4.2 三角形及其全等,中考數(shù)學(xué) (山東專用),A組 20142018年山東中考題組 考點(diǎn)一 三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì),五年中考,1.(2018聊城,10,3分)如圖,將一張三角形紙片ABC的一角折疊,使點(diǎn)A落在ABC外的A處,折 痕為DE.如果A=,CEA=,BDA=,那么下列式子中正確的是 ( ) A.=2+ B.=+2 C.=+ D.=180-,答案 A 設(shè)DA交AC于點(diǎn)F,經(jīng)過(guò)折疊,A=A=,由三角形的外角定理,AFC=CEA+ A=+,BDF=A+AFD=+,即=2+,故選A.,2.(2016棗莊,4,3分),如圖,在ABC中,AB=AC,A=30,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),ABC與ACE的平分線相交于點(diǎn)D, 則D等于 ( ) A.15 B.17.5 C.20 D.22.5,審題技巧 在求與三角形有關(guān)的角度問(wèn)題時(shí),常常要用到三角形的內(nèi)角和等于180,或三角形 的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.,答案 A BD平分ABC,CD平分ACE, DBE= ABC,DCE= ACE,又DCE-DBE=D,ACE-ABC=A,D= A= 30=15,故選擇A.,3.(2015濱州,7,3分)在ABC中,ABC=345,則C等于 ( ) A.45 B.60 C.75 D.90,答案 C 三角形內(nèi)角和是180,C=180 =75,故選C.,一題多解 本題也可以根據(jù)比例設(shè)未知數(shù),列方程求解.設(shè)A=3x,B=4x,C=5x,則3x+4x +5x=180,解得x=15,5x=75,即C=75.,4.(2015青島,4,3分)如圖,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分線,DEAB,垂足 為E,DE=1,則BC= ( ) A. B.2 C.3 D. +2,答案 C DEAB,B=30,BD=2DE=2, DCAC,DEAB,AD是BAC的平分線, DC=DE=1, BC=BD+DC=2+1=3.故選C.,思路分析 根據(jù)“在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的 一半”可求得BD的長(zhǎng),再根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”可得到DE= DC,從而可求出BC的長(zhǎng).,考點(diǎn)二 全等三角形,1.(2018臨沂,11,3分)如圖,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分別是點(diǎn)D,E,AD=3,BE= 1,則DE的長(zhǎng)是 ( ) A. B.2 C.2 D.,答案 B ADCE,BECE,ADC=CEB=90,DAC+DCA=90,ACB=90, ECB+DCA=90,DAC=ECB,AC=CB,ACDCBE,AD=CE=3,CD=BE=1, DE=CE-CD=3-1=2.,思路分析 通過(guò)證明ACD與CBE全等,得到AD=CE,CD=BE,然后利用線段的和差計(jì)算DE 的長(zhǎng).,2.(2016泰安,18,3分)如圖,在PAB中,PA=PB,M,N,K分別是邊PA,PB,AB上的點(diǎn),且AM=BK,BN= AK,若MKN=44,則P的度數(shù)為 ( ) A.44 B.66 C.88 D.92,答案 D PA=PB,A=B.又BK=AM,BN=AK,AKMBNK(SAS),AMK= BKN,MKN+BKN=A+AMK,A=MKN,MKN=44,A=44,P=180-2 A=180-244=92.故答案為D.,思路分析 通過(guò)題中所給的條件AM=BK,BN=AK,以及由PA=PB,可得A=B,得到AKM BNK,所以對(duì)應(yīng)角相等,再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,便可求出A 與MKN相等,最后由三角形的內(nèi)角和等于180,求出P的度數(shù).,3.(2016威海,10,3分)如圖,在ABC中,B=C=36,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)H. AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)G.連接AD,AE.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( ) A. = B.AD,AE將BAC三等分 C.ABEACD D.SADH=SCEG,答案 A B=C=36,AB=AC,BAC=108, DH垂直平分AB,EG垂直平分AC, DB=DA,EA=EC, B=DAB=C=CAE=36,BAD=BCA, 又B=B,BDABAC, = , ADC=B+BAD=72,DAC=BAC-BAD=72, ADC=DAC, CD=CA=BA, BD=BC-CD=BC-AB, 則 = = , 易求得 = = ,故A錯(cuò)誤; BAC=108,DAB=CAE=36,DAE=BAC-DAB-CAE=36, 即DAB=DAE=CAE=36, AD,AE將BAC三等分,故B正確; BAE=BAD+DAE=72,CAD=CAE+DAE=72, BAE=CAD, 在BAE和CAD中, BAECAD,故C正確; 由BAECAD可得SBAE=SCAD, 即SBAD+SADE=SCAE+SADE, SBAD=SCAE, 又DH垂直平分AB,EG垂直平分AC, SADH= SABD,SCEG= SCAE, SADH=SCEG,故D正確,故選A.,4.