2019-2020年高考數(shù)學(xué) 4.4 平面向量應(yīng)用舉例練習(xí) (25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(xx秦皇島模擬)已知向量=(2,2),=(4,1),在x軸上一點P使有最小值,則點P的坐標(biāo)為()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】選C.設(shè)點P(x,0),則=(x-2,-2),=(x-4,-1),故=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,因此當(dāng)x=3時取最小值,此時P(3,0).2.已知直線x+y=a與圓x2+y2=4相交于A,B兩點且滿足,O為原點.則正實數(shù)a的值為()A.1B.2C.3D.4【解題提示】利用向量加減法的幾何意義找到的關(guān)系,然后轉(zhuǎn)化求解.【解析】選B.由可得所以點O到AB的距離d=,所以又a>0,故a=2.3.(xx南寧模擬)已知向量a=(cos,-2),b=(sin,1),且ab,則2sincos等于()【解析】選D.由ab得cos=-2sin,所以tan=-.所以2sincos=4.圓C:x2+y2=1,直線l:y=kx+2,直線l與圓C交于A,B,若 (其中O為坐標(biāo)原點),則k的取值范圍是()【解題提示】利用進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【解析】選D.由兩邊平方化簡得<0,所以AOB是鈍角,如圖,作OMAB,交AB于點M,則AM=BM,AOM=BOM>45,令OM=d,在RtAMO中,AOM>45,所以AM>d,又AM2+d2=1,所以1>2d2,即所以O(shè)(0,0)到kx-y+2=0的距離小于,所以故選D.5.(xx哈爾濱模擬)在ABC中,若則ABC面積的最大值為()A.24B.16C.12D.8【解題提示】先根據(jù)求b2+c2的值,從而求得bc的最大值.把cos A用bc表示,從而sin A可用bc表示,最后用SABC=bcsin A求解.【解析】選C.由題意可知AB=c,AC=b,所以bccos A=7,所以所以b2+c2=502bc,所以bc25.【加固訓(xùn)練】若則ABC的面積是()A.1B.2C.D.2【解析】選C.因為所以的夾角為,易知與BCA為對頂角,所以=BCA. cos=14cos=2,得cos=,所以cosBCA=,sinBCA=,所以6.在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對應(yīng)的三角形的邊長,若=0,則cos B=()【解題提示】將其中一個向量轉(zhuǎn)化為用另外兩個向量來表示,利用兩向量不共線得邊a,b,c的關(guān)系,再利用余弦定理求解.【解析】選A.由=0得=0,又不共線,7.(xx淄博模擬)在平行四邊形ABCD中,E,F分別是邊CD和BC的中點,若(,R),則log()的值為()A.-2B.-1C.1D.2【解析】選A.如圖, 令=a,=b,則=a+b,因為a,b不共線,由,得二、填空題(每小題5分,共15分)8.(xx牡丹江模擬)在長江南岸渡口處,江水以12.5 km/h的速度向東流,渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過長江,則航向為.【解析】如圖所示,渡船速度為,水流速度為,船實際垂直過江的速度為,依題意知所以cos(BOD+90)=-,所以sinBOD=,所以BOD=30,所以航向為北偏西30.答案:北偏西309.若等邊ABC的邊長為2,平面內(nèi)一點M滿足,則=.【解析】方法一:以BC的中點為原點,BC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)題設(shè)條件可知A(0,3),B(-,0),C(,0).答案:-210.已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,若函數(shù)f(x)=x3+|a|x2+abx在R上有極值,設(shè)向量a,b的夾角為,則的取值范圍是.【解題提示】把問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點問題,利用一元二次方程判別式求解.【解析】因為f(x)=x2+|a|x+ab,由題意,得關(guān)于x的一元二次方程x2+|a|x+ab=0有兩個不同實數(shù)根,所以=|a|2-4ab>0,因為|a|=2|b|0,所以4|b|2-42|b|b|cos>0,即cos<,因為0,y=cos x在0,上是減函數(shù),所以<.答案: (,【誤區(qū)警示】解答本題易誤填,出錯的原因是由題意誤得關(guān)于x的方程x2+|a|x+ab=0有實數(shù)根,即0.事實上,當(dāng)=0時,方程的實數(shù)根并不是函數(shù)f(x)的極值點.(20分鐘40分)1.(5分)(xx保定模擬)已知ABC的外接圓圓心為O,若,則ABC是()A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不能確定【解題提示】利用已知判斷O點的位置,再依據(jù)O為外心可解.【解析】選C.由可得O為BC邊的中點.又O為ABC的外心,故BC為ABC外接圓的直徑,故BAC=90,故ABC為直角三角形.2.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,=(1,0),若則|的最小值為()A.3.5B.4.5C.5.5D.6.5【解析】選C.設(shè)P(x,y),則=(x,y).又因為所以(x-1)2+y2=x2,得y2=2x-1,又=(-5,0),因為2x-10,所以x,3.(5分)已知向量a=,=a-b,=a+b,若OAB是等邊三角形,則OAB的面積為.【解析】因為a=,=a-b, =a+b,所以+=(a-b)+(a+b)=2a=(-1,),所以所以等邊三角形OAB的高為1,邊長為,因此其面積為答案: 4.(12分)(xx成都模擬)已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),且mn.(1)求角C的大小.(2)若向量s=(0,-1),t=,試求|s+t|的取值范圍.【解析】(1)由題意得mn=(a+c,b-a)(a-c,b)=a2-c2+b2-ab=0,即c2=a2+b2-ab.由余弦定理得cos C=因為0<C<,所以C=.(2)因為s+t=(cos A,cos B),所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+【加固訓(xùn)練】(xx南昌模擬)已知向量a=與b=(1,y)共線,設(shè)函數(shù)y=f(x).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最大值.(2)已知銳角ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,若有求ABC的面積.【解析】(1)因為a與b共線,5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知點A(-1,0),B(1,0),動點M的軌跡曲線C滿足AMB=2,cos2=3,過點B的直線交曲線C于P,Q兩點.(1)求的值,并寫出曲線C的方程.(2)設(shè)直線PQ的傾斜角是,試求APQ的面積.【解題提示】(1)先根據(jù)向量的運算確定點M的軌跡,然后根據(jù)相關(guān)的值寫出曲線C的方程.(2)寫出直線PQ的方程,與曲線C的方程組成方程組,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求APQ的面積.【解析】(1)設(shè)M(x,y),在MAB中,|AB|=2,AMB=2,根據(jù)余弦定理得因此點M的軌跡是以A,B為焦點的橢圓(點M在x軸上也符合題意),a=2,c=1.所以曲線C的方程為(2)由題意得直線PQ的方程為:y=x-1.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由得7x2-8x-8=0,所以x1+x2=,x1x2=-,y1+y2=x1+x2-2=-,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-,因為A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.所以SAPQ=SABP+SABQ即APQ的面積是