2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-33.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用1分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的_，像這樣的變量稱為分類變量（2）列聯(lián)表：定義：列出的兩個(gè)分類變量的_稱為列聯(lián)表22列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為22列聯(lián)表）為總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系.2等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否_，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的_（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)_和_相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系3獨(dú)立性檢驗(yàn)定義利用隨機(jī)變量來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，其中_為樣本容量.具體步驟確定，根據(jù)實(shí)際問題的需要，確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界，然后查表確定_計(jì)算，利用公式計(jì)算隨機(jī)變量的觀測值為_下結(jié)論，如果_，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷_不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中_支持結(jié)論“與有關(guān)系”參考答案1（1）不同類別 （2）頻數(shù)表 2（1）相互影響 頻率特征 （2） 3 臨界值 觀測值 犯錯(cuò)誤的概率 沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)重點(diǎn)了解分類變量的意義，會列出的列聯(lián)表，會計(jì)算，并理解其意義難點(diǎn)了解實(shí)際推理和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想易錯(cuò)思維不清易出錯(cuò) 錯(cuò)把統(tǒng)計(jì)當(dāng)確定1.列聯(lián)表和等高條形圖的應(yīng)用某學(xué)校對高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系【答案】詳見解析【解析】作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向總計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計(jì)4265941020相應(yīng)的等高條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例從圖中可以看出，考前緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高，可以認(rèn)為考前緊張與性格類型有關(guān)【名師點(diǎn)睛】1判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的兩種常用方法（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，借助等高條形圖來判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)是判斷變量相關(guān)的常見方法（2）一般地，在等高條形圖中，與相差越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性就越大2利用等高條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟2.獨(dú)立性檢驗(yàn) 某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：積極參加班級工作不太主動參加班級工作合計(jì)學(xué)習(xí)積極性高18725學(xué)習(xí)積極性一般61925合計(jì)242650（1）如果隨機(jī)抽查這個(gè)班的一名學(xué)生，那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少？抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少？（2）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)系？并說明理由？參考公式及數(shù)據(jù)：，其中為樣本容量.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】詳見解析【解析】（1）積極參加班級工作的學(xué)生有24人，總?cè)藬?shù)為50人概率為；不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生有19人，概率為.（2）由表中數(shù)據(jù)可得，有99.9%的把握說學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系【名師點(diǎn)睛】獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：第一步，確定分類變量，獲取樣本頻數(shù)，得到列聯(lián)表第二步，根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界，然后查表確定臨界值第三步，利用公式計(jì)算隨機(jī)變量的觀測值第四步，作出判斷如果，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”3思維不清易出錯(cuò) 錯(cuò)把統(tǒng)計(jì)當(dāng)確定試分析下列說法正確與否：在用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法檢驗(yàn)?zāi)硢挝徽衅感姓ぷ魅藛T和技術(shù)工作人員所招聘的男女人數(shù)時(shí)，得到了 的觀測值為，這就證明該單位在兩類工作崗位上的招聘中一定存在性別歧視.【錯(cuò)解】這種說法都是正確的.【錯(cuò)因分析】統(tǒng)計(jì)思維得出的結(jié)論是帶有隨機(jī)性的、不能完全確定的結(jié)論. 錯(cuò)解中依據(jù)確定性思維對統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果給出了錯(cuò)誤的解釋.【正解】說法錯(cuò)誤.根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，當(dāng)?shù)挠^測值為時(shí)，有95%的把握認(rèn)為該單位在兩類工作崗位上的招聘中存在性別歧視，即該單位在招聘工作中存在性別歧視的嫌疑很大，概率高達(dá)95%，即使是這樣也不能100% 肯定該單位在招聘工作中存在性別歧視.另一方面，由于男女在選擇工作崗位上的心理不同，也會造成各個(gè)崗位招聘男女人數(shù)的差異，導(dǎo)致計(jì)算的的觀測值過大，因此，單純從這個(gè)計(jì)算結(jié)果不能得出該單位在兩類工作崗位上的招聘中一定存在性別歧視的結(jié)論.1下列關(guān)于等高條形圖的敘述正確的是A從等高條形圖中可以精確地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系B從等高條形圖中可以看出兩個(gè)變量頻數(shù)的相對大小C從等高條形圖中可以粗略地看出兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系D以上說法都不對2下面是一個(gè)22列聯(lián)表：總計(jì)217382533總計(jì)46則表中a、b處的值分別為A94、96B52、50C52、60D54、523利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考慮兩個(gè)分類變量與是否有關(guān)系時(shí)，通過查閱下表來確定“和有關(guān)系”的可信度.如果，那么就有把握認(rèn)為“與有關(guān)系”的百分比為0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A5%B95%C2.5%D97.5%4為了調(diào)查患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以下的人，調(diào)查結(jié)果如下表：患慢性氣管炎未患慢性氣管炎合計(jì)吸煙43162205不吸煙13121134合計(jì)56283339根據(jù)列表數(shù)據(jù)，求得的觀測值_.5某生產(chǎn)線上，質(zhì)量監(jiān)督員甲在生產(chǎn)現(xiàn)場時(shí)，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；不在生產(chǎn)現(xiàn)場時(shí)，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件試?yán)昧新?lián)表和等高條形圖判斷監(jiān)督員甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場對產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響6調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)：出生時(shí)間在晚上的男嬰為24人，女嬰為8人；出生時(shí)間在白天的男嬰為31人，女嬰為26人（1）將22列聯(lián)表補(bǔ)充完整出生時(shí)間總計(jì)晚上白天男嬰女嬰總計(jì)（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為嬰兒性別與出生時(shí)間有關(guān)系？7某班主任對全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總數(shù)喜歡玩電腦游戲18927不喜歡玩電腦游戲81523總數(shù)262450則認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少有關(guān)系的把握大約為0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A99% B97.5%C95% D無充分依據(jù)8兩個(gè)分類變量X、Y，它們的取值分別為x1、x2和y1、y2，其列聯(lián)表為：y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d若兩個(gè)分類變量X、Y獨(dú)立，則下列結(jié)論：；.其中正確的序號是_9下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表：得病不得病合計(jì)干凈水52466518不干凈水94218312合計(jì)146684830（1）這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，請說明理由；（2）若飲用干凈水得病5人，不得病50人；飲用不干凈水得病9人，不得病22人按此樣本數(shù)據(jù)分析這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，并比較兩種樣本在反映總體時(shí)的差異10某城市隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:空氣質(zhì)量優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為(單位:元),空氣質(zhì)量指數(shù)為.在區(qū)間0,100對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失;在區(qū)間對企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失成直線模型(當(dāng)為150時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元,當(dāng)API為200時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元);當(dāng)大于300時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為xx元;（1）試寫出的表達(dá)式:（2）試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天,該天經(jīng)濟(jì)損失S大于500元且不超過900元的概率;（3）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有8天為重度污染,完成下面22列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)?非重度污染重度污染合計(jì)供暖季非供暖季合計(jì)100附：P(K2 k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8281C 【解析】在等高條形圖中僅能粗略判斷兩個(gè)分類變量的關(guān)系，故A錯(cuò)，在等高條形圖中僅能夠找出頻率，無法找出頻數(shù)，故B錯(cuò).2C 【解析】，.又.3B 【解析】因?yàn)?，所以有把握認(rèn)為“與有關(guān)系”的百分比為95%.故選B.47.469 【解析】.5【解析】根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得如下22列聯(lián)表：分類合格品數(shù)次品數(shù)總計(jì)甲在生產(chǎn)現(xiàn)場9828990甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場49317510總計(jì)1475251500，比較大，說明甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量好壞有關(guān)系相應(yīng)的等高條形圖如圖所示圖中兩個(gè)陰影部分的高分別表示甲在生產(chǎn)現(xiàn)場和甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場時(shí)樣品中次品數(shù)的頻率從圖中可以看出，甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場時(shí)樣本中次品數(shù)的頻率明顯高于甲在生產(chǎn)現(xiàn)場時(shí)樣本中次品數(shù)的頻率因此可以認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量好壞有關(guān)系6.【解析】（1）列22列聯(lián)表：出生時(shí)間總計(jì)晚上白天男嬰243155女嬰82634總計(jì)325789（2）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算的觀測值.根據(jù)臨界值表知.因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為嬰兒的性別與出生的時(shí)間有關(guān)系7B 【解析】由表中數(shù)據(jù)得的觀測值.所以約有97.5%的把握認(rèn)為兩變量之間有關(guān)系8 【解析】分類變量獨(dú)立，化簡得，故正確；式化簡得，故正確9【解析】（1）根據(jù)題目中的列聯(lián)表，及公式得.因?yàn)?，因此我們?9.9%的把握認(rèn)為該地區(qū)這種傳染病與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)（2）依題意得22列聯(lián)表：得病不得病合計(jì)干凈水55055不干凈水92231合計(jì)147286由公式得.由，所以我們有97.5%的把握認(rèn)為該種傳染病與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)兩個(gè)樣本都能統(tǒng)計(jì)得到傳染病與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)這一相同結(jié)論，但（1）問中我們有99.9%的把握肯定結(jié)論的正確性，（2）問中我們只有97.5%的把握肯定結(jié)論的正確性10【解析】（1）由題意得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，由題意可知時(shí)，；時(shí)，從而可得，解得，所以；當(dāng)時(shí)，.綜上可得.（2）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天,該天經(jīng)濟(jì)損失大于500元且不超過900元”為事件,由,即，得，對應(yīng)的頻數(shù)為39,所以.（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:非重度污染重度污染合計(jì)供暖季22830非供暖季63770合計(jì)8515100的觀測值，所以有95%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān).