2019年高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.3 離散型隨機變量的均值與方差課時訓練 理 新人教A版選修2-31離散型隨機變量的均值一般地，若離散型隨機變量的分布列為說明：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值這表明分布描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機變量的均值而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質2均值的性質若，其中，是常數(shù)，是隨機變量，則也是隨機變量，且_3常用分布的均值（1）兩點分布：若隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，則_（2）二項分布：若離散型隨機變量，則_（3）二項分布均值公式的直觀解釋：在一次試驗中，試驗成功的概率是，則在次獨立重復試驗中，試驗成功的平均次數(shù)為注意：兩點分布是特殊的二項分布，若一次試驗中，試驗成功的概率是，則隨機變量等于1的概率是，隨機變量等于0的概率是4離散型隨機變量的方差一般地，若離散型隨機變量的分布列為則稱_為隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差說明：（1）描述了1，2，相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越?。唬?）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方5方差的性質（1）若，其中，是常數(shù)，是隨機變量，則（2）方差公式的變形：_6常見分布的方差（1）兩點分布：若隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，則（2）二項分布：若離散型隨機變量，則_參考答案：123456重點離散型隨機變量的期望和方差的求解難點離散型隨機變量的期望和方差的性質的運用易錯混淆常見分布的期望和方差的相關公式導致錯誤離散型隨機變量的均值與方差的求解求離散型隨機變量的均值和方差的步驟：（1）理解的意義，寫出的所有可能取值；（2）求取每個值時的概率；（3）寫出的分布列（有時可以省略）；（4）由定義求，根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量工期延誤天數(shù)歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于300，700，900的概率分別為，求工期延誤天數(shù)的均值與方差【解析】（1）由已知條件和概率的加法公式有：，所以的分布列為故，某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗選取兩大塊地，每大塊地分成小塊地，在總共小塊地中，隨機選小塊地種植品種甲，另外小塊地種植品種乙若，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為，求的分布列、均值和方差【解析】隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，4，所以的分布列為故，離散型隨機變量均值與方差的性質（1）口袋中有個形狀和大小完全相同的小球，編號分別為0，1，2，3，4，從中任取3個球，以表示取出球的最小號碼，則ABCD（2）已知是離散型隨機變量，若，則ABCD或（3）若隨機變量，則A2B4C8D9【答案】（1）B；（2）C；（3）B【解析】（1）由題易得，所以，故選B（2）因為是離散型隨機變量，且，所以，解得或（舍去），所以故選C（3）因為隨機變量，所以，故故選B袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上號的有個（1，2，3，4）現(xiàn)從袋中任取一球，用表示所取球的標號（1）求的分布列、均值和方差；（2）若，試求，的值【解析】（1）由題可得的所有可能取值為0，1，2，3，4，所以的分布列為故，（2）因為，所以且，解得或【名師點睛】利用公式，將求，的問題轉化為求，的問題，從而可以避免求的分布列的煩瑣的計算，解題時可根據(jù)兩者之間的關系列出等式，進行相關計算即可二項分布的均值與方差根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為，假設各車主購買保險相互獨立（1）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；（2）表示該地的200位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)，求的均值和方差【解析】設事件表示“該地的1位車主購買甲種保險”，事件表示“該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險”，事件表示“該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種”，事件表示“該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買”，則，相互獨立（1）由題意知，則（2）易得，則，由題意可得，所以，某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內印有“再來壹瓶”或“謝謝惠顧”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內印有“再來壹瓶”字樣即為中獎，中獎概率為甲、乙、丙三位同學每人購買了一瓶該飲料（1）求甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率；（2）求中獎人數(shù)的分布列及數(shù)學期望和方差【解析】（1）設甲、乙、丙中獎的事件分別為、，那么，所以甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