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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 平面向量（含解析） 一、本章知識結(jié)構(gòu)： 二、高考要求 1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。2、掌握向量的加法和減法的運算法則及運算律。3、掌握實數(shù)與向量的積的運算法則及運算律，理解兩個向量共線的充要條件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運算。5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。6、掌握線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式，并且能熟練運用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形。8、通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。 三、熱點分析 對本章內(nèi)容的考查主要分以下三類： 1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì).此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題. 2.以解答題考查圓錐曲線中的典型問題.此類題綜合性比較強，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為主. 3.向量在空間中的應(yīng)用（在B類教材中）.在空間坐標(biāo)系下，通過向量的坐標(biāo)的表示，運用計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì). 　　在復(fù)習(xí)過程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針.本章考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本.因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵.分析近幾年來的高考試題，有關(guān)平面向量部分突出考查了向量的基本運算。對于和解析幾何相關(guān)的線段的定比分點和平移等交叉內(nèi)容，作為學(xué)習(xí)解析幾何的基本工具，在相關(guān)內(nèi)容中會進行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重點?？偠灾?，平面向量這一章的學(xué)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)，強化運算，重視應(yīng)用?？疾榈闹攸c是基礎(chǔ)知識和基本技能。 四、復(fù)習(xí)建議 由于本章知識分向量與解斜三角形兩部分，所以應(yīng)用本章知識解決的問題也分為兩類：一類是根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對向量進行運算，并能運用向量知識解決平面幾何中的一些計算和證明問題；另一類是運用正、余弦定理正確地解斜三角形，并能應(yīng)用解斜三角形知識解決測量不可到達的兩點間的距離問題。 在解決關(guān)于向量問題時，一是要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，進一步加深對“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認識，并體會用向量處理問題的優(yōu)越性。二是向量的坐標(biāo)運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過向量法和坐標(biāo)法的運用，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題上的作用。 在解決解斜三角形問題時，一方面要體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會解斜三角形是重要的測量手段，通過學(xué)習(xí)提高解決實際問題的能力。 五、典型例題 【例1】 在下列各命題中為真命題的是( ) ①若=(x1,y1)、=(x2,y2)，則=x1y1+x2y2 ②若A(x1,y1)、B(x2,y2)，則｜｜= ③若=(x1,y1)、=(x2,y2),則=0x1x2+y1y2=0 ④若=(x1,y1)、=(x2,y2)，則⊥x1x2+y1y2=0 A、①② B、②③ C、③④ D、①④ 解：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；若=(x1,y1), =(x2,y2)，則=x1x2+y1y2，對照命題(1)的結(jié)論可知，它是一個假命題、 于是對照選擇支的結(jié)論、可以排除(A)與(D)，而在(B)與(C)中均含有(3)、故不必對(3)進行判定，它一定是正確的、對命題(2)而言，它就是兩點間距離公式，故它是真命題，這樣就以排除了(C)，應(yīng)選擇(B)、 說明：對于命題(3)而言，由于=0=或=或⊥x1x2+y1y2=0，故它是一個真命題、 而對于命題(4)來講，⊥x1x2+y1y2=0、但反過來，當(dāng)x1x2+y1y2=0時，可以是x1=y1=0，即=，而我們的教科書并沒有對零向量是否與其它向量垂直作出規(guī)定，因此x1x2+y1y2=0⊥)，所以命題(4)是個假命題、 【例2】 已知=(－,－1), =(1, )，那么，的夾角θ=( ) A、30 B、60 C、120 D、150 解：=(－,－1)(1，)=－2 ｜｜==2 ｜｜==2 ∴cosθ=== 【例3】 已知=(2,1), =(－1,3),若存在向量使得：=4, =－9，試求向量的坐標(biāo)、 解：設(shè)=(x,y),則由=4可得： 2x+y=4；又由=－9可得：－x+3y=－9 于是有： 由(1)+2(2)得7y=－14,∴y=－2,將它代入(1)可得：x=3 ∴=(3,－2)、 說明：已知兩向量，可以求出它們的數(shù)量積，但是反過來，若已知向量及數(shù)量積，卻不能確定、 【例4】 求向量=(1,2)在向量=(2，－2)方向上的投影、 解：設(shè)向量與的夾角θ、 有cosθ= ==－ ∴在方向上的投影=｜｜cosθ=(－)=－ 【例5】 已知△ABC的頂點分別為A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC邊上的高AD，求及點D的坐標(biāo)、 解：設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y) ∵AD是邊BC上的高， ∴AD⊥BC，∴⊥ 又∵C、B、D三點共線， ∴∥ 又=(x－2,y－1), =(－6,－3) =(x－3,y－2) ∴ 解方程組，得x=,y= ∴點D的坐標(biāo)為(，)，的坐標(biāo)為(－，) 【例6】 設(shè)向量、滿足：｜｜＝｜｜=1，且+=(1，0)，求，、 解：∵｜｜＝｜｜=1， ∴可設(shè)=(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ)、 ∵+=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)， 由(1)得：cosα=1－cosβ……(3) 由(2)得：sinα=－sinβ……(4) ∴cosα=1－cosβ= ∴sinα=,sinβ= 或 【例7】 對于向量的集合A={=(x,y)｜x2+y2≤1}中的任意兩個向量、與兩個非負實數(shù)α、β；求證：向量α+β的大小不超過α+β、 證明：設(shè)=(x1,y1)， =(x2,y2) 根據(jù)已知條件有：x21+y21≤1,x22+y22≤1 又因為｜α+β｜= = 其中x1x2+y1y2≤ ≤1 所以｜α+β｜≤=｜α+β｜=α+β 【例8】 已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90,CD=DA=AB、 求證：AC⊥BC 證明：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系、如圖，設(shè)AD=1 則A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1) ∴=(－1,1), =(1,1) =－11+11=0 ∴BC⊥AC、 【例9】 已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x軸的正半軸上求點C，使∠ACB最大，并求出最大值、 解，設(shè)C(x,0)(x＞0) 則=(－x,a), =(－x,b) 則=x2+ab、 cos∠ACB== 令t=x2+ab 故cos∠ACB= 當(dāng)=即t=2ab時，cos∠ACB最大值為、 當(dāng)C的坐標(biāo)為(,0)時，∠ACB最大值為arccos、 【例10】 如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對角線BD上的一點，PECF是矩形，用向量法證明 (1)PA=EF (2)PA⊥EF 證明：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1， ｜｜=λ,則A(0，1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(xiàn)(λ，0) ∴=(－λ,1－λ), =(λ－1,－ λ) (1)｜｜2=(－λ)2+(1－λ)2=λ2－λ+1 ｜｜2=(λ－1)2+(－λ)2=λ2－λ+1 ∴｜｜2=｜｜2,故PA=EF (2) =(－λ)(λ－1)+(1－λ)(－λ)=0 ∴⊥ ∴PA⊥EF、 【例11】 已知 ① 求； ②當(dāng)k為何實數(shù)時,k與平行, 平行時它們是同向還是反向？ 解：①= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴= =. ②k= k(1,0)－(2,1)=(k－2,－1). 設(shè)k=λ(),即(k－2,－1)= λ(7,3), ∴ . 故k= 時, 它們反向平行. 【例12】 已知與的夾角為,若向量與垂直, 求k. 解：=21=1. ∵與垂直, ∴()= , ∴2 k = － 5. 【例13】 如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2 + c 2 = 5a2,BE、CF分別為AC邊與AB上的中線, 求證：BE⊥CF. 解： ∴⊥, 即 BE⊥CF . 【例14】 是否存在4個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直? 解：如圖所示，在正△ABC中，O為其內(nèi)心，P為圓周上一點， 滿足，，，兩兩不共線，有 (+)(+) =(+++)(++) =(2++)(2+) =(2－)(2+) =42－2 =42－2=0 有(+)與(+)垂直、 同理證其他情況、從而，，，滿足題意、故存在這樣4個平面向量、 平面向量的綜合應(yīng)用 1．利用向量的坐標(biāo)運算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問題 【例1】 已知向量滿足條件，，求證：是正三角形 解：令O為坐標(biāo)原點，可設(shè) 由，即 ① ② 兩式平方和為，， 由此可知的最小正角為，即與的夾角為， 同理可得與的夾角為，與的夾角為， 這說明三點均勻分部在一個單位圓上， 所以為等腰三角形. 【例2】 求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù) 解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸、 軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則， 從而可求：, =. . 2．利用向量的坐標(biāo)運算，解決有關(guān)線段的長度問題 【例3】 已知，AD為中線，求證 證明：以B為坐標(biāo)原點，以BC所在的直線為軸建立如圖2直角坐標(biāo)系， 設(shè)，， 則， . =， 從而， . 3．利用向量的坐標(biāo)運算，用已知向量表示未知向量 【例4】 已知點是 且試用 解：以O(shè)為原點，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系. 由OA=2，，所以， 易求，設(shè) . 【例5】 如圖， 用表示 解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)A所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則， . 4．利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問題 【例6】 如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求證：C1C⊥BD. (2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明. (1)證明：設(shè)=a, =b,=c,依題意，|a|=|b|，、、中兩兩所成夾角為θ，于是=a－b，=c(a－b)=ca－cb=|c||a|cosθ－|c||b|cosθ=0,∴C1C⊥BD. (2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1， 由 =(a+b+c)(a－c)=|a|2+ab－bc－|c|2=|a|2－|c|2+|b||a|cosθ－|b||c|cosθ=0,得 當(dāng)|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時，A1C⊥BD， ∴=1時，A1C⊥平面C1BD. 【例7】 如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點. (1)求的長； (2)求cos<>的值； (3)求證：A1B⊥C1M. 解：(1)如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz. 依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1) ∴||=. (2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2). ∴==(0，1，2) =10+(－1)1+22=3 ||= (3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M() ∴ ∴A1B⊥C1M. 5．利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問題，距離問題包括點到點的距離，點的線的距離，點到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離. 【例8】 求平面內(nèi)兩點間的距離公式 解：設(shè)點 ， ,而 點與點之間的距離為： 6.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題. 【例9】 證明: 證明：在單位圓上任取兩點，以為始邊，以為終邊的角分別為，則點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為； 則向量，它們的夾角為， ,由向量夾角公式得： ,從而得證. 注：用同樣的方法可證明 7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問題. 【例10】 證明柯西不等式 證明：令 （1） 當(dāng)或時，，結(jié)論顯然成立； （2） 當(dāng)且時，令為的夾角，則 . 又 （當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立） .（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立） 【例11】 求的最值 解：原函數(shù)可變?yōu)椋? 所以只須求的最值即可， 構(gòu)造， 那么. 故. 【例12】 三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值. 解：(1)點M的坐標(biāo)為xM= D點分的比為2. ∴xD= (3)∠ABC是與的夾角，而=(6，8），=(2，－5）. 解斜三角形 【例1】 已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B.，求cos的值. 解法一：由題設(shè)條件知B=60，A+C=120. 設(shè)α=，則A－C=2α，可得A=60+α，C=60－α， 依題設(shè)條件有 整理得4cos2α+2cosα－3=0(M) (2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0， ∴2cosα－=0.從而得cos. 解法二：由題設(shè)條件知B=60，A+C=120 ①，把①式化為cosA+cosC=－2cosAcosC ②， 利用和差化積及積化和差公式，②式可化為 ③， 將cos=cos60=，cos(A+C)=－代入③式得： ④ 將cos(A－C)=2cos2()－1代入 ④：4cos2()+2cos－3=0，(*)， 【例2】 在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北30東，俯角為60的B處，到11時10分又測得該船在島北60西、俯角為30的C處。 (1)求船的航行速度是每小時多少千米； (2)又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？ 解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60 PA=1，∴AB= (千米) 在Rt△PAC中，∠APC=30，∴AC= (千米) 在△ACB中，∠CAB=30+60=90 (2)∠DAC=90－60=30 sinDCA=sin(180－∠ACB)=sinACB= sinCDA=sin(∠ACB－30)=sinACBcos30－cosACBsin30. 在△ACD中，據(jù)正弦定理得， ∴ 答：此時船距島A為千米. 【例3】 已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB(). (1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域； (2)判斷其單調(diào)性，并加以證明； (3)求這個函數(shù)的值域. 解：(1)∵A+C=2B，∴B=60，A+C=120 ∵0≤||＜60，∴x=cos∈(，1 又4x2－3≠0，∴x≠，∴定義域為(，)∪(，1］. (2)設(shè)x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)= =，若x1，x2∈()，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0 即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，則4x12－3＞0. 4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0. 即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù). (3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2. 故f(x)的值域為(－∞，－)∪［2，+∞. 【例4】 在中，角所對的邊分別為．若，求角． 解：由正弦定理，將已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角．可得 . 因為，故有， ∴ . 又∵ , ∴ , 即， 由，可解得． 【例5】 在△ABC中，已知. （1）若任意交換的位置，的值是否會發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論； （2）求的最大值. 解：（1）∵ ， ∴ 任意交換的位置，的值不會發(fā)生變化． （2） 解法1：將看作是關(guān)于的二次函數(shù). . 所以，當(dāng)，且取到最大值1時，也即時，取得最大值． 解法2：用調(diào)整的方法, 也即對于每個固定的的值，去調(diào)整，求出取得最大值時所滿足的條件． 對于，如果固定，則可將看作是關(guān)于的一次或常數(shù)函數(shù)．為了討論其最大值，顯然應(yīng)該考慮的符號，并由此展開討論． 若，則，所以，，所以， 所以，只需考慮的情形．此時是關(guān)于的常數(shù)函數(shù)或單調(diào)遞增的一次函數(shù)，因此，最大值必可在（即）時取得．所以， ， 等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得． 【平面向量練習(xí)】 一、選擇題： 1、下列各式中正確的是（ C ） （1）(λa) b=λ(a b)=a (λb), （2）|ab|=|a||b|, （3）(a b) c=a (b c), （4）(a+b) c= ac+bc A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不對. 2、在ΔABC中,若(+)(－)=0,則ΔABC為（ C ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定 3、若|a|=|b|=|a－b|,則b與a+b的夾角為（ A ） A．30 B．60 C．150 D．120 4、已知|a|=1,|b|= ,且(a－b)和a垂直,則a與b的夾角為（ D ） A．60 B．30 C．135 D．45 5、若 + = 0,則ΔABC為（ A ） A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形 6、設(shè)|a|= 4,|b|= 3, 夾角為60, 則|a+b|等于（ C ） A．37 B．13 C． D． 7、己知|a|=1,|b|=2, a與b的夾角為600,c =3a+b, d =λa－b ,若c⊥d,則實數(shù)λ的值為（ C ） A． B． C． D． 8、設(shè) a,b,c是平面內(nèi)任意的非零向量且相互不共線,則（ D ） ①(ab) c－(ca)b=0 ②|a| －|b|< |a－b| ③(bc)a－(ca)b不與c垂直 ④(3a+2b)(3a－2b)= 9|a|2－4|b|2 其中真命題是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 二、填空題： 9、已知e是單位向量,求滿足a∥e且ae=－18的向量a=__________.－18e 10、設(shè)a=(m+1)i－3j, b=i+(m－1)j, (a+b) ⊥(a－b), 則m=________.－2 11、|a|=5, |b|=3,|a－b|=7,則a、b的夾角為__________. 120 12、 a與d=b－關(guān)系為________. a⊥b 三、解答題： 13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求：① ab ；②(2a－b) (a+3b) 解：①|(zhì)a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2， =. ②（2a－b）（a+3b）=2a2+5ab－3b2=2|a|2+5ab－3|b|2 =242+5（－10）－352=－93. 14、四邊形ABCD中,= a, = b,= c, = d,且ab=bc=cd=d a，判斷四邊形ABCD是什么圖形？ 分析：在四邊形ABCD中，a+b+c+d=0，這是一個隱含條件， 對a+b=－（c+d），兩邊平方后，用ab=bc=dc代入， 從四邊形的邊長與內(nèi)角的情況來確定四邊形的形狀. 解：∵a+b+c+d=0，∴a+b=－（c+d）， ∴（a+b）2=（c+d）2，即|a|2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2， ∵ab=cd，∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……① 同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2……② ①，②兩式相減得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即|b|=|d|，|a|=|c|. ∴ABCD為平行四邊形. 又∵ab=bc，即b（a－c）=0，而a=－c， ∵b（2a）=0 ∴a⊥b， ∴四邊形ABCD為矩形. 15、已知：|a|=5,|b|=4,且a與b的夾角為60,問當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時,向量ka－b與 a+2b 垂直？ 解： . 【平面向量的綜合應(yīng)用練習(xí)】 一、選擇題 1.設(shè)A、B、C、D四點坐標(biāo)依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四邊形 2.已知△ABC中，=a，=b，ab<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是( ) A.30 B.－150 C.150 D.30或150 二、填空題 3.將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個公共點(3，1)，則向量a=_________. 4.等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________. 三、解答題 5.如圖，在△ABC中，設(shè)=a， =b， =c, =λa,(0<λ<1), =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c. 6.正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為a. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)； (2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角. 7.