(2018菏澤,17,6分)如圖,ABCD,AB=CD,CE=BF.請(qǐng)寫出DF與AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié) 論.,解析 DF=AE. 證明:ABCD,C=B.CE=BF,CE-EF=BF-FE,CF=BE.又CD=AB,DCF ABE(SAS),DF=AE.,思路分析 由已知條件易證DCFABE(SAS),可得DF=AE.,5.(2017臨沂,25,11分)數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問(wèn)題:如圖1,AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線,若 ACB=ACD=ABD=ADB=60,則線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系? 經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的思路:如圖2,延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD,連接AE,證得ABE ADC,從而容易證明ACE是等邊三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD. 小亮展示了另一種正確的思路:如圖3,將ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,使AB與AD重合,從而 容易證明ACF是等邊三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD. 在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究: (1)小穎提出:如圖4,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改為“ACB=ACD=,ABD=ADB=45”,其他條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小穎提 出的問(wèn)題,請(qǐng)你寫出結(jié)論,并給出證明; (2)小華提出:如圖5,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改為“ACB=ACD= ABD=ADB=”,其他條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小華提出 的問(wèn)題,請(qǐng)你寫出結(jié)論,不用證明.,解析 (1)BC+CD= AC. 證明:如圖,延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD,連接AE. ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BCD=90,AD=AB. ABC+ADC=180,又ABE+ABC=180, ADC=ABE.ADCABE. AC=AE,CAD=EAB.EAC=BAD=90. CE= AC,BC+CD= AC. (2)BC+CD=2ACcos . (證明:如圖,延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD,連接AE.,ACB=ACD=ABD=ADB=, BAD=180-2,BCD=2,AD=AB. BAD+BCD=180,ABC+ADC=180. 又ABE+ABC=180, ADC=ABE,ADCABE,AC=AE. 過(guò)點(diǎn)A作AFCE,則EC=2CF. 在RtACF中,CF=ACcos . EC=2ACcos ,BC+CD=2ACcos .),一題多解 (1)BC+CD= AC. 證明:ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BCD=90. ABC+ADC=180. 將ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ADF, 使AB與AD重合. DF=BC,F=ACB=45,CAF=90,ADF=ABC. ADF+ADC=180. C、D、F三點(diǎn)在同一條直線上. CF= AC.BC+CD= AC.,B組 20142018年全國(guó)中考題組,考點(diǎn)一 三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì),1.(2018河北,1,3分)下列圖形具有穩(wěn)定性的是 ( ),答案 A 三角形具有穩(wěn)定性.故選A.,2.(2017廣西河池,9,3分)三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等兩部分的是 ( ) A.中線 B.角平分線 C.高 D.中位線,答案 A 三角形的中線把三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形, 三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.