2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積教案 理教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便，特別是能有效解決線(xiàn)段的垂直等問(wèn)題這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1. 理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來(lái)處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件2. 通過(guò)對(duì)數(shù)量積的引入和應(yīng)用，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和運(yùn)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣任務(wù)分析兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來(lái)了一些困難在學(xué)習(xí)時(shí)，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積，其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定兩向量的數(shù)量積“ab”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”通過(guò)實(shí)例理解abbc與ac的關(guān)系，ab0與a0或b0的關(guān)系，以及（ab）ca（bc）與（ab）ca（bc）的不同教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景如圖40-1所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算Wsfcos其中fcos就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量問(wèn)題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？二、建立模型1. 引導(dǎo)學(xué)生從“功”的模型中得到如下概念：已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量abcos叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作ababcos其中是a與b夾角，acos（bcos）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為由上述定義可知，兩個(gè)向量與的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)說(shuō)明：向量a與b的夾角是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0當(dāng)時(shí)，稱(chēng)a和b垂直，記作ab為方便起見(jiàn)，a與b的夾角記作a，b2. 引導(dǎo)學(xué)生思考討論根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設(shè)e是單位向量，aeacosa，e（2）設(shè)ab是非零向量，則abab0（3）aaa2，于是a.（4）cosa，b.（5）abab（這與實(shí)數(shù)abab不同）三、解釋?xiě)?yīng)用例題已知a5，b4，a，b120，求ab解：ababcosa，b54cos12010練習(xí)1. 已知a3，在上的投影為2，求：（1）a（2）a在b上的投影2. 已知：在ABC中，a5，b8，c60，求四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律1. 出示問(wèn)題：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿(mǎn)足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你能類(lèi)比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎？它們成立嗎？為什么？2. 運(yùn)算律及其推導(dǎo)已知：向量a，b，c和R，則（1）abba（交換律）證明：左abcos右（2）（a）b（ab）a（b）（數(shù)乘結(jié)合律）證明：設(shè)a，b夾角為，當(dāng)0時(shí)，a與b的夾角為，（a）b（a）bcosabcos（ab）；當(dāng)0時(shí)，a與b的夾角為（），（a）babcos（）ab（cos）abcos（ab）；當(dāng)0時(shí)，（a）b0b0（ab）總之，（a）b（ab）；同理a（b）（ab）（3）（ab）cacbc（乘法對(duì)加法的分配律）證明：如圖40-2，任取一點(diǎn)O，作a，cab（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即abcosacos1bcos2，cabcosc（acos1bcos2）cacos1cbcos2cacb，（ab）cacbc思考：（1）向量的數(shù)量積滿(mǎn)足結(jié)合律，即（ab）ca（bc）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿(mǎn)足消去律，即如果abcb，那么ac嗎？五、應(yīng)用與深化例題1. 對(duì)實(shí)數(shù)a，b，有（ab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2類(lèi)似地，對(duì)任意向量a，b，也有類(lèi)似結(jié)論嗎？為什么？解：類(lèi)比完全平方和公式與平方差公式，有（ab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2其證明是：（ab）2（ab）（ab）aaabbabba22abb2，（ab）（ab）aaabbabba2b2有類(lèi)似結(jié)論2. 已知a6，b4，a，b60，求（a2b）（a3b）解：（a2b）（a3b）a23ab2ba6b2a2abcos606b2723. 已知a3，b4，且a與b不共線(xiàn)當(dāng)k為何值時(shí)，（akb）（akb）？解：（akb）（akb），即（akb）（akb）0，即a2k2b20，即9k2160，k因此，當(dāng)k時(shí)，有（akb）（akb）4. 已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，并且a，b，c，求abc解法1：abc2，abc22解法2：abc2（abc）2a2b2c22ab2ac2bc112211cos9021 218，abc2練習(xí)1. a4，b3，（2a3b）（2ab）61，求a與b的夾角2. 在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，求六、拓展延伸1. 當(dāng)向量a，b的夾角為銳角時(shí)，你能說(shuō)明ab的幾何意義嗎？如圖40-3，ab，即以b在a上射影的長(zhǎng)和的長(zhǎng)為兩鄰邊的矩形面積（OAOA1）2. 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，試說(shuō)明平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系3. 三個(gè)單位向量a，b，c有相同終點(diǎn)且abc0，問(wèn)：它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形？解法1：如圖40-5，abc1，abc0，abc，（ab）2（c）2，a2b22abc2，2abcosAOC1，cosAOC，AOC120同理BOCAOC120，故AOB，BOC，BOC全等，ABACBC，即該ABC為等邊三角形解法2：如圖40-6，c，a，b，由abc0，即ab1，OADB為菱形又1，AOB120同理AOCBOC120，4. 在ABC中，問(wèn)：O點(diǎn)在ABC的什么位置？解：由，即（）0，即0，同理，故O是ABC的垂心點(diǎn)評(píng)這篇案例的一個(gè)突出特點(diǎn)是使用類(lèi)比方法，即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律時(shí)，經(jīng)常以實(shí)數(shù)為對(duì)象進(jìn)行類(lèi)比以物理學(xué)中的力對(duì)物體做功的實(shí)例，引入數(shù)量積的過(guò)程比較自然，學(xué)生容易接受在“拓展延伸”中，較多地展示了向量的綜合應(yīng)用這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體運(yùn)用向量方法解決與向量有關(guān)的綜合問(wèn)題，越來(lái)越成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要方面認(rèn)識(shí)向量并會(huì)使用向量是這一部分的基礎(chǔ)，也是重點(diǎn)總之，這篇案例較好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)，關(guān)注類(lèi)比方法的運(yùn)用，以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高美中不足的是，對(duì)學(xué)生的自主探究的引導(dǎo)似乎有所欠缺