已知兩點M(－1，0)，N(1，0)，且點P使成公差小于零的等差數(shù)列. (1)點P的軌跡是什么曲線？ (2)若點P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為與的夾角，求tanθ. 8.已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點. (1)用向量法證明E、F、G、H四點共面； (2)用向量法證明：BD∥平面EFGH； (3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有.參考答案 一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），∴=，∴∥，又線段AB與線段DC無公共點，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又||=， =(5，3），||=，∴||≠|(zhì)},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1）， ∴14+21=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD也不是矩形，故選D. 答案：D 2.解析：∵35sinα得sinα=,則α=30或α=150. 又∵ab＜0,∴α=150. 答案：C 二、3.(2,0) 4.13 cm 三、5.解：∵與共線，∴=m=m(－)=m(μb－a), ∴=+=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb ① 又與共線，∴=n=n(－)=n(λa－b), ∴=+=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b ② 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b. ∵a與b不共線，∴ ③ 解方程組③得：m=代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］. 6.解：(1)以點A為坐標(biāo)原點O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(－a). (2)取A1B1的中點M，于是有M(0，a），連AM，MC1，有=(－a,0,0）, 且=(0，a,0）,=(0,0a) 由于=0，=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角. ∵= 所以所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30. 7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得， =－=(－1－x,－y）, =(1－x,－y), =－=(2,0),∴=2(1+x), =x2+y2－1, =2(1－x).于是，是公差小于零的等差數(shù)列，等價于 所以，點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓. (2)點P的坐標(biāo)為(x0,y0) 8.證明：(1）連結(jié)BG，則 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中=） (2）因為. 所以EH∥BD，又EH面EFGH，BD面EFGH 所以BD∥平面EFGH. (3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知，同理，所以，EHFG,所以EG、FH交于一點M且被M平分，所以 . 【解斜三角形練習(xí)】 一、選擇題 1.給出四個命題：(1)若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC為正三角形.以上正確命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空題 2.在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為__________. 3.在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，則cos2(B+C)=__________. 三、解答題 4.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積. 5.如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點到光源的距離 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？ 6.在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，. (1)求角A的度數(shù)； (2)若a=，b+c=3，求b和c的值. 7.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又∠A－∠C=，試求∠A、∠B、∠C的值. 8.在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求AD∶AB的值. 參考答案 一、1.解析：其中(3）(4）正確. 答案： B 二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B， 答案： 3.解析：∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180. ∵cos(2A+C)=－，∴sin(2A+C)=. ∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB=.故cosB=. 即sin(A+C)=，cos(A+C)=－. ∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－， ∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1=. 答案： 三、4.解：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積： S=S△ABD+S△CDB=ABADsinA+BCCDsinC ∵A+C=180，∴sinA=sinC 故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA 由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2ABADcosA=20－16cosA 在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CBCDcosC=52－48cosC ∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA， ∴64cosA=－32，cosA=－，又0＜A＜180，∴A=120故S=16sin120=8. 5.解：R=rcosθ，由此得：， 7.解：由a、b、3c成等比數(shù)列，得：b2=3ac ∴sin2B=3sinCsinA=3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］ ∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－［cos(A+C)－cos］ 即1－cos2(A+C)=－cos(A+C)，解得cos(A+C)=－. ∵0＜A+C＜π，∴A+C=π.又A－C=∴A=π，B=，C=. 8.解：按題意，設(shè)折疊后A點落在邊BC上改稱P點，顯然A、P兩點關(guān)于折線DE對稱，又設(shè)∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設(shè)AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中， ∠APB=180－∠ABP－∠BAP=120－θ， 由正弦定理知：.∴BP= 在△PBD中，, ∵0≤θ≤60，∴60≤60+2θ≤180，∴當(dāng)60+2θ=90，即θ=15時， sin(60+2θ)=1，此時x取得最小值a，即AD最小， ∴AD∶DB=2－3. 平面向量單元測試題 班級 姓名 考號 一，選擇題：（5分8=40分） 1，下列說法中錯誤的是 （ ） A．零向量沒有方向 B．零向量與任何向量平行 C．零向量的長度為零 D．零向量的方向是任意的 2，下列命題正確的是 （ ） A. 若、都是單位向量，則 ＝ B. 若=, 則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形 C. 若兩向量、相等，則它們是始點、終點都相同的向量 D. 與是兩平行向量 3，下列命題正確的是 （ ） A、若∥，且∥，則∥。 B、兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同。 C、向量的長度與向量的長度相等 , D、若非零向量與是共線向量，則A、B、C、D四點共線。 4，已知向量，若，=2，則 （ ） A．1 B. C. D. 5，若=（，），=（，），，且∥，則有 （ ） A，+=0， B， ―=0， C，+=0， D， ―=0， 6，若=（，），=（，），，且⊥，則有 （ ） A，+=0， B， ―=0， C，+=0， D， ―=0， 7，在中，若，則一定是 （ ） A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定 8，已知向量滿足，則的夾角等于 （ ） 　 A．　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D　 二，填空題：（5分4=20分） 9。已知向量、滿足==1，=3，則 = 10，已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,則＝ 11，.已知 三點A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos∠BAC = 12，.把函數(shù)的圖像按向量經(jīng)過一次平移以后得到的圖像， 則平移向量是 （用坐標(biāo)表示） 三，解答題：（10分6 = 60分） 13，設(shè)且在的延長線上，使,，則求點 的坐標(biāo) 14，已知兩向量求與所成角的大小， 15，已知向量=（6，2），=（－3，k），當(dāng)k為何值時，有 （1），∥ ? （2），⊥ ? （3），與所成角θ是鈍角 ？ 16，設(shè)點A（2，2），B（5，4），O為原點，點P滿足=+，（t為實數(shù)）； （1），當(dāng)點P在x軸上時，求實數(shù)t的值； （2），四邊形OABP能否是平行四邊形？若是，求實數(shù)t的值 ；若否，說明理由， 17，已知向量=（3, －4）, =（6, －3）,=（5－m, －3－m）, （1）若點A、B、C能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件； （2）若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，求實數(shù)m的值． 18， 已知向量 （1）求向量； （2）設(shè)向量，其中， 若，試求的取值范圍. 平面向量單元測試題答案： 一，選擇題： A D C D B C C A 二，填空題： 9，2； 10，6； 11， 12， 三，解答題： 13，解法一： 設(shè)分點P（x,y），∵=―2，l=―2 ∴ (x―4,y+3)=―2(―2―x,6―y), x―4=2x+4, y+3=2y―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P(―8,15) 解法二：設(shè)分點P（x,y），∵=―2， l=―2 ∴ x==―8, y==15, ∴ P(―8,15) 解法三：設(shè)分點P（x,y），∵, ∴ ―2=, x=―8, 6=, y=15, ∴ P(―8,15) 14，解：=2, = , cos＜,＞=―, ∴＜,＞= 1200， 15，解：（1），k=－1; (2), k=9; (3), k＜9, k≠－1 16，解：（1），設(shè)點P（x，0）， =(3,2), ∵=+，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2), ∴ (2),設(shè)點P（x,y），假設(shè)四邊形OABP是平行四邊形， 則有∥, y=x―1, ∥ 2y=3x ∴ …… ①, 又由=+， (x,y)=(2,2)+ t(3,2), 得 ∴ …… ②, 由①代入②得：， 矛盾，∴假設(shè)是錯誤的， ∴四邊形OABP不是平行四邊形。 17，,解：（1）已知向量 若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則這三點不共線， 3分 故知． ∴實數(shù)時，滿足的條件． 5分 （2）若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，則， 7分 ∴，解得． 10分 18, ．解：（1）令 3分 （2） 4分 6分 ===； 8分 ∵ ―1≤sinx≤1, ∴ 0≤≤2, 10分