故選A.,3.(2016湖南岳陽(yáng),6,3分)下列長(zhǎng)度的三根小木棒能構(gòu)成三角形的是 ( ) A.2 cm,3 cm,5 cm B.7 cm,4 cm,2 cm C.3 cm,4 cm,8 cm D.3 cm,3 cm,4 cm,答案 D 對(duì)于選項(xiàng)A,2+3=5,不符合三角形三邊關(guān)系;對(duì)于選項(xiàng)B,2+44,符合三角形三邊關(guān)系.故選擇 D.,4.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC邊上的高等于3,則BC邊的長(zhǎng)為 .,答案 1或9,解析 分兩種情況討論: BC邊上的高在ABC內(nèi)時(shí),如圖,過(guò)A作ADBC于點(diǎn)D. 在RtABD中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4. BC=BD+CD=9. BC邊上的高位于ABC外時(shí),如圖,同可求得BD=5,CD=4, BC=1. 綜上,BC的長(zhǎng)為1或9.,思路分析 根據(jù)題意畫圖,要考慮全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易錯(cuò)警示 本題容易只考慮BC邊上的高在ABC內(nèi)的情況而導(dǎo)致漏解.,5.(2017青海,5,2分)如圖,在ABC中,ABC和ACB的角平分線相交于點(diǎn)O,若A=50,則 BOC= .,答案 115,解析 A=50,ABC+ACB=180-50=130,BO平分ABC,CO平分ACB, OBC= ABC,OCB= ACB,OBC+OCB= ABC+ ACB= (ABC+ACB)= 130=65,BOC=180-(OBC+OCB)=180-65=115.,6.(2017四川成都,12,4分)在ABC中,ABC=234,則A的度數(shù)為 .,答案 40,解析 設(shè)A=2x,則B=3x,C=4x,所以2x+3x+4x=180,解得x=20,所以A=40.,考點(diǎn)二 全等三角形,1.(2018四川成都,6,3分)如圖,已知ABC=DCB,添加以下條件,不能判定ABCDCB的 是 ( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC,答案 C 根據(jù)題中已有條件,分別添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全 等的AAS,ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故選項(xiàng)A,B,D不符合題意;添加AC=BD,不符 合全等三角形的判定定理,不能推出ABCDCB,選項(xiàng)C符合題意.故選C.,2.(2015浙江紹興,7,4分)如圖,小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD,其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的 點(diǎn)A與PRQ的頂點(diǎn)R重合,調(diào)整AB和AD,使它們分別落在角的兩邊上,過(guò)點(diǎn)A,C畫一條射線AE, AE就是PRQ的平分線.此角平分儀的畫圖原理是:根據(jù)儀器結(jié)構(gòu),可得ABCADC,這樣 就有QAE=PAE.則說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS,答案 D 因?yàn)樵贏BC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(SSS),故選 D.,3.(2017黑龍江龍東地區(qū),3,3分)如圖,BCEF,ACDF,添加一個(gè)條件: ,使得 ABCDEF.,答案 答案不唯一,如:AB=DE、BC=EF、AC=DF或AD=BE,解析 當(dāng)AB=DE時(shí),BCEF,ABC=E, ACDF,A=EDF, 在ABC和DEF中, ABCDEF(ASA), 同理,當(dāng)BC=EF、AC=DF或AD=BE時(shí),也可求證ABCDEF.,4.(2017四川達(dá)州,14,3分)ABC中,AB=5,AC=3,AD是ABC的中線,設(shè)AD長(zhǎng)為m,則m的取值范 圍是 .,答案 1m4,解析 如圖,延長(zhǎng)中線AD至E,使AD=DE,連接BE. AD是ABC的中線,BD=CD. AD=DE,ADC=EDB,ACDEBD, BE=AC=3,AB-BEAEAB+BE, 5-32m5+3,1m4.,5.(2018云南,16,6分)如圖,已知AC平分BAD,AB=AD. 求證:ABCADC.,證明 AC平分BAD, BAC=DAC. (2分) 在ABC和ADC中, ABCADC(SAS). (6分),6.(2018陜西,18,5分)如圖,ABCD,E、F分別為AB、CD上的點(diǎn),且ECBF,連接AD,分別與 EC、BF相交于點(diǎn)G、H.若AB=CD,求證:AG=DH.,證明 ABCD,A=D. ECBF, BHA=CGD. (2分) AB=CD, ABHDCG, AH=DG, AG=DH. (5分),思路分析 首先利用平行線的性質(zhì)得出A=D,BHA=CGD,進(jìn)而判定ABHDCG, 最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等量減等量差相等,得出結(jié)果.,歸納總結(jié) 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根據(jù)已知條件恰當(dāng)選 擇判定定理.