率為（2）由題可得的所有可能取值為0，1，2，3，且0，1，2，3，所以中獎人數(shù)的分布列為方法一：由分布列可得，方法二：由題易得，故，【名師點睛】若離散型隨機變量服從二項分布，則其均值和方差既可以利用定義求解，也可以代入二項分布的均值和方差的計算公式求解利用均值、方差進行決策某突發(fā)事件，在不采取任何預防措施的情況下發(fā)生的概率為，一旦發(fā)生，將造成萬元的損失現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采取，單獨采取甲、乙預防措施所需的費用分別為萬元和萬元，采取相應預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為和若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采取、聯(lián)合采取或不采取，請確定預防方案使產(chǎn)生的總費用最少【解析】不采取預防措施時，總費用即損失均值為(萬元)；若單獨采取甲預防措施，則預防措施費用為萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失均值為(萬元)，所以總費用為(萬元)；若單獨采取乙預防措施，則預防措施費用為萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失均值為(萬元)，所以總費用為(萬元)；若聯(lián)合采取甲、乙兩種預防措施，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，則預防措施費用為(萬元)，損失均值為(萬元)，所以總費用為(萬元)綜合可知，選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預防措施，可使產(chǎn)生的總費用最少有甲、乙兩名學生，經(jīng)統(tǒng)計，他們在解答同一份數(shù)學試卷時，各自的成績在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲分數(shù)概率乙分數(shù)概率試分析甲、乙兩名學生誰的成績好一些【解析】由題易得，因為，所以甲、乙兩人所得分數(shù)的均值相等，但兩人的分數(shù)的穩(wěn)定程度不同，甲學生分數(shù)較穩(wěn)定，乙學生分數(shù)波動較大，所以甲學生的成績好一些【名師點睛】均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉但有時兩個隨機變量即使均值相同，其取值差異也可能很大，此時，我們就要利用方差來反映隨機變量取值的集中程度由此來刻畫兩個隨機變量的分布，對實際問題作出決策判斷超幾何分布的均值與方差一般地，從含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則服從參數(shù)為，的超幾何分布，其分布列為，0，1，2，其中，且，求超幾何分布的均值與方差有兩種方法：（1）列出隨機變量的分布列，利用均值與方差的計算公式直接求解；（2）利用公式：，某學校要從5名男生和2名女生中選出2人作為世博會志愿者，若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則（1）均值_；（2）方差_(結果用最簡分數(shù)表示)【答案】（1）；（2）【解析】方法一：由題意知隨機變量服從參數(shù)為，的超幾何分布，的可能取值為0，1，2，因此，故的分布列為012故，方法二：由題意知隨機變量服從參數(shù)為，的超幾何分布，直接代入超幾何分布均值和方差的計算公式可得，【名師點睛】超幾何分布均值公式的直觀解釋：件產(chǎn)品中有件次品，從中任取1件產(chǎn)品，易知平均取到件次品；若從中任取件產(chǎn)品，則平均取到件次品1下面說法中正確的是A離散型隨機變量的均值反映了取值的概率的平均值B離散型隨機變量的方差反映了取值的平均水平C離散型隨機變量的均值反映了取值的平均水平D離散型隨機變量的方差反映了取值的概率的平均值2已知，則的值為A10B7C3D63已知，則，的值分別為A，B，C，D，4隨機變量的所有可能取值為0，1，2，若，則方差ABCD5現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，任取2件，若表示取到次品的個數(shù)，則_6設袋中有兩個紅球一個黑球，除顏色不同，其他均相同，現(xiàn)有放回的抽取，每次抽取一個，記下顏色后放回袋中，連續(xù)摸三次，表示三次中紅球被摸中的次數(shù)（每個小球被抽取的概率相同，每次抽取相互獨立），則方差_7若隨機變量服從二項分布，且，則_8假定1500件產(chǎn)品中有100件不合格品，若從中抽取15件進行檢查，則15件產(chǎn)品中不合格品數(shù)的均值_9某企業(yè)完成一項工程有三個方案，甲、乙、丙每個方案的獲利情況如下表所示：自然狀況方案甲方案乙方案丙概率獲利（萬元）概率獲利（萬元）概率獲利（萬元）巨大成功中等成功不成功為使企業(yè)獲利最大，該企業(yè)應選擇哪種方案？