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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用 第七課時(shí) 第二章 ●課 題 2.6.3 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用(二) ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù). 2.指數(shù)形式復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性. 3.指數(shù)形式復(fù)合函數(shù)的奇偶性. (二)能力訓(xùn)練要求 1.掌握指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的證明方法. 2.掌握指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性的證明方法. 3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). (三)德育滲透目標(biāo) 1.認(rèn)識(shí)從特殊到一般的研究方法. 2.用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題. 3.了解數(shù)學(xué)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用. ●教學(xué)重點(diǎn) 1.函數(shù)單調(diào)性的證明通法. 2.函數(shù)奇偶性的證明通法. ●教學(xué)難點(diǎn) 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用. ●教學(xué)方法 啟發(fā)式 啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟對(duì)指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，但應(yīng)在變形這一關(guān)鍵步驟幫助學(xué)生總結(jié)、歸納有關(guān)指數(shù)形式的函數(shù)變形技巧，以利于下一步的判斷. 在運(yùn)用證明函數(shù)奇偶性的基本步驟對(duì)指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性證明時(shí)，應(yīng)提醒學(xué)生考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，以培養(yǎng)學(xué)生的定義域意識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生得指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)判斷奇偶性的常用等價(jià)形式，以幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu). ●教具準(zhǔn)備 幻燈片三張 第一張：判斷及證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟、判斷及證明函數(shù)奇偶性的基本步驟(記作 2.6.3 A） 第二張：例5證明過程(記作2.6.3 B） 第三張：例6證明過程(記作2.6.3 C） ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，這一節(jié)，我們學(xué)習(xí)指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的證明方法.首先，大家來回顧一下第二章第一單元所學(xué)的證明函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的基本步驟. ［生］判斷及證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟： 假設(shè)→作差→變形→判斷. ［生］判斷及證明函數(shù)奇偶性的基本步驟： (1)考查函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； (2)比較f（－x）與f（x）或者－f（x）的關(guān)系； (3)根據(jù)函數(shù)奇偶性定義得出結(jié)論. (給出幻燈片2.6.3 A，老師結(jié)合幻燈片內(nèi)容加以強(qiáng)調(diào)說明) ［師］在函數(shù)單調(diào)性的證明過程中，“變形”是一關(guān)鍵步驟，變形的目的是為了易于判斷，判斷有兩層含義：一是對(duì)差式正負(fù)的判斷；二是對(duì)增減函數(shù)定義的判斷. 另外，在函數(shù)奇偶性的判斷及證明過程中，定義域的考查容易被大家忽略，而函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件，大家應(yīng)予以重視. 下面，我們通過例題來一起熟悉并掌握證明函數(shù)單調(diào)性，奇偶性的方法. Ⅱ.講授新課 [例5]當(dāng)a＞1時(shí)，證明函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). 分析：此題證明的結(jié)構(gòu)仍是函數(shù)奇偶性的證明，但在證明過程中的恒等變形用到推廣的實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì).同時(shí)，應(yīng)注意首先考查函數(shù)的定義域. 證明：由ax－1≠0 得x≠0 故函數(shù)定義域{x｜x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 又f(－x)= = －f(x)=－ ∴f(－x)=－f(x) 所以函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). ［師］對(duì)于f（－x）與f（x）關(guān)系的判斷，也可采用如下證法： ＝－1 即f（－x）＝－f（x） 評(píng)述：對(duì)于指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性的證明，常利用如下的變形等價(jià)形式： f（－x）＝f（x）＝1（f（x）≠0）， f（－x）＝－f（x） ＝－1（f（x）≠0）. 這種變形的等價(jià)形式主要是便于實(shí)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)，要求學(xué)生在解決相關(guān)類型題時(shí)，予以嘗試和體會(huì). ［例6］設(shè)a是實(shí)數(shù)，f(x)=a－ (x∈R) (1)試證明對(duì)于任意a,f(x)為增函數(shù)； (2)試確定a值，使f(x)為奇函數(shù). 分析：此題的形式較為復(fù)雜，但應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進(jìn)行證明.還應(yīng)要求學(xué)生注意不同題型的解答方法. (1)證明：設(shè)x1,x2∈R,且x1＜x2 則f(x1)－f(x2)=(a－ = = 由于指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，且x1＜x2,所以即＜0 又由2x＞0得+1＞0，+1＞0 所以f(x1)－f(x2)＜0 即f(x1)＜f(x2) 因?yàn)榇私Y(jié)論與a取值無關(guān)，所以對(duì)于a取任意實(shí)數(shù)，f(x)為增函數(shù). 評(píng)述：上述證明過程中，對(duì)差式正負(fù)判斷時(shí)，利用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性. (2)解：若f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)=－f(x) 即a－ 變形得: 2a= = 解得a=1 所以當(dāng)a=1時(shí)，f(x)為奇函數(shù). 評(píng)述：此題并非直接確定a值，而是由已知條件逐步推導(dǎo)a值.應(yīng)要求學(xué)生適應(yīng)這種探索性題型. Ⅲ.課堂練習(xí) 已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)=－2x+1,求當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)的解析式. 解：設(shè)x∈（－∞，0），則－x∈（0，＋∞），由x∈（0，＋∞）時(shí)，f（x）＝－2x＋1得f（－x）＝－2-x＋1 又由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)得 f（－x）＝f（x） ∴f（x）＝－2-x＋1. 即當(dāng)x∈（－∞，0）時(shí)，f（x）＝－2-x＋1. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) ［師］通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步熟悉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，并掌握函數(shù)單調(diào)性.奇偶性證明的通法. Ⅴ.課后作業(yè) （一）1.課本P75習(xí)題2.6 4.求證： (1)f（x）＝（a＞0，a≠1)是奇函數(shù)； (2)f（x）＝（a＞0，a≠1）是偶函數(shù). 證明：(1)∵f（－x）＝＝－f（x） 即f（－x）＝－f（x），故f（x）是奇函數(shù). (2)f（－x）＝ ＝－ ＝＝f（x） 即f（－x）＝f（x），故f（x）＝是偶函數(shù). 2.已知函數(shù)f(x)=， (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)求證函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)上是增函數(shù). (1)解：首先考查函數(shù)定義域R，故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 又∵f（－x）＝ ＝＝－f（x） 即f（－x）＝－f（x） ∴f（x）是奇函數(shù). (2)證明：設(shè)x1＜x2，則 f（x1）－f（x2）＝ ＝ ＝ ＝ ∵x1＜x2 ∴ ∴＜0. 又∵2＞＋1＞0，＋1＞0 ∴＜0 ∴f（x1）－f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2） ∴f（x）在（－∞，＋∞)上是增函數(shù). （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P76 2.預(yù)習(xí)提綱： (1)對(duì)數(shù)與指數(shù)有何聯(lián)系? (2)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式如何互化? ●板書設(shè)計(jì) 2.6.3 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用(二) 1.單調(diào)性證明通法：比較自變量大小與相應(yīng)函數(shù)值大小是具有一致性，還是相反性. 2.奇偶性證明通法 ①考查定義域 ②比較f（－x），f（x），－f（x）三者的關(guān)系 3.[例5] 4.［例6］ 5.學(xué)生練習(xí)