當(dāng)已知兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí),可考慮證夾角相等或第三邊相等.當(dāng)已知兩角對(duì)應(yīng)相 等時(shí)可考慮證夾邊相等或一角對(duì)邊相等.當(dāng)已知角及鄰邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)可選用SAS、ASA或 AAS.,7.(2017江蘇蘇州,24,8分)如圖,A=B,AE=BE,點(diǎn)D在AC邊上,1=2,AE和BD相交于點(diǎn)O. (1)求證:AECBED; (2)若1=42,求BDE的度數(shù).,解析 (1)證明:AE和BD相交于點(diǎn)O,AOD=BOE.在AOD和BOE中,A=B, BEO=2,又1=2,1=BEO,1+AED=BEO+AED,即AEC=BED. 在AEC和BED中, AECBED(ASA). (2)AECBED,EC=ED,C=BDE.又1=42. C=EDC=69,BDE=C=69.,C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì),1.(2018湖北黃岡,4,3分)如圖,在ABC中,直線DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點(diǎn)D 和E,B=60,C=25,則BAD為 ( ) A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因?yàn)橹本€DE是AC的垂直平分線,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=1 80-(25+25)=130.因?yàn)锳DC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故選B.,2.(2017湖南株洲,5,3分)如圖,在ABC中,BAC=x,B=2x,C=3x,則BAD的度數(shù)是 ( ) A.145 B.150 C.155 D.160,解析 B 由三角形內(nèi)角和定理得,x+2x+3x=180,解得x=30,所以BAD=B+C=2x+3x=5x =530=150,故選B.,3.(2017浙江舟山,2,3分)長(zhǎng)度分別為2,7,x的三條線段能組成一個(gè)三角形,x的值可以是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.9,答案 C 長(zhǎng)度分別為2,7,x的三條線段能組成一個(gè)三角形,7-2x7+2,即5x9,故選擇C.,4.(2017四川德陽(yáng),6,3分)如圖,在ABC中,AD是BC邊上的高,BE平分ABC交AC邊于E,BAC =60,ABE=25,則DAC的大小是 ( ) A.15 B.20 C.25 D.30,答案 B BE平分ABC,ABE=25, ABC=2ABE=50. ADBC, ADB=90, BAD=90-50=40. BAC=60, DAC=60-40=20,故選B.,5.(2016浙江麗水,9,3分)用直尺和圓規(guī)作RtABC斜邊AB上的高CD,以下四個(gè)作圖中,作法錯(cuò) 誤的是 ( ),解析 D A.利用作線段垂直平分線的方法得出CDAB,從而CD是RtABC斜邊AB上的高. B.根據(jù)圓中直徑所對(duì)的圓周角是直角知CD是RtABC斜邊AB上的高. C.根據(jù)相交圓的兩圓心連線垂直平分公共弦知CD是RtABC斜邊AB上的高. D.無(wú)法證明CD是RtABC斜邊AB上的高.故選D.,6.(2016福建漳州,8,4分)下列尺規(guī)作圖,能判斷AD是ABC邊上的高是 ( ),答案 B A選項(xiàng),由作圖痕跡可以發(fā)現(xiàn)圖中的虛線應(yīng)該是BC的垂直平分線,所以點(diǎn)D是BC的 中點(diǎn),故AD是ABC的一條中線;B選項(xiàng)中的作圖痕跡是經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線,可 以發(fā)現(xiàn)AD與BC所在直線是垂直的,故B正確;C選項(xiàng),由作圖痕跡可以發(fā)現(xiàn)圖中AD是BAC的 平分線,故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),由作圖痕跡可以發(fā)現(xiàn)圖中AD與AB垂直,垂足為點(diǎn)A,很顯然,D錯(cuò)誤.,7.(2017福建,12,4分)如圖,ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),連接DE,若DE=3,則線段BC的 長(zhǎng)等于 .,答案 6,解析 D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),DE是ABC的中位線. BC=2DE,DE=3,BC=6.,8.(2015湖南常德,15,3分)如圖,在ABC中,B=40,三角形ABC的外角DAC和ACF的平分 線交于點(diǎn)E,則AEC= 度.,答案 70,解析 如圖,因?yàn)锳E,CE分別平分DAC和ACF,所以EAC= DAC,ECA= ACF,又 因?yàn)锽=40,B+1+2=180,所以 DAC+ ACF= (B+2)+(B+1)= (B+ B+1+2)= 220=110, 所以AEC=180-(EAC+ECA) =180- =180-110=70, 故答案為70.,9.