2019-