2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4.1.1 向量的數(shù)量積教案2 蘇教版必修4教學(xué)目標(biāo)：掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律，能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問(wèn)題，掌握兩個(gè)向量共線(xiàn)、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程：.復(fù)習(xí)回顧上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)向量數(shù)量積的定義，并一起由定義推證了5個(gè)重要性質(zhì)，并得到了三個(gè)運(yùn)算律，首先我們對(duì)上述內(nèi)容作一簡(jiǎn)要回顧.這一節(jié)，我們通過(guò)例題分析使大家進(jìn)一步熟悉數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，并掌握它們的應(yīng)用.講授新課例1已知：a3，b6，當(dāng)ab，ab，a與b的夾角是60時(shí)，分別求ab.分析：由數(shù)量積的定義可知，它的值是兩向量的模與它們夾角余弦值的乘積，只要能求出它們的夾角，就可求出ab.解：當(dāng)ab時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角0，ababcos036118；若a與b反向，則它們的夾角180，ababcos18036(1)18；當(dāng)ab時(shí)，它們的夾角90，ab0；當(dāng)a與b的夾角是60時(shí)，有ababcos60369評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0，180，因此，當(dāng)ab時(shí)，有0或180兩種可能.例2已知a、b都是非零向量，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.分析：要求a與b的夾角，只要求出ab與a，b即可.解：由已知(a3b)(7a5b)(a3b)(7a5b)07a216ab15b20又(a4b)(7a2b)(a4b)(7a2b)07a230ab8b20得：46ab23b2即有abb2b2，將它代入可得：7a28b215b20即a2b2有ab若記a與b的夾角為，則cos又0，180，60所以a與b的夾角為60.例3四邊形ABCD中，a，b，c，d，且abbccdda，試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋阂环矫妫篴bcd0，ab(cd)，(ab)2(cd)2即a22abb2c22cdd2由于abcd，a2b2c2d2同理有a2d2c2b2由可得ac，且bd即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等.四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由abbc，有b(ac)0，而由平行四邊形ABCD可得ac，代入上式得b(2a)0即ab0，ab也即ABBC.綜上所述，四邊形ABCD是矩形.評(píng)述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即abcd0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.例4已知a2，b5，ab3，求ab，ab.解：ab2(ab)2a22abb2222(3)5223ab，(ab)2(ab)2a22abb2222(3)5235，ab.例5已知a8，b10，ab16，求a與b的夾角.解：(ab)2(ab)2a22abb2a22abcosb2162822810cos102， cos，55例6在A(yíng)BC中，a，b，且ab0，則ABC的形狀是 ( )A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定分析：此題主要考查兩向量夾角的概念，應(yīng)避免由ababcosB0得cosB0，進(jìn)而得B為鈍角，從而錯(cuò)選C.解：由兩向量夾角的概念，a與b的夾角應(yīng)是180Bababcos(180B)abcosB0cosB0又因?yàn)锽(0，180)所以B為銳角.又由于角B不一定最大，故三角形形狀無(wú)法判定. 所以應(yīng)選D.例7設(shè)e1、e2是夾角為45的兩個(gè)單位向量，且ae12e2，b2e1e2，試求：ab的值.分析：此題主要考查學(xué)生對(duì)單位向量的正確認(rèn)識(shí).解：ab(e12e2)(2e1e2)3(e1e2)，ab3(e1e2)3(e1e2)3333.例8設(shè)m2，n1，向量m與n的夾角為，若a4mn，bm2n，c2m3n，求a23(ab)2(bc)1的值.解：m2，n1且mn，m2m24，n2n1，mn0.a23(ab)2(bc)1(4mn)23(4mn)(m2n)2(m2n)(2m3n)116m28mnn212m224mn3nm6n24m26mn8nm12n2124m27n21104. 課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個(gè)向量共線(xiàn)、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題. 課后作業(yè)課本P83習(xí)題 4，7平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律1設(shè)a，b，c為任意非0向量，且相互不共線(xiàn)，則真命題為 （ ）（1）（ab）c(ca)b0 （2）|a|b|ab|（3）(bc)a(ca)b不與c垂直 （4）（3a+2b)(3a2b)=9|a|24|b|2A.（2）（4） B.（2）（3） C.（1）（2）D.（3）（4） 2已知|a|3，|b|4，（ab）（a3b）33，則a與b的夾角為 （ ）A.30B.60 C.120 D.150 3ABC中，a，b，且ab0，則ABC為 （ ）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形 4已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為1，且a，b，c，則abbcca等于 （ ）A. B. C.0 D. 5已知|a|21，|b|22，（ab)a，則a與b的夾角為 （ ）A.60 B.90 C.45 D.30 6設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為60，則（2e1e2）（3e12e2） . 7已知| i | j |1，ij0，且ab2i8j，ab8i16j，求ab . 8已知|a|3，|b|5，如果ab，則ab . 9已知a，b，c兩兩垂直，且|a|1，|b|2，|c|3，求rabc的長(zhǎng)及它與a，b，c的夾角的余弦.10設(shè)a，b為兩個(gè)相互垂直的單位向量，是否存在整數(shù)k，使向量mkab與nakb的夾角為60，若存在，求k值；若不存在，說(shuō)明理由.11非零向量（a3b)(2ab)，(a2b)(2ab)，求向量a與b夾角的余弦值.平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律答案1A 2C 3C 4A 5C 6 763 8159已知a，b，c兩兩垂直，且|a|1，|b|2，|c|3，求rabc的長(zhǎng)及它與a，b，c的夾角的余弦.解：|r|abc|設(shè)abc與a、b、c的夾角分別為1，2，3則cos1同理cos2，cos3.10設(shè)a，b為兩個(gè)相互垂直的單位向量，是否存在整數(shù)k，使向量mkab與nakb的夾角為60，若存在，求k值；若不存在，說(shuō)明理由.解：|a|b|1，又ab0mn(kab)(akb)2k，又|m|，|n|若cos60k24k10k2Z，不存在.11