2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第28講 數(shù)列概念及等差數(shù)列教案 新人教版一課標(biāo)要求：1數(shù)列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)；2通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；3能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。二命題走向數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個客觀性題目和一個解答題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計(jì)算技能要求比較高。預(yù)測07年高考：1題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題；2知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。三要點(diǎn)精講1數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個位置的叫第2項(xiàng)，序號為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作；數(shù)列的一般形式：，簡記作 。（2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式是= （7，），數(shù)列的通項(xiàng)公式是= （）。說明：表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； 同一個數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每個數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號：1 2 3 4 5 6項(xiàng) ：4 5 6 7 8 9上面每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值，通常用來代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。（5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數(shù)列的遞推公式。2等差數(shù)列（1）等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；說明：等差數(shù)列（通常可稱為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。（3）等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中 ，成等差數(shù)列。（4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。四典例解析題型1：數(shù)列概念例1根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。點(diǎn)評：每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。例2數(shù)列中，已知，（1）寫出，； （2）是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？解析：（1），； （2）令，解方程得， 即為該數(shù)列的第15項(xiàng)。點(diǎn)評：該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬。題型2：數(shù)列的遞推公式例3如圖,一粒子在區(qū)域上運(yùn)動,在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn),接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動，且每秒移動一個單位長度。（1）設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，所經(jīng)過的時間分別為，試寫出的通相公式；（2）求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時所需的時間；（3）粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動，求經(jīng)過xx秒后，它所處的坐標(biāo)。解析：(1) 由圖形可設(shè)，當(dāng)粒子從原點(diǎn)到達(dá)時，明顯有 , 。,。,即。 （2）有圖形知，粒子從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時所需的時間是到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過得時間 再加（4416）28秒，所以秒。（3）由xx，解得，取最大得n=44，經(jīng)計(jì)算，得1980<xx，從而粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動，經(jīng)過1980秒后到達(dá)點(diǎn)，再向左運(yùn)行24秒所到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（20，44）。點(diǎn)評：從起始項(xiàng)入手，逐步展開解題思維。由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點(diǎn)所在。例4（1）已知數(shù)列適合：，寫出前五項(xiàng)并寫出其通項(xiàng)公式； （2）用上面的數(shù)列，通過等式構(gòu)造新數(shù)列，寫出，并寫出的前5項(xiàng)。解：（1） ，； （2）， ，點(diǎn)評：會根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，了解遞推公式是給出數(shù)列的又一種重要方法，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。題型3：數(shù)列的應(yīng)用例5（05廣東，14）設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用表示這條直線交點(diǎn)的個數(shù)，則=_；當(dāng)時， （用表示）。答案：5，圖B解析：由圖B可得，由，可推得n每增加1，則交點(diǎn)增加個，。點(diǎn)評：解決此類問題的思路是先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理。例6（xx京春理14，文15）在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（_）內(nèi)。答案：140 85解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，照此規(guī)律，60歲時的收縮壓和舒張壓分別為140；85.點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為背景，考查了如何把實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.它不需要技能、技巧及繁雜的計(jì)算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識，有效地把數(shù)學(xué)過程實(shí)施為數(shù)學(xué)思維活動。題型4：等差數(shù)列的概念例7（xx天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列答案：B；解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2為常數(shù)，常數(shù)an是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.解法二：如果一個數(shù)列的和是一個沒有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列。點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運(yùn)用遞推式an=SnSn1的推理能力.但不要忽略a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。例8（xx年江蘇卷）設(shè)數(shù)列、滿足：，（n=1,2,3,），證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,）證明：必要性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常數(shù)）（n=1,2,3,）數(shù)列為等差數(shù)列。充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1,2,3,）， 得：= 從而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨設(shè)（n=1,2,3,），則（常數(shù)）故從而得：，故（常數(shù)）（n=1,2,3,），數(shù)列為等差數(shù)列。綜上所述：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,）。證法二：令A(yù)n = a n+1- a n，由b nb n+1知a n - a n+2a n+1- a n+3。從而a n+1- a na n+3 - a n+2,即AnAn+2（n=1,2,3,）由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3得c n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即An+2An+1+3An+2=d2. 由此得An+2+2An+3+3An+2=d2. -得(An-An+2)+2(An+1- An+3)+3(An+2- An+4)=0 因?yàn)锳n-An+20，An+1- An+30，An+2- An+40,所以由得An-An+2=0(n=1,2,3,)。于是由得4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, 從而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 由和得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1= An ,即a n+2- a n+1= a n+1- a n(n=1,2,3,)，所以數(shù)列a n是等差數(shù)列。點(diǎn)評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果。題型5：等差數(shù)列通項(xiàng)公式例9（xx年全國卷I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則（ ）A B C D解析：，將代入，得，從而。選B。點(diǎn)評：應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項(xiàng)和公差的式子，變元減少，因式就容易處理了。