2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第二章 2.3 函數(shù)的單調(diào)性教案 新人教A版鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.單調(diào)性的定義 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù);如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變量x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù). 2.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 (1)定義法. (2)利用基本函數(shù)的單調(diào)性,如:二次函數(shù)y=x2-2x在(-,1)上是減函數(shù). (3)利用復(fù)合函數(shù)同增異減這個(gè)結(jié)論判斷. (4)利用函數(shù)圖象上升增下降減進(jìn)行判斷.另外利用導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)也能判斷函數(shù)的單調(diào)性. 二、點(diǎn)擊雙基1下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，2)上為增函數(shù)的是( )A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D.y=答案:B2函數(shù)y=loga(x2+2x-3)，當(dāng)x=2時(shí)，y0，則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )A.(-，-3) B.(1，+) C.(-，-1) D.(-1，+)解析:當(dāng)x=2時(shí)，y=loga50，A1. 由x2+2x-30x-3或x1，易見(jiàn)函數(shù)t=x2+2x-3在(-，-3)上遞減，故函數(shù)y=loga(x2+2x-3)(其中a1)也在(-，-3)上遞減.答案:A3若函數(shù)f(x)=,則該函數(shù)在(-,+)上是( )A.單調(diào)遞減無(wú)最小值 B.單調(diào)遞減有最小值C.單調(diào)遞增無(wú)最大值 D.單調(diào)遞增有最大值解析：由于u(x)=2x+1在R上遞增且大于1,則f(x)=在R上遞減,無(wú)最小值,選A.答案：A4函數(shù)y=lgsin(-2x)的單調(diào)增區(qū)間是( )A.(k-,k-)(kZ) B.k-,k+(kZ)C.(k-,k-)(kZ) D.k-,k+(kZ)解析:令y=lg,=sin(-2x). 根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,只需使2k+-2x<2k+即可. -k-<x-k-.故選C.答案:C誘思實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】 如果二次函數(shù)f(x)=x2-(a-1)x+5在區(qū)間(，1）上是增函數(shù)，求f(2)的取值范圍.剖析:由于f(2)=22-(a-1)2+5=-2a+11,求f(2)的取值范圍就是求一次函數(shù)y=-2a+11的值域，當(dāng)然就應(yīng)先求其定義域.解:二次函數(shù)f(x)在區(qū)間(，1)上是增函數(shù)，由于其圖象(拋物線)開(kāi)口向上，故其對(duì)稱(chēng)軸x=或與直線x=重合或位于直線x=的左側(cè)，于是,解之得a2,故f(2)-22+11=7,即f(2)7.【例2】 討論函數(shù)f(x)=(a>0)在x(-1,1)上的單調(diào)性.解:設(shè)-1<x1<x2<1, 則f(x1)-f(x2)= = =. -1<x1<x2<1, x2-x1>0,x1x2+1>0,(x12-1)(x22-1)>0. 又a>0， f(x1)-f(x2)>0,函數(shù)f(x)在(-1，1)上為減函數(shù).【例3】 求函數(shù)y=x+的單調(diào)區(qū)間.剖析:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(亦即判斷函數(shù)的單調(diào)性)，一般有三種方法: (1)圖象法；(2)定義法；(3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性.但本題圖象不易作，利用y=x與y=的單調(diào)性(一增一減）也難以確定，故只有用單調(diào)性定義來(lái)確定，即判斷f(x2)-f(x1)的正負(fù).解:首先確定定義域:x|x0, 在(-,0)和(0，+)兩個(gè)區(qū)間上分別討論.任取x1、x2(0,+)且x1<x2,則f(x2)-f(x1)=x2+-x1-=(x2-x1)+=(x2-x1)(1-)，要確定此式的正負(fù)只要確定1-的正負(fù)即可. 這樣，又需要判斷大于1，還是小于1.由于x1、x2的任意性，考慮到要將(0，+)分為(0，1)與(1，+)(這是本題的關(guān)鍵). (1)當(dāng)x1、x2(0,1)時(shí)，1-<0, f(x2)-f(x1)<0為減函數(shù). (2)當(dāng)x1、x2(1,+)時(shí)，1->0, f(x2)-f(x1)>0為增函數(shù). 同理可求(3)當(dāng)x1、x2(-1,0)時(shí)，為減函數(shù);(4)當(dāng)x1、x2(-,-1)時(shí)，為增函數(shù).講評(píng):解答本題易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤結(jié)論:f(x)在(-1，0）(0，1）上是減函數(shù)，在(-,-1)(1,+)上是增函數(shù)，或說(shuō)f(x)在(-,0)(0,+)上是單調(diào)函數(shù).避免錯(cuò)誤的關(guān)鍵是要正確理解函數(shù)的單調(diào)性概念:函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，而不是兩個(gè)或兩個(gè)以上不相交區(qū)間的并.鏈接拓展 求函數(shù)y=x+(a>0)的單調(diào)區(qū)間. 提示:函數(shù)定義域x0，可先考慮在(0,+)上函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系得到在(-,0)上的單調(diào)性. 答案:在(-,-)，(,+)上是增函數(shù)，在(0,),(-,0)上是減函數(shù).【例4】 （xx北京東城模擬） 已知定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1、x2滿足關(guān)系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2.(1)證明f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,-2)成中心對(duì)稱(chēng)圖形;(2)若x>0,則有f(x)>-2,求證:f(x)在(-,+)上是增函數(shù).剖析:對(duì)于(1),只要證明=-2即可;對(duì)于(2),注意到f(x)是抽象函數(shù),欲證單調(diào)性,需對(duì)f(x)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?證明:(1)令x1=x2=0,則f(0+0)=f(0)+f(0)+2, 所以f(0)=-2. 對(duì)任意實(shí)數(shù)x,令x1=x,x2=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2, 即f(0)-2=f(x)+f(-x),得=-2. 又=0, 這表明點(diǎn)M(x,f(x)與點(diǎn)N(-x,f(-x)的中點(diǎn)是(0,-2),即點(diǎn)M1N關(guān)于點(diǎn)(0,-2)成中心對(duì)稱(chēng). 由點(diǎn)M的任意性知:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,-2)成中心對(duì)稱(chēng). (2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1、x2,且x1<x2. 由x2-x1>0,有f(x2-x1)>-2. 于是f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)+2. 所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+2>-2+2=0, 即f(x2)>f(x1). 所以f(x)在(-,+)上是增函數(shù).講評(píng):對(duì)于(1),求出f(0)=-2是解題的關(guān)鍵;對(duì)于(2),變形f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)+2是解題的關(guān)鍵.