(2016四川內(nèi)江,26,12分)問(wèn)題引入: (1)如圖,在ABC中,點(diǎn)O是ABC和ACB平分線的交點(diǎn),若A=,則BOC= (用 表示);如圖,CBO= ABC,BCO= ACB,A=,則BOC= (用表示); 拓展研究: (2)如圖,CBO= DBC,BCO= ECB,A=,猜想BOC= (用表示),并說(shuō)明 理由; (3)BO、CO分別是ABC的外角DBC、ECB的n等分線,它們交于點(diǎn)O,CBO= DBC, BCO= ECB,A=,請(qǐng)猜想BOC= .,解析 (1)90+ ;120+ . 在ABC中,點(diǎn)O是ABC和ACB平分線的交點(diǎn), CBO= ABC,BCO= ACB. A=,BOC=180-(CBO+BCO) =180- (ABC+ACB) =180- (180-A) =180- (180-) =180-90+ =90+ . CBO= ABC,BCO= ACB,A=, BOC=180- (ABC+ACB),=180- (180-A) =180- (180-) =180-60+ =120+ . (2)120- . 理由:CBO= DBC,BCO= ECB,A=, BOC=180- (DBC+ECB) =180-360-(ABC+ACB) =180-360-(180-A) =180- (180+) =180-60- ,=120- . (3) . CBO= DBC,BCO= ECB,A=, BOC=180- (DBC+ECB) =180- 360-(ABC+ACB) =180- 360-(180-A) =180- (180+) = 180- . = .,考點(diǎn)二 全等三角形,1.(2016淄博,11,4分)如圖,直線l1l2l3,一等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C分別在l1,l2,l3 上,ACB=90,AC交l2于點(diǎn)D.已知l1與l2的距離為1.l2與l3的距離為3.則 的值為 ( ) A. B. C. D.,答案 A 如圖,作BFl3,AEl3交l2于點(diǎn)G. ACB=90,BCF+ACE=90. BCF+CBF=90,ACE=CBF. 又BFC=CEA=90,BC=CA,ACECBF. CE=BF=3,CF=AE=4.BG=EF=CF+CE=7. AB= =5 . l2l3, = = .DG= . BD=BG-DG=7- = ., = = .故選擇A.,解題關(guān)鍵 添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.,2.(2015福建莆田,6,4分)如圖,AEDF,AE=DF,要使EACFDB,需要添加下列選項(xiàng)中的 ( ) A.AB=CD B.EC=BF C.A=D D.AB=BC,答案 A AEDF,A=D, 若AB=CD,則AC=BD, 在EAC和FDB中, EACFDB(SAS),故選A.,3.(2017湖南懷化,15,4分)如圖,AC=DC,BC=EC,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件: ,使得 ABCDEC.,答案 答案不唯一,如:AB=DE或ACB=DCE或ACD=BCE,解析 AC=DC,BC=EC,當(dāng)AB=DE時(shí),ABCDEC.同理,當(dāng)ACB=DCE或ACD= BCE時(shí),ABCDEC.,4.(2018云南昆明,15,6分)如圖,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求證:BC=DE.,證明 1=2, 1+DAC=2+DAC, 即BAC=DAE, (1分) 在ABC和ADE中, (3分) ABCADE(ASA), (5分) BC=DE. (6分) (其他證法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分),5.(2018河北,23,9分)如圖,A=B=50,P為AB中點(diǎn),點(diǎn)M為射線AC上(不與點(diǎn)A重合)的任意一 點(diǎn),連接MP,并使MP的延長(zhǎng)線交射線BD于點(diǎn)N,設(shè)BPN=. (1)求證:APMBPN; (2)當(dāng)MN=2BN時(shí),求的度數(shù); (3)若BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,直接寫出的取值范圍.,解析 (1)證明:P為AB中點(diǎn),PA=PB. 又A=B,MPA=NPB, APMBPN. (2)由(1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN, =B=50. (3)4090. 詳解:BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,BPN是銳角三角形, BPN和BNP都為銳角,又B=50, 40BPN90,即4090.,思路分析 (1)根據(jù)ASA可證明:APMBPN; (2)根據(jù)APMBPN得MN=2PN,結(jié)合MN=2BN得出PN=BN,由等邊對(duì)等角可得結(jié)果; (3)只有銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部,根據(jù)BPN和BNP都為銳角及B=50可得的 取值范圍.,1.