2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明章末復(fù)習(xí)提升2 蘇教版選修1-21歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明2演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性3直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常把它們結(jié)合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.題型一歸納推理和類比推理歸納推理和類比推理是常用的合情推理，兩種推理的結(jié)論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴(yán)格證明盡管如此，合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用運(yùn)用合情推理時(shí)，要認(rèn)識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的在解決問題時(shí)，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進(jìn)行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證例1觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10_.答案123解析記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.跟蹤演練1給出下列三個(gè)類比結(jié)論：(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sinsin；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22abb2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_答案1解析(ab)nanbn(n1，ab0)，故錯(cuò)誤sin()sinsin不恒成立如30，60，sin901，sin30sin60，故錯(cuò)誤由向量的運(yùn)算公式知正確題型二直接證明綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問題常用的思維方式如果從解題的切入點(diǎn)的角度細(xì)分，直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應(yīng)用綜合法證明問題時(shí)，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實(shí)際證明問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來使用例2已知a>0，求證：a2.證明要證a2，只需證2a.a>0，故只需證22，即a244a2222，從而只需證2，只要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立跟蹤演練2如圖，在四面體BACD中，CBCD，ADBD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，求證：(1)直線EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.證明(1)要證直線EF平面ACD，只需證EFAD且EF平面ACD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，所以EF是ABD的中位線，所以EFAD，所以直線EF平面ACD.(2)要證平面EFC平面BCD，只需證BD平面EFC，只需證因?yàn)樗訣FBD.又因?yàn)镃BCD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，所以CFBD.所以平面EFC平面BCD.題型三反證法如果一個(gè)命題的結(jié)論難以直接證明時(shí)，可以考慮反證法通過反設(shè)結(jié)論，經(jīng)過邏輯推理，得出矛盾，從而肯定原結(jié)論成立反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要反證法主要證明：否定性、惟一性命題；至多、至少型問題；幾何問題例3已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)0，且0<x<c時(shí)，f(x)>0.(1)證明：是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；(2)試用反證法證明>c.證明(1)f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一個(gè)根即是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)(2)假設(shè)<c，又>0，由0<x<c時(shí)，f(x)>0，知f()>0與f()0矛盾，c，又c，>c.跟蹤演練3若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x.求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.證明假設(shè)a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，則abc0，而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23.30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0，這與abc0矛盾，因此假設(shè)不成立，a，b，c中至少有一個(gè)大于0.1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理(1)歸納推理的基本模式：a，b，cM且a，b，c具有某屬性，結(jié)論：dM，d也具有某屬性(2)類比推理的基本模式：A具有屬性a，b，c，d；B具有屬性a，b，c；結(jié)論：B具有屬性d.(a，b，c，d與a，b，c，d相似或相同)2使用反證法證明問題時(shí)，常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下：原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒有對所有x成立存在某個(gè)x不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對任意x不成立存在某個(gè)x成立至少有n個(gè)至多有n1個(gè)p或qp且q至多有n個(gè)n1個(gè)p且qp或q