2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 2.1直線的方向向量與平面的法向量 蘇教版選修2-1課時(shí)目標(biāo)1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.理解直線的方向向量與平面的法向量在確定直線與平面時(shí)的作用1直線的方向向量直線l上的向量e(e0)以及與e共線的非零向量叫做直線l的_2平面的法向量如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面，那么稱向量n_平面，記作_，此時(shí)把向量n叫做平面的_3平面法向量與平面內(nèi)點(diǎn)之間的關(guān)系在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0，z0)，平面的法向量n(A，B，C)，M(x，y，z)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿足的關(guān)系式為_一、填空題1.已知A（3,5,2），B（-1,2,1），把按向量a(2,1,1)平移后所得的向量是_2從點(diǎn)A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取線段長AB34，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為_3已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量，若l1l2，則x_；y_.4設(shè)平面的法向量為(1,2，2)，平面的法向量為(2，4，k)，若，則k_.5已知l，且l的方向向量為(2，m,1)，平面的法向量為，則m_.6若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則l的一個(gè)方向向量_.7.如圖所示，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQQD，則a_.8已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的單位法向量坐標(biāo)為_二、解答題9已知平面經(jīng)過三點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2，0)，試求平面的一個(gè)法向量10ABC中，A(1，1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，設(shè)M(x，y，z)是平面ABC上任一點(diǎn)(1)求平面ABC的一個(gè)法向量；(2)求x，y，z滿足的關(guān)系式能力提升11.在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)，如圖所示，求平面CMN的一個(gè)法向量12.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)求證：是平面AB1C的法向量1直線的方向向量是一個(gè)很重要的概念由定點(diǎn)A和方向向量a不僅可以確定直線l的位置，還可具體表示出l上的任意點(diǎn)；還可確定直線共線的條件，計(jì)算兩條直線所成的角等2求解平面的法向量若要求出一個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解3由平面的法向量和平面內(nèi)一點(diǎn)可得到平面上任一點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式3.2空間向量的應(yīng)用32.1直線的方向向量與平面的法向量知識(shí)梳理1方向向量2垂直于n法向量3A(xx0)B(yy0)C(zz0)0作業(yè)設(shè)計(jì)1(4，3，1)解析(4，3，1)平移后向量的模和方向是不改變的，所以平移后的向量和向量相等2(18,17，17)解析設(shè)B(x，y，z)，(x2，y1，z7)(8,9，12)，>0.故x28，y19，z712，又(x2)2(y1)2(z7)2342，得(17)2342，>0，2.x18，y17，z17，即B(18,17，17)36解析l1l2，ab，則有2x12且2y15，解方程得x6，y.44解析(2，4，k)(1,2，2)，2，k4.58解析(2，m,1)0，得m8.6.或72解析以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Q(1，y,0)，P(0,0，b)，D(0，a,0)，所以(1，y，b)，(1，ay,0)，由PQQD得1y(ay)00，即y2ay10有等根，所以0，即a240，得a2.8.或9解A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)，設(shè)平面的法向量為n(x，y，z)依題意，應(yīng)有n0，n0.即，解得.令y1，則x2.平面的一個(gè)法向量為n(2,1,0)10解(1)設(shè)平面ABC的法向量n(a，b，c)，(2,4，1)，(2,2,1)，.故可取n(3,2,2)平面ABC的一個(gè)法向量為n(3,2,2)(2)點(diǎn)M(x，y，z)是平面ABC上任一點(diǎn)，3(x1)2(y1)2(z2)0.3x2y2z10.這就是所求的x、y、z滿足的關(guān)系式11解取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB.SASC，ABBC，CASO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，SOBO.如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A(2,0,0)，B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，(1,0，)設(shè)n(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則，取z1，則x，y，n(，1)因此平面CMN的一個(gè)法向量為(，1)12證明分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)|2，則E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2)，A(2,0,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)(1，1,1)，(0,2,2)，(2,2,0)，220，220.平面AB1C.是平面AB1C的法向量