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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《頻率與概率》教案 北師大版必修3 教學(xué)目標(biāo)： 通過試驗(yàn)，體會隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，由此給出概率的統(tǒng)計(jì)定義。 教學(xué)重點(diǎn)：了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性。 教學(xué)難點(diǎn)：理解頻率與概率的關(guān)系。 教學(xué)過程： [設(shè)置情景] 1名數(shù)學(xué)家＝10個(gè)師 在第二次世界大戰(zhàn)中，美國曾經(jīng)宣布：一名優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的作用超過10個(gè)師的兵力。這句話有一個(gè)非同尋常的來歷。 1943年以前，在大西洋上英美運(yùn)輸船隊(duì)常常受到德國潛艇的襲擊，當(dāng)時(shí)，英美兩國限于實(shí)力，無力增派更多的護(hù)航艦，一時(shí)間，德軍的“潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額。 為此，有位美國海軍將領(lǐng)專門去請教了幾位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用概率論分析后得出，艦隊(duì)與敵潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件，從數(shù)學(xué)角度來看這一問題，它具有一定的規(guī)律性。一定數(shù)量的船（為100艘）編隊(duì)規(guī)模越小，編次就越多（為每次20艘，就要有5個(gè)編次），編次越多，與敵人相遇的概率就越大。 美國海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令艦隊(duì)在指定海域集合，再集體通過危險(xiǎn)海域，然后各自駛向預(yù)定港口。結(jié)果奇跡出現(xiàn)了：盟軍艦隊(duì)遭襲被擊沉的概率由原來的25％降為1％，大大減少了損失，保證了物資的及時(shí)供應(yīng)。 在自然界和實(shí)際生活中，我們會遇到各種各樣的現(xiàn)象。如果從結(jié)果能否預(yù)知的角度來看，可以分為兩大類：一類現(xiàn)象的結(jié)果總是確定的，即在一定的條件下，它所出現(xiàn)的結(jié)果是可以預(yù)知的，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象；另一類現(xiàn)象的結(jié)果是無法預(yù)知的，即在一定的條件下，出現(xiàn)那種結(jié)果是無法預(yù)先確定的，這類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。 確定性現(xiàn)象，一般有著較明顯得內(nèi)在規(guī)律，因此比較容易掌握它。而隨機(jī)現(xiàn)象，由于它具有不確定性，因此它成為人們研究的重點(diǎn)。 隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下具有多種可能發(fā)生的結(jié)果，我們把隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果稱為隨機(jī)事件。 [探索研究] 1．隨機(jī)事件 下列哪些是隨機(jī)事件？ （1）導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱； （2）某人射擊一次，中靶； （3）拋一石塊，下落； （4）在常溫下，鐵熔化； （5）拋一枚硬幣，正面朝上； （6）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于時(shí)，冰融化。 由學(xué)生回答，然后教師歸納： 必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念。 可讓學(xué)生再分別舉一些例子。 2．隨機(jī)事件的概率 由于隨機(jī)事件具有不確定性，因而從表面上看，似乎偶然性在起著支配作用，沒有什么必然性。但是，人們經(jīng)過長期的實(shí)踐并深入研究后，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件雖然就每次試驗(yàn)結(jié)果來說具有不確定性，然而在大量重復(fù)試驗(yàn)中，它卻呈現(xiàn)出一種完全確定的規(guī)律性。 下面由學(xué)生做試驗(yàn)得出隨機(jī)事件的頻率，試驗(yàn)過程如下： 做拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，觀察它落地時(shí) 哪一個(gè)面朝上 第一步：全班同學(xué)做10次擲硬幣試驗(yàn)，記錄正面向上的次數(shù)和比例。 思考：試驗(yàn)結(jié)果與其他同學(xué)比較，你的結(jié)果和他們一致嗎？為什么? 第二步：由組長把本小組同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)一下，填入下表。 組次 試驗(yàn)總次數(shù) 正面朝上總次數(shù) 正面朝上的比例 思考：與其他小組試驗(yàn)結(jié)果比較，正面朝上的比例一致嗎？為什么？ 