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2019-2020年高三數(shù)學總復習 兩角和與差的正弦教案 理 教材分析 在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當，將成為學生學習的一種負擔．針對這個特點，應充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時，通過練習使學生能夠熟練地運用這些公式．當然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過誘導公式sin（－α） ＝sinα，sinπ（－α ）＝cosα（α為任意角），可以實現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推導出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四個公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點為公式Sα+β，Sα-β兩邊的運算符號相同，Cα+β與Cα-β兩邊的運算符號相反．Sα+β與Sα-β中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cα-β與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積． 任務分析 這節(jié)課計劃采用啟發(fā)引導和講練結(jié)合的教學方式，對三角函數(shù)中的每一個公式要求學生會推導，會使用，要求不但掌握公式的原形，還應掌握它們的變形公式，會把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)．在課堂教學中，將采用循序漸進的原則，設(shè)計有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學生通過觀察、類比的方法去分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生良好的思維習慣．在教學中，及時提醒學生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點是準確、熟練、靈活地運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明，難點是公式的變形使用和逆向使用． 教學目標 1. 能用兩角差的余弦公式導出兩角和的余弦公式，兩角和差的正弦公式，并了解各個公式之間的內(nèi)在聯(lián)系． 2. 能運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明． 3. 通過公式的推導過程，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，同時滲透數(shù)學中常用的換元、整體代換等思想方法． 教學過程 一、問題情景 如圖42-1，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準備多長的鋼絲繩？ 設(shè)電線桿與地面接觸點為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點為A． 在Rt△AOB中， 如果能求出sin75的值，那么即可求出鋼絲繩的長度．75角可表示成兩個特殊角45與30的和，那么sin75的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來表示呢？ 二、建立模型 1. 探　究 已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過誘導公式可實現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝ 推導以上公式的方法并不是唯一的，其他推導方法由學生課后自己探索． 3. 分析公式的結(jié)構(gòu)特征 Sα+β與Sα-β中兩邊的加減運算符號相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應特別注意公式兩邊符號的差異． 三、解釋應用 ［例題一］ 已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值． 分析：本題主要訓練公式Sα-β與Sα+β的使用． 由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值． ［練習一］ 分析：1. （1）強調(diào)公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，α＝（30＋α）－30，再利用已知條件求出cos（30＋α）． 2. 應注意三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系，C＝π－（A＋B），再由誘導公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉(zhuǎn)化為求－cos（A＋B）． 3. 應注意分析角之間的關(guān)系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個單角來表示． 4. 該題是在已有知識的基礎(chǔ)上進一步深化，引導學生分三步進行：（1）求出α＋β角的某個三角函數(shù)值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個三角函數(shù)值時，應分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）． 已知向量＝（3，4），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)45到′→的位置，求點P′（x′，y′）的坐標． 解：設(shè)∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5， ∴cosα＝，sinα＝． ∵x′＝5cos（α＋45）＝5（cosαcos45－sinαsin45）＝－， y′＝5sin（α＋45）＝5（sinαcos45＋cosαsin45）＝， ∴P′ －，． 已知向量＝（4，3），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)60，－135到1，2的位置，求點P1，P2的坐標． ［例題三］ 求下列函數(shù)的最大值和最小值． （1）y＝cosｘ－sinx． （2）y＝3sinx＋4cosx． （3）y＝asinx＋bcosx，　（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問題，是為（3）作鋪墊，推導時，要關(guān)注解題過程，以便讓學生充分理解輔助角φ滿足的條件． （3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標的點P（ａ，ｂ），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個角為φ，則 ［練習三］ 求下列函數(shù)的最大值和最小值． （1）y＝cosx－sinx． （2）y＝sinx－sin（x＋） （3）已知兩個電流瞬時值函數(shù)式分別是I1＝12sin（ωt－45），I2＝10sin（ωt＋30），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函數(shù)式． 四、拓展延伸 出示兩道延伸性問題，引導學生獨立思考，然后師生共同解決． 1. 已知三個電流瞬時值的函數(shù)式分別為I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60），I3＝10sin（ωt＋60），求它們合成后的電流瞬時值的函數(shù)式I＝I1＋I2＋I3，并指出這個函數(shù)的振幅、初相和周期． 2. 已知點P（x，y），與原點的距離保持不變繞原點旋轉(zhuǎn)θ角到點P′（x′，y′）（如圖42-2），求證： 點　評 這篇案例設(shè)計完整，思路清晰．案例首先通過問題情景闡述了兩角和、差正弦公式產(chǎn)生的背景，然后引導學生體會公式的形成過程，進一步理解和分析化歸、換元、類比等數(shù)學常用思想方法在三角變換中的作用．例題的設(shè)計由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設(shè)計有新意，有一定深度，為學生的數(shù)學思維能力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)提供了平臺． 整篇案例緊緊圍繞Sα+β的推導和應用，內(nèi)容充實，環(huán)節(jié)緊湊，關(guān)注及時的鞏固和深化，同時，注意拓展延伸的難度和思維深度．應該說，這是一篇比較成功的教學設(shè)計案例．值得推敲的是，“問題情景”似乎有些牽強．