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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.9《平面上兩點(diǎn)間的距離》教案 蘇教版必修2 【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 中點(diǎn)坐標(biāo) 學(xué)習(xí)要求 1．掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式； 2．能運(yùn)用距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決一些簡單的問題． 【課堂互動(dòng)】 自學(xué)評(píng)價(jià) （1）平面上兩點(diǎn)之間的距離公式為 ． （2）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：對于平面上兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則． 【精典范例】 例1：（1）求A(-1,3)、B（2，5）兩點(diǎn)之間的距離； （2）已知A（0，10），B（a，-5）兩點(diǎn)之間的距離為17，求實(shí)數(shù)a的值． 【解】(1)由兩點(diǎn)間距離公式得AB= (2) 由兩點(diǎn)間距離公式得,解得 a=． 故所求實(shí)數(shù)a的值為8或-8． 例2：已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，試判斷的形狀． 分析：計(jì)算三邊的長，可得直角三角形． 【解】 , ∵， ∴為直角三角形. 點(diǎn)評(píng)：本題方法多樣，也可利用、斜率乘積為-1，得到兩直線垂直. 例3：已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求邊上的中線的長和所在的直線方程． 分析：由中點(diǎn)公式可求出中點(diǎn)坐標(biāo),分別用距離公式、兩點(diǎn)式就可求出的長和所在的直線方程． 【解】如圖，設(shè)點(diǎn)． ∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)， ∴ ， 即的坐標(biāo)為． 由兩點(diǎn)間的距離公式得． 因此，邊上的中線的長為． 由兩點(diǎn)式得中線所在的直線方程為 ，即． 點(diǎn)評(píng):本題是中點(diǎn)坐標(biāo)公式、距離公式的簡單應(yīng)用. 例4．已知是直角三角形，斜邊的中點(diǎn)為，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系， 證明：． 證：如圖，以的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系， 設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， ∵是的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，即． 由兩點(diǎn)間的距離公式得 所以，． 追蹤訓(xùn)練一 1.式子可以理解為() 兩點(diǎn)(a,b)與(1,-2)間的距離 兩點(diǎn)(a,b)與(-1,2)間的距離 兩點(diǎn)(a,b)與(1,2)間的距離 兩點(diǎn)(a,b)與(-1,-2)間的距離 2.以A(3,-1), B(1,3)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的方程為 () 2x+y-5=0 2x+y+6=0 x-2y=0 x-2y-8=0 3. 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,3),又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,-1),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是． 4．已知點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，求取最小值． 解:設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,∵在直線上，∴， ， ∴的最小值為． 【選修延伸】 對稱性問題 例5: 已知直線，（1）求點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)；（2）求關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程． 分析：由直線垂直平分線段，可設(shè)，有垂直關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出點(diǎn)；而關(guān)于點(diǎn)對稱的直線必平行，因此可求出對稱的直線方程． 【解】（1）設(shè)，由于⊥，且中點(diǎn)在上，有 ，解得　 ∴ （2）在上任取一點(diǎn)，如，則關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為． ∵所求直線過點(diǎn)且與平行， ∴方程為，即． 例6：一條光線經(jīng)過點(diǎn),射在直線上，反射后，經(jīng)過點(diǎn)，求光線的入射線和反射線所在的直線方程． 分析：入射光線和反射光線所在直線都經(jīng)過反射點(diǎn)，反射直線所在直線經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)． 【解】入射線所在的直線和反射線所在的直線關(guān)于直線對稱，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的中點(diǎn)在直線上，且所在直線與直線垂直， 所以， 解得． 反射光線經(jīng)過兩點(diǎn)，∴反射線所在直線的方程為． 由得反射點(diǎn)． 入射光線經(jīng)過、兩點(diǎn)， ∴入射線所在直線的方程為． 點(diǎn)評(píng):求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，通常都是根據(jù)直線垂直于直線，以及線段的中點(diǎn)在直線上這兩個(gè)關(guān)系式列出方程組，然后解方程組得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)． 思維點(diǎn)拔： 平面上兩點(diǎn)間的距離公式為，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為.平面上兩點(diǎn)間距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式有著廣泛的應(yīng)用，如：計(jì)算圖形面積，判斷圖形形狀等.同時(shí)也要注意掌握利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式處理對稱性問題. 追蹤訓(xùn)練二 1．點(diǎn)(-1,2)關(guān)于直線x+y-3=0的對稱點(diǎn)的坐 標(biāo)為 ( ) (1,4) (-1,4) (1,-4) (-1,-4) 2．直線3x-y-2=0關(guān)于x軸對稱的直線方程為． 3．已知點(diǎn),試求點(diǎn)的坐標(biāo),使四邊形為等腰梯形． 答案:點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 4．已知定點(diǎn)，，，求的最小值． (數(shù)形結(jié)合:將看成是軸上的動(dòng)點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離和,利用對稱性,得到最小值為). 平面上兩點(diǎn)間的距離 分層訓(xùn)練 1. 若 ，則下面四個(gè)結(jié)論： ①；②；③；④．其中，正確的個(gè)數(shù)是 ( ) (A)１個(gè). 　　　　 (B) 2個(gè). (C)3個(gè). 　　　　 (D) 4個(gè). 2. 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是　　　　　　　　　　　　　　(　 ) (A) 　(B) (C) 　　　(D) 3. 若過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)點(diǎn)，且，則直線的方程為 （ ） (A) 　(B) (C) 　 　 (D) 4.直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程是 　　　　　　　　　　　?。? ） (A) 　　(B) (C) 　 　 (D) . 5.如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么　　　　　　?。ā　。? (A) 　　(B) (C) 　 　 (D) . 6. 若直線在軸上的截距為－2，上橫坐標(biāo)分別是3，－4的兩點(diǎn)的線段長為14，則直線的方程為 ． 7. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上的中線所在直線的方程為 ． 8.若直線過點(diǎn)，且被坐標(biāo)軸截得的線段的中點(diǎn)恰為，則直線的方程是 ． 9. 若點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,直線的斜率為，則 ． 10.已知直線和點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與直線相交于點(diǎn)，且，求直線的方程． 11. 過點(diǎn)作直線，使它被直線和所截得的線段恰好被平分，求直線的方程．. 拓展延伸 12.(1)已知點(diǎn)，，在軸上求一點(diǎn)，使得最??； (2) 已知點(diǎn)，，在軸上求一點(diǎn)，使得最大，并求最大值． 13.求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的值．