如果已知兩邊:(1)找?jiàn)A角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一條邊,利用 SSS求解.,方法歸納 證明三角形全等的一般思路:,2.已知一邊和一角:(1)邊為角的對(duì)邊,則找任一角,利用AAS求解;(2)邊為角的一條邊:找角的 另一邊,利用SAS求解,找邊的另一角,利用ASA求解,找邊的對(duì)角,利用AAS求解.,3.已知兩角:(1)找?jiàn)A邊,利用ASA求解;(2)找兩角中任意一角的對(duì)邊,利用AAS求解.,6.(2017湖北武漢,18,8分)如圖,點(diǎn)C,F,E,B在一條直線上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE.寫出 CD與AB之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.,解析 CD與AB之間的關(guān)系為CD=AB,且CDAB. 證明:CE=BF,CF=BE. 在CDF和BAE中, CDFBAE,CD=BA,C=B, CDBA.,思路分析 先證明CDFBAE,再利用全等三角形的性質(zhì)得到CD與AB之間的關(guān)系.,易錯(cuò)警示 CD與AB之間的位置關(guān)系是平行,數(shù)量關(guān)系是相等,本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是只得到 CD與AB之間的一種關(guān)系.,7.(2017湖北孝感,18,8分)如圖,已知AB=CD,AEBD,CFBD,垂足分別為E、F,BF=DE.求證 ABCD.,證明 AEBD,CFBD,AEB=CFD=90. BF=DE,BF+FE=DE+EF,即EB=DF. 在RtDCF和RtBAE中, RtDCFRtBAE(HL), D=B,DCAB.,8.(2017湖南郴州,19,6分)已知ABC中,ABC=ACB,點(diǎn)D,E分別為邊AB,AC的中點(diǎn),求證:BE =CD.,證明 ABC=ACB,AB=AC, 又D、E分別為邊AB、AC中點(diǎn),AD=AE, 在ADC和AEB中, ADCAEB(SAS). BE=CD.,9.(2017貴州銅仁,22,10分)如圖,已知點(diǎn)E,F分別是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD所在直線上的兩 點(diǎn),連接AE,CF,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使得ABECDF,并證明.,解析 添加的條件是DE=BF, 理由:四邊形ABCD是平行四邊形, AB=CD,ABCD, EBA=FDC, DE=BF, DE+DB=BF+DB,即BE=DF, 在ABE和CDF中, ABECDF(SAS).,10.(2016湖北孝感,18,8分)如圖,BDAC于點(diǎn)D,CEAB于點(diǎn)E,AD=AE. 求證:BE=CD.,證明 BDAC于點(diǎn)D,CEAB于點(diǎn)E, ADB=AEC=90. 在ABD和ACE中, ABDACE(ASA). AB=AC.又AD=AE,AB-AE=AC-AD,即BE=CD.,11.(2016湖北宜昌,18,7分)楊陽(yáng)同學(xué)沿一段筆直的人行道行走,在由A步行到達(dá)B處的過(guò)程中,通 過(guò)隔離帶的空隙O,剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的社會(huì)主義核心價(jià)值觀標(biāo)語(yǔ).其具體信息 匯集如下, 如圖,ABOHCD,相鄰兩平行線間的距離相等.AC,BD相交于O,ODCD,垂足為D.已知AB= 20米.請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)CD的長(zhǎng)度.,解析 ABDC,ABO=CDO. 又DOCD,CDO=90, ABO=90,即BOAB. 相鄰兩平行線間的距離相等,BO=DO. 在BOA與DOC中, BOADOC.CD=AB=20米. 故標(biāo)語(yǔ)CD的長(zhǎng)度為20米.,A組 20162018年模擬基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一 三角形的相關(guān)概念及邊角性質(zhì),三年模擬,1.(2018泰安泰山學(xué)院附中二模,8)已知等腰三角形的腰和底的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-4x+3= 0的根,則該三角形的周長(zhǎng)可以是 ( ) A.5 B.7 C.5或7 D.10,答案 B 解方程x2-4x+3=0,得x=1或x=3,根據(jù)題意,等腰三角形的腰只能是3,底邊是1,則該三 角形的周長(zhǎng)為3+3+1=7.,2.(2018淄博周村二模,4)用三角板作ABC的邊BC上的高,下列三角板的擺放位置正確的是 ( ),答案 A 根據(jù)三角形高的定義,是從點(diǎn)A向邊BC引垂線,只有A符合要求.故選A.,考點(diǎn)二 全等三角形,1.(2017日照莒縣一模,8)如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定ABC ADC的是 ( ) A.CB=CD B.BAC=DAC C.BCA=DCA D.B=D=90,答案 C 選項(xiàng)A,添加CB=CD,根據(jù)SSS判定ABCADC,故選項(xiàng)A不符合題意; 選項(xiàng)B,添加BAC=DAC,根據(jù)SAS判定ABCADC,故選項(xiàng)B不符合題意; 選項(xiàng)C,添加BCA=DCA,ASS不能判定ABCADC,故選項(xiàng)C符合題意; 選項(xiàng)D,添加B=D=90,根據(jù)HL判定ABCADC,故選項(xiàng)D不符合題意,故選C.,2.(2018淄博沂源期中,19)如圖,已知AD是ABC的角平分線,在不添加任何輔助線的前提下,要 使AEDAFD,需添加一個(gè)條件是 ,并給予證明.,解析 本題答案不唯一.如:AE=AF或EDA=FDA或AED=AFD. 證明:當(dāng)AE=AF時(shí), AD是ABC的角平分線,EAD=FAD. 在AED和AFD中, AEDAFD(SAS).,易錯(cuò)警示 本題容易添加條件DE=DF,誤用“SSA”.,3.(2017濟(jì)南市中區(qū)一模,23)如圖,C是AB的中點(diǎn),AD=BE,CD=CE.求證:A=B.,證明 C是AB的中點(diǎn),AC=BC, 在ACD和BCE中, ACDBCE(SSS), A=B.,一、選擇題(每小題3分,共12分) 1.(2018泰安新泰一模,11)如圖,已知在ABC中,CD是AB邊上的高線,BE平分ABC,交CD于點(diǎn) E,BC=5,DE=2,則BCE的面積等于 ( ) A.10 B.7 C.5 D.4,答案 C 如圖,過(guò)點(diǎn)E作EFBC于F,BE平分ABC,EDAB,EFBC, EF=DE=2,SBCE= BCEF= 52=5.,思路分析 作EFBC于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF=DE=2,然后根據(jù)三角形面積公式即可求解.,B組 2016-2018年模擬提升題組,(時(shí)間:20分鐘 分值:30分),2.(2018臨沂模擬,12)如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BCD=45,AD=2,BC=3,將 腰CD以D為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ED,連接AE、CE,則ADE的面積是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.不能確定,答案 A 如圖,過(guò)點(diǎn)E作EFAD交AD延長(zhǎng)線于F,過(guò)點(diǎn)D作DGBC于G. 將腰CD以D為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ED, DE=DC,DEDC,CDG=EDF,CDGEDF, AD=2,BC=3,BCD=45, CG=1,DG=CG=DF=EF=1,ADE的面積是 21=1.,3.(2018濟(jì)南歷城一模,10)如圖,ABC的面積為8 cm2,BP平分ABC,APBP于P,連接PC,則 PBC的面積為 ( ) A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2,答案 C 延長(zhǎng)AP交BC于E,如圖所示: BP平分ABC,ABP=EBP, APBP,APB=EPB=90, 在ABP和EBP中, ABPEBP(ASA),AP=EP, SABP=SEBP,SACP=SECP, SPBC= SABC= 8=4(cm2).,思路分析 延長(zhǎng)AP交BC于E,構(gòu)造全等三角形,再利用等底同高的性質(zhì)把PBC的面積轉(zhuǎn)化為 ABC的面積的一半.,4.(2016泰安東平一模,16)如圖,在ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),AC=12,F是DE上一點(diǎn),連 接AF,CF,DF=1.若AFC=90,則BC的長(zhǎng)度為 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15,答案 C AFC=90,E為AC的中點(diǎn), EF= AC=6,則DE=DF+EF=1+6=7. D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),DE為ABC的中位線, BC=2DE=14,故選C.,二、解答題(共18分) 5.(2017濰坊模擬,24)【問(wèn)題提出】 學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的 判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的 情形進(jìn)行研究. 【初步思考】 我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后,對(duì)B 進(jìn)行分類,可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究. 【深入探究】 第一種情況:當(dāng)B是直角時(shí),ABCDEF. (1)如圖,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根據(jù) ,可以知道RtABC RtDEF.,第二種情況:當(dāng)B是鈍角時(shí),ABCDEF. (2)如圖,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是鈍角.求證:ABC DEF.,第三種情況:當(dāng)B是銳角時(shí),ABC和DEF不一定全等. (3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是銳角,請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中作 出DEF,使DEF和ABC不全等.(不寫作法,保留作圖痕跡) (4)B還要滿足什么條件,就可以使ABCDEF?請(qǐng)直接填寫結(jié)論: 在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是銳角,若 ,則ABC DEF.,解析 (1)HL. (2)證明:如圖,分別過(guò)點(diǎn)C、F作對(duì)邊AB、DE上的高CG、FH,其中G、H為垂足. ABC、DEF都是鈍角, G、H分別在AB、DE的延長(zhǎng)線上. CGAG,FHDH, CGA=FHD=90. CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH. 在BCG和EFH中, CGB=FHE,CBG=FEH,BC=EF, BCGEFH. CG=FH. 又AC=DF, RtACGRtDFH. A=D.,在ABC和DEF中, ABC=DEF,A=D,AC=DF, ABCDEF. 圖 (3)如圖,DEF就是所求作的三角形.,圖 (4)本題答案不唯一,下列解法供參考. BA.,思路分析 (1)直接利用HL得出RtABCRtDEF;(2)作CGAB,交AB的延長(zhǎng)線于G,作FH DE,交DE的延長(zhǎng)線于H.首先得出CBGFEH(AAS),則CG=FH,進(jìn)而得出RtACGRt DFH,再證出ABCDEF;(3)利用已知圖形再作一個(gè)鈍角三角形即可得出答案;(4)利用 (3)中方法可得出當(dāng)BA時(shí),ABCDEF.,6.(2016濱州一模,21)已知:如圖,ABC和ECD都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,D為 AB邊上一點(diǎn). 求證:(1)ACEBCD; (2)AD2+AE2=DE2.,證明 (1)ACB=DCE=90, ACE=BCD,又ABC和ECD都是等腰直角三角形,AC=BC,EC=DC,ACE BCD(SAS). (2)由(1)知ACEBCD,EAC=B=45. 又CAB=45,EAD=90, ADE是直角三角形,AD2+AE2=DE2.,C組 20162018年模擬探究題組 1.(2018泰安中考樣題,22)如圖,已知ABC中,AB=AC,把ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到 ADE,連接BD,CE,且BD,CE交于點(diǎn)F. (1)求證:AECADB; (2)若AB=2,BAC=45,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí),求BF的長(zhǎng).,解析 (1)證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABCADE,AB=AC, AE=AD=AC=AB,BAC=DAE, BAC+BAE=DAE+BAE,即CAE=BAD. 在AEC和ADB中, AECADB(SAS). (2)四邊形ADFC是菱形,DF=AC=AB=2,ACDF. 又BAC=45,DBA=BAC=45. 由(1)可知AB=AD,DBA=BDA=45, ABD是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形, BD2=2AB2=8,即BD=2 ,BF=BD-DF=2 -2.,解題關(guān)鍵 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),以及菱形的性質(zhì),熟練掌握旋轉(zhuǎn) 的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.,2.(2017日照模擬,23)在ABC和DEC中,AC=BC,DC=EC,ACB=ECD=90. (1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)A、C、D在同一條直線上時(shí),求證:AFBD; (2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A、C、D不在同一條直線上時(shí),求證:AFBD; (3)如圖3,在(2)的條件下,連接CF并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G,AFG是一個(gè)固定的值嗎?若是,求出 AFG的度數(shù);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.,解析 (1)證明: 在ACE和BCD中, ACEBCD, EAC=DBC,AEC=BEF, BFE=ACE=90, AFBD. (2)證明:如圖, ACB=ECD=90,ACB+ACD=ECD+ACD, BCD=ACE. 在ACE和BCD中, ACEBCD, 1=2,3=4, BFA=BCA=90, AFBD. (3)AFG是一個(gè)固定值. 如圖,過(guò)點(diǎn)C作CMBD,CNAE,垂足分別為M、N,ACEBCD, SACE=SBCD,AE=BD, AECN= BDCM, CM=CN,CMBD,CNAE, FC平分BFE,AFBD, BFE=90,EFC=45, AFG=45.,