合。解析：，=。又， 即得或所以，角的集合為：或。例10（1）證明：；（2）求證：。解析：（1）分析：證明此恒等式可采取常用方法，也可以運用分析法，即要證，只要證AD=BC,從而將分式化為整式證法一：右邊=證法二：要證等式，即為只要證 2（）（）=即證：，即1=，顯然成立，故原式得證。點評：在進行三角函數(shù)的化簡和三角恒等式的證明時，需要仔細觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式，利用倒數(shù)關(guān)系比常規(guī)的“化切為弦”要簡潔得多。（2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有三種，即平方關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系。（2）證法一：由題義知，所以。左邊=右邊。原式成立。證法二：由題義知，所以。又，。證法三：由題義知，所以。，。點評：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時常用的方法有：（1）從一邊開始，證明它等于另一邊（如例5的證法一）；（2）證明左右兩邊同等于同一個式子（如例6）；（3）證明與原式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立。五思維總結(jié)1幾種終邊在特殊位置時對應(yīng)角的集合為：角的終邊所在位置角的集合X軸正半軸Y軸正半軸X軸負半軸Y軸負半軸X軸Y軸坐標(biāo)軸2、2之間的關(guān)系。若終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。若終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。3任意角的概念的意義，任意角的三角函數(shù)的定義，同角間的三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式由于本重點是任意角的三角函數(shù)角的基礎(chǔ)，因而三學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時要注意如下幾點：（1）熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求解有關(guān)問題時要注意有關(guān)范圍的限制；（2）要注意差異分析，又要活用公式，要善于瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)進行有效的變形，其解題一般思維模式為：發(fā)現(xiàn)差異，尋找聯(lián)系，合理轉(zhuǎn)化。只有這樣才能在高考中奪得高分。三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計算點到原點的距離,那么,。所以，三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，又因為角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實數(shù)為自變量的函數(shù)。4運用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡、證明 常用的變形措施有：大角化小，切割化弦等，應(yīng)用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一個不為零的，得到一個只含的教簡單的三角函數(shù)式。