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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《變化率與導(dǎo)數(shù)》教案2 新人教A版選修1-1 一. 設(shè)計思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考慮問題的思考方法． 二. 教學(xué)目標 1．理解平均變化率的概念； 2．了解平均變化率的幾何意義； 3．會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率 4. 感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中，經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程，體會數(shù)學(xué)的博大精深以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義。 三. 教學(xué)重點 1. 通過實例，讓學(xué)生明白變化率在實際生活中的需要，探究和體驗平均變化率的實際意義和數(shù)學(xué)意義； 2. 掌握平均變化率的概念，體會逼近的思想和用逼近的思想思考問題的方法； 四. 教學(xué)難點：平均變化率的概念． 五. 教學(xué)準備 1. 認真閱讀教材、教參，尋找有關(guān)資料； 2. 向有經(jīng)驗的同事請教； 3. 從成績好的學(xué)生那里了解他們預(yù)習(xí)的情況和困惑的地方． 六. 教學(xué)過程 一．創(chuàng)設(shè)情景 （1） 讓學(xué)生閱讀章引言，并思考章引言寫了幾層意思？ （2） 學(xué)生先閱讀，思考，老師再提示；①以簡潔的話語指明函數(shù)和微積分的關(guān)系，微積分的研究對象就是函數(shù)，正是對函數(shù)的深入研究導(dǎo)致了微積分的產(chǎn)生；②從數(shù)學(xué)史的角度，概括地介紹與微積分創(chuàng)立密切相關(guān)的四類問題以及做出巨大貢獻的科學(xué)家；③概述本章的主要內(nèi)容，以及導(dǎo)數(shù)工具的作用和價值． 讓學(xué)生對這章書先有一個大概認識，從而使學(xué)生學(xué)習(xí)有了方向，能更好地進行以下學(xué)習(xí)． 二．新課講授 （一）問題提出 問題1氣球膨脹率問題： 老師準備了兩個氣球，請兩位同學(xué)出來吹，請觀看同學(xué)談?wù)効匆姷那榫埃辉僬埓禋馇蛲瑢W(xué)談?wù)劥禋馇蜻^程的感受，開始與結(jié)束感受是否有區(qū)別？ 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢? 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么 分析: ， 1 當(dāng)V從0增加到1時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 2 當(dāng)V從1增加到2時,氣球半徑增加了 h t o 氣球的平均膨脹率為 可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了． 思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 問題2 高臺跳水問題： 在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？ 在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. ）如何計算運動員的平均速度？并分別計算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，時間段里的平均速度. 思考計算：和的平均速度 在這段時間里，； 在這段時間里， 探究：計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題： ⑴運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？ ⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？ 探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，， 所以， 雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)． （1）讓學(xué)生親自計算和思考，展開討論； （2）老師慢慢引導(dǎo)學(xué)生說出自己的發(fā)現(xiàn)，并初步修正到最終的結(jié)論上. （3）得到結(jié)論是：①平均速度只能粗略地描述運動員的運動狀態(tài)，它并不能反映某一刻的運動狀態(tài). ②需要尋找一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài)； （二）平均變化率概念: 引出函數(shù)平均變化率的概念．找出求函數(shù)平均變化率的步驟. 1．上述問題中的變化率可用式子 表示, 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率 2．若設(shè), (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣) 3． 則平均變化率為 x1 x2 O y y=f(x) f(x1) f(x2) △y =f(x2)-f(x1) x △x= x2-x1 思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象 平均變化率表示什么? （1） 師生一起討論、分析，得出結(jié)果； （2） 計算平均變化率的步驟：①求自變量的增量Δx=x2-x1；②求函數(shù)的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均變化率. 注意：①Δx是一個整體符號，而不是Δ與x相乘；②x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1； 三．典例分析 例1．已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,則 ． 解：， ∴ 例2． 求在附近的平均變化率。 解：，所以 所以在附近的平均變化率為 四．課堂練習(xí) 1．質(zhì)點運動規(guī)律為，則在時間中相應(yīng)的平均速度為 ． 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率. 3.過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時割線的斜率. 五．回顧總結(jié) 讓學(xué)生進行課堂小結(jié). （1） 隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢，即隨著氣球體積的增大，比值氣球膨脹率越來越小； （2） 平均速度只能粗略地描述運動員的運動狀態(tài)，它并不能反映某一刻的運動狀態(tài)； （3） 函數(shù)的平均變化率的概念 ； （4） 求函數(shù)的平均變化率的步驟； （5） 課后思考問題：需要尋找一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài)，那么該量應(yīng)如何定義？ （6） 思考問題方法：從實際生活到數(shù)學(xué)語言，數(shù)學(xué)概念． 六．補充實例 例１　在經(jīng)營某商品中，甲掙到10萬元，乙掙到2萬元，如何比較和評價甲，乙兩人的經(jīng)營成果？ 變式：在經(jīng)營某商品中，甲用5年時間掙到10萬元，乙用5個月時間掙到2萬元，如何比較和評價甲，乙兩人的經(jīng)營成果？ 例２　情境：現(xiàn)有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載. 時間 3月18日 4月18日 4月20日 日最高氣溫 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃ 觀察：3月18日到4月18日與4月18日到4月20日的溫度變化，用曲線圖表示為： 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) 0 C (34, 33.4) 溫度T (℃) 2 10 時間t（d） 七．布置作業(yè) ①看書，復(fù)習(xí)今天內(nèi)容；②思考問題：如何能更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài)？需要增加什么量？③做書A1；④預(yù)習(xí)下節(jié)內(nèi)容. 八．教學(xué)反思 用1節(jié)課完成變化率的講授。導(dǎo)數(shù)確實是個很重要的工具，所以與導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)有關(guān)的平均變化率問題講授顯得很重要.