經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)線性代數(shù)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)及典型例題解析第1-2章 行列式和矩陣 了解矩陣的概念，熟練掌握矩陣的運(yùn)算。 矩陣的運(yùn)算滿足以下性質(zhì) 了解矩陣行列式的遞歸定義，掌握計(jì)算行列式（三、四階）的方法；掌握方陣乘積行列式定理。 是同階方陣，則有： 若 是 階行列式， 為常數(shù)，則有： 了解零矩陣，單位矩陣，數(shù)量矩陣，對(duì)角矩陣，上（下）三角矩陣，對(duì)稱矩陣，初等矩陣的定義及性質(zhì)。理解可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質(zhì)，掌握矩陣可逆的充分必要條件。 若 為 階方陣，則下列結(jié)論等價(jià) 可逆 滿秩 存在 階方陣 使得 熟練掌握求逆矩陣的初等行變換法，會(huì)用伴隨矩陣法求逆矩陣，會(huì)解簡(jiǎn)單的矩陣方程。 用初等行變換法求逆矩陣： 用伴隨矩陣法求逆矩陣： （其中 是 的伴隨矩陣） 可逆矩陣具有以下性質(zhì)： 了解矩陣秩的概念，會(huì)求矩陣的秩。將矩陣用初等行變換化為階梯形后，所含有的非零行的個(gè)數(shù)稱為矩陣的秩。典型例題解析例1 設(shè) 均為3階矩陣，且 ，則 。解：答案：72因?yàn)?，且 所以 例2 設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，則矩陣運(yùn)算（ ）有意義。解：答案：A因?yàn)?，所以A可進(jìn)行。關(guān)于B，因?yàn)榫仃?的列數(shù)不等于矩陣 的行數(shù)，所以錯(cuò)誤。關(guān)于C，因?yàn)榫仃?與矩陣 不是同形矩陣，所以錯(cuò)誤。關(guān)于D，因?yàn)榫仃?與矩陣 不是同形矩陣，所以錯(cuò)誤。例3 已知 求 。分析：利用矩陣相乘和矩陣相等求解。解：因?yàn)榈?。例4 設(shè)矩陣 求 。解：方法一：伴隨矩陣法 可逆。且由 得伴隨矩陣 則 = 方法二：初等行變換法注意：矩陣的逆矩陣是唯一的，若兩種結(jié)果不相同，則必有一個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的或兩個(gè)都是錯(cuò)誤的。例4 設(shè)矩陣 求 的秩。分析：利用矩陣初等行變換求矩陣的秩。解： 。例5若 是 階矩陣，且 ，試證 證明： 注意：在證明中用到了已知條件和轉(zhuǎn)置行列式相等的結(jié)論。第三章 線性方程組一、本章主要內(nèi)容主要概念：齊次線性方程組 非齊次線性方程組 方程組的矩陣表示 系數(shù)矩陣 增廣矩陣 一般解 通解（全部解） 特解 基礎(chǔ)解系 自由元（自由未知量）維向量 線性組合（線性表出）線性相關(guān) 線性無(wú)關(guān) 極大線性無(wú)關(guān)組 向量組的秩 向量空間 向量空間的基和維數(shù)主要性質(zhì)：齊次線性方程組解的性質(zhì) 非齊次線性方程組解的性質(zhì)主要定理：線性方程組的理論 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 非齊次線性方程組有解的充分必要條件 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 向量組線性相關(guān)性的有關(guān)定理（教材中第三章第三節(jié)）定理1、2、3及有關(guān)推論；極大無(wú)關(guān)向量組的有關(guān)定理（教材中第三章第四節(jié)）定理1、2、3主要方法：高斯消元法 齊次線性方程組解的情況判別 非齊次線性方程組解的情況判別 基礎(chǔ)解系的求法 通解的求法 向量組線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的判別法 極大線性無(wú)關(guān)組的求法二、本章重點(diǎn)：向量組相關(guān)性的概念及判別，線性方程組相容性定理，齊次線性方程組基礎(chǔ)解系幾通解的求法，非齊次線性方程組特解和全部解的求法。三、典型例題解析例1 向量組，若向量組線性相關(guān)則= 。解：答案：2因?yàn)橛捎嘘P(guān)定理，向量組線性相關(guān)的充要條件是向量組的秩數(shù)小于向量組向量個(gè)數(shù)，所以求向量組的秩，決定的取值，使其秩數(shù)小于3。具體解法是 當(dāng)時(shí)，故向量組線性相關(guān)。例2 設(shè)向量組為 求它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并判斷向量組的相關(guān)性。分析：解：是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，此向量組線性相關(guān)。例3 線性方程組當(dāng)為何值時(shí)方程組有解，有解時(shí)解的情況如何？分析：因?yàn)樵鰪V矩陣的秩與的取值有關(guān)，所以選擇的值，使解 時(shí)，有，方程組有解且有無(wú)窮多解。例4 設(shè)線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換后化為求方程組的通解。分析：將階梯形矩陣?yán)^續(xù)化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，求出方程組的一般解，然后求特解，相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，寫(xiě)出方程組的通解。解： 得到方程組的一般解為 （其中是自由元）令，得的一個(gè)特解再由相應(yīng)齊次方程組的一般解 （其中是自由元）令，得的一個(gè)解向量令，得的另一個(gè)解向量是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是方程組的通解為其中為任意常數(shù)。