第三步： 用橫軸為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，僅取兩個(gè)值：1（正面）和0（反面），縱軸為實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻率，畫出你個(gè)人和所在小組的條形圖，并進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)什么？ 第四步： 把全班實(shí)驗(yàn)結(jié)果收集起來，也用條形圖表示. 第五步：請同學(xué)們找出擲硬幣時(shí)“正面朝上”這個(gè)事件發(fā)生的規(guī)律性。 結(jié)論： 隨機(jī)事件A在每次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不能預(yù)知的，但是在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，隨著次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定在區(qū)間[0，1]中的某個(gè)常數(shù)上。 思考：這個(gè)條形圖有什么特點(diǎn)？如果同學(xué)們重復(fù)一次上面的實(shí)驗(yàn)，全班匯總結(jié)果與這一次匯總結(jié)果一致嗎？為什么？ 例如，歷史上曾有人做過拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)果如下表 拋擲次數(shù)（） 正面向上次數(shù)（頻數(shù)） 頻率（） 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 1xx 6019 0.5016 24000 1xx 05005 30000 14984 0.4996 72088 36124 0.5011 我們可以看到，當(dāng)拋擲硬幣的次數(shù)很多時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率值是穩(wěn)定的，接近于常數(shù)0.5，在它左右擺動。 概率的定義： 對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率。 對于概率的統(tǒng)計(jì)定義，注意以下幾點(diǎn)： （1）求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn)； （2）只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫做事件的概率； （3）概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值； （4）概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大??； （5）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0。因此。 3．例題分析 例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？ （1）若都是實(shí)數(shù)，則； （2）沒有空氣，動物也能生存下去； （3）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在溫度時(shí)沸騰； （4）直線過定點(diǎn)； （5）某一天內(nèi)電話收到的呼叫次數(shù)為0； （6）一個(gè)袋內(nèi)裝有性狀大小相同的一個(gè)白球和一個(gè)黑球，從中任意摸出1個(gè)球則為白球。 （由學(xué)生口答，答案：（1）（4）是必然事件；（2）（3）是不可能事件；（5）（6）是隨機(jī)事件。） 例2對某電視機(jī)廠生產(chǎn)的電視機(jī)進(jìn)行抽樣檢測的數(shù)據(jù)如下： 抽取臺數(shù) 50 100 200 300 500 1000 優(yōu)等品數(shù) 40 92 192 285 478 954 （1）計(jì)算表中優(yōu)等品的各個(gè)頻率； （2）該廠生產(chǎn)的電視機(jī)優(yōu)等品的概率是多少？ （由一名學(xué)生板演后，教師糾正） 解：（1）各次優(yōu)等品的概率為 0.8， 0.92， 0.96， 0.95， 0.956， 0.954 （2）優(yōu)等品的概率是0.95。 4．課堂練習(xí) （1）．某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示： 射擊次數(shù)（） 10 20 50 100 200 500 擊中靶心次數(shù)（） 9 19 44 91 178 451 擊中靶心頻率（） （I）計(jì)算表中擊中靶心的各個(gè)頻率； （II）這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？ （由一名學(xué)生板演后，教師講解） (2)．問答： （I）試舉出兩個(gè)必然事件和不可能事件的實(shí)例； （II）不可能事件的概率為什么是0？ （III）必然事件的概率為什么是1？ （IV）隨機(jī)事件的概率為什么是小于1的正數(shù)？它是否可能為負(fù)數(shù)？ [參考答案] (1)．解：（I）擊中靶心的各個(gè)頻率依次是：0.9，0.95，0.88，0.91，0.89，0.902 （II）這個(gè)射手擊中靶心的概率約為0.90。 (2)．略。 5.總結(jié)提煉 (1)．隨機(jī)事件的概念 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件。 (2)．隨機(jī)事件的概率的統(tǒng)計(jì)定義 (3)．概率的范圍：。