例10（1）（xx湖南16）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）證明解析：（1）（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d。由即d=1。所以即（II）證明因?yàn)?，所?點(diǎn)評：該題通過求通項(xiàng)公式，最終通過通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律。題型6：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例11（1）（xx京皖春，11）若一個等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個數(shù)列有（ ）A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)D.10項(xiàng)（2）（xx全國理，3）設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（ ）A.1 B.2 C.4 D.6（3）（xx年全國卷II）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則（ ）A B C D解析：（1）答案：A設(shè)這個數(shù)列有n項(xiàng)n13（2）答案：B前三項(xiàng)和為12，a1a2a312，a24a1a2a348，a24，a1a312，a1a38，把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，選B.（3）答案為A；點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和考生分析問題、解決問題的能力。例12（1）（xx全國文，18）設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn。（2）（xx全國文，25）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求數(shù)列bn的通項(xiàng)bn；（）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=lg（1+），記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Sn=na1n（n1）dS77，S1575，即解得a12，d1a1（n1）d2（n1）。，數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差為，Tnn2n（2）（）設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由題意得解得 bn=2n1.（）由bn=2n1，知Sn=lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）=lg（1+1）（1+）（1+），lgbn+1=lg.因此要比較Sn與lgbn+1的大小，可先比較（1+1）（1+）（1+）與的大小.取n=1，有（1+1），取n=2，有（1+1）（1+），由此推測（1+1）（1+）（1+）.若式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：Snlgbn+1。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明式。（i）當(dāng)n=1時已驗(yàn)證式成立。（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k1）時，式成立，即（1+1）（1+）（1+）.那么，當(dāng)n=k+1時，（1+1）（1+）（1+）1+（1+）=（2k+2）。（2k+2）2（）2，.因而 這就是說式當(dāng)n=k+1時也成立.由（i），（ii）知式對任何正整數(shù)n都成立.由此證得：Snlgbn+1。評述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對一些綜合性的問題要先理清思路再行求解。題型7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式例13（1）（xx上海春，16）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值（2）（1994全國理，12）等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.260解析：（1）答案：C；由S5<S6得a1+a2+a3+a5<a1+a2+a5+a6，a6>0，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C選項(xiàng)S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項(xiàng)是錯誤的。（2）答案：C解法一：由題意得方程組，視m為已知數(shù)，解得，。解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b1，第m+1到2m項(xiàng)之和為b2，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m項(xiàng)之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2S1=70，從而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。例14（xx上海，21）在XOY平面上有一點(diǎn)列P1（a1，b1），P2（a2，b2），Pn（an，bn），對每個自然數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=xx（）x（0a10的圖象上，且點(diǎn)Pn、點(diǎn)（n，0）與點(diǎn)（n+1，0）構(gòu)成一個以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。（）求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；（）若對每個自然數(shù)n，以bn，bn1，bn2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；（）（理）設(shè)Bnb1，b2bn（nN）.若a?。ǎ┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)。（文）設(shè)cnlg（bn）（nN）.若a?。ǎ┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列cn前多少項(xiàng)的和最大?試說明理由。解析：.解：（）由題意，ann，bnxx（）。（）函數(shù)y=xx（）x（0a10）遞減，對每個自然數(shù)n，有bnbn1bn2則以bn，bn1，bn2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn2bn1bn，即（）2（1）0，解得a5（1）或a5（1），5（1）a10（）（理）5（1）a10，a=7，bnxx（）。數(shù)列bn是一個遞減的正數(shù)數(shù)列.對每個自然數(shù)n2，BnbnBn1。于是當(dāng)bn1時，BnBn1，當(dāng)bn1時，BnBn1，因此，數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn1且bn11。由bnxx（）1，得n20.8，n=20。（文）5（1）a10，a=7，bnxx（）。于是cnlgxx（）3lg2（n）lg0.7數(shù)列cn是一個遞減的等差數(shù)列.因此，當(dāng)且僅當(dāng)cn0，且cn10時，數(shù)列cn的前n項(xiàng)的和最大。由cn3lg2（n）lg070，得n20.8，n=20。點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，及等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.五思維總結(jié)1數(shù)列的知識要點(diǎn)：（1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N（或它的有限子集1，2，3，n，）上的函數(shù)f（n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值：f（1），f（2），f（3），f（n），。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點(diǎn)構(gòu)成的。（2）對于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，這是一個難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式；一個數(shù)列還可以用遞推公式來表示；在數(shù)列an中，前n 項(xiàng)和Sn 與通項(xiàng)公式an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握之。即an。特別要注意的是，若a1 適合由anSnSn1（n2）可得到的表達(dá)式，則an 不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子。2等差數(shù)列的知識要點(diǎn)：（1）等差數(shù)列定義an1and（常數(shù)）（n N），這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項(xiàng)，如a3a2a2a1d（常數(shù)）就說an是等差數(shù)列這樣的錯誤，判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列。還可由anan22 an1 即an2an1an1an 來判斷。（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)為ana1（n1）d可整理成anan（a1d），當(dāng)d0時，an 是關(guān)于n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么n 為自然數(shù)的點(diǎn)的集合。（3）對于A 是a、b 的等差中項(xiàng)，可以表示成2 Aab。（4）等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式Snnna1d，可以整理成Snn2。當(dāng)d0時是n 的一個常數(shù)項(xiàng)為0的二次式。（5）等差數(shù)列的判定方法：定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；等差中項(xiàng)：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。3等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是， 如：，；，；（3）在等差數(shù)列中，對任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；5說明：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則奇偶； ；（）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則偶奇；。6（1），時，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；若已知，則最值時的值（）可如下確定或。