10某市為了制定合理的節(jié)電方案，供電局對居民用電情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年戶居民每戶的月均用電量（單位：度），將數(shù)據(jù)按照，分成9組，制成了如下圖所示的頻率分布直方圖（1）求頻率分布直方圖中的值并估計居民月均用電量的中位數(shù)；（2）從樣本中月均用電量不低于700度的用戶中隨機抽取4戶，用表示月均用電量不低于800度的用戶數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望11袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有5個，記上號的有個（1，2，3，4，5），現(xiàn)從袋中任取一球，用表示所取球的標號（1）求的分布列、均值和方差；（2）若，試求，的值12已知某離散型隨機變量服從的分布列如下表，則隨機變量的方差等于ABCD13甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)的期望ABCD14設隨機變量的分布列為，0，1，2，且，則 _15已知是離散型隨機變量，若，則_16已知集合，則滿足條件的事件的概率為_；集合的元素中含奇數(shù)的個數(shù)的期望為_17甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓，現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（1）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認為派哪位學生參加合適？請說明理由；（2）若將頻率視為概率，對學生甲在今后的三次數(shù)學競賽成績進行預測，記這三次成績中高于80分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望18某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為（1）問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于？（2）已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值19【xx四川理】同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是_20【xx山東理】甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果亦互不影響假設“星隊”參加兩輪活動，求：（1）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（2）“星隊”兩輪得分之和的分布列和數(shù)學期望1C【解析】離散型隨機變量的均值反映了取值的平均水平，它的方差反映了的取值的離散程度故選C2A【解析】由題意得，解得故選A3C【解析】由題意可得，解得，故選C4B【解析】設，所以，解得，所以，故選B5【解析】由題意得，隨機變量的可能取值為0，1，2，所以（或）6【解析】每次取球時，取到紅球的概率為、黑球的概率為，所以服從二項分布，即，所以7【解析】因為隨機變量服從二項分布，所以，則，解得8【解析】易知服從超幾何分布，故9方案甲的平均獲利最大，應選擇方案甲【解析】用，分別表示甲、乙、丙三個方案的獲利金額，則采用方案甲的平均獲利為萬元；采用方案乙的平均獲利為萬元；采用方案丙的平均獲利為萬元，顯然，即，所以方案甲的平均獲利最大，應選擇方案甲10（1），中位數(shù)為度，（2）分布列見解析，【解析】（1），解得設中位數(shù)是度，前5組的頻率之和為，而前4組的頻率之和為，所以，解得，故居民月均用電量的中位數(shù)為度（2）200戶居民月均用電量在度的戶數(shù)是8，月均用電量在度的戶數(shù)是4故隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，所以隨機變量的分布列為01234故11（1）分布列見解析，；（2），或，【解析】（1）的可能取值為0，1，2，3，4，5，且，所以的分布列為012345故，（2）由，可得，解得，又，所以當時，解得；當時，解得綜上，或，12B【解析】由可得，所以，=，故選B（或）13B【解析】依題意知，的所有可能取值為2，4，6，設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為若該輪結束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有，故故選B14【解析】易知，所以，解得，所以15【解析】由，可得，求解可得16【解析】由題意，無滿足條件的事件，故所求概率為；集合的元素中含奇數(shù)個數(shù)的可能情況為，對應概率分別為，故數(shù)學期望為17（1）甲，理由見解析；（2）分布列見解析，【解析】（1）甲參加比較合適理由如下：，因為，所以甲的成績比較穩(wěn)定，派甲參加比較合適（2）“甲同學在一次數(shù)學競賽中成績高于80分”為事件，則，隨機變量的可能取值為0，1，2，3，且，所以，故的分布列為0123所以（或）18（1）；（2）萬元【解析】（1）設“機器出現(xiàn)故障設”為事件，則設出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為，則，故的分布列為01234設該廠有名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修”為，這個互斥事件的和事件，則01234因為，所以至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于（2）設該廠獲利為萬元，則的所有可能取值為18，13，8，故的分布列為18138所以，故該廠獲利的均值為萬元19【解析】同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，可能的結果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次試驗中成功的概率為，所以，故20（1）；（2）分布列見解析，【解析】（1）記事件：“甲第一輪猜對”，記事件：“乙第一輪猜對”，記事件：“甲第二輪猜對”，記事件：“乙第二輪猜對”，記事件：“星隊至少猜對3個成語”由題意，由事件的獨立性與互斥性，可得，所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為（2）由題意，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，4，6由事件的獨立性與互斥性，得，所以隨機變量的分布列為012346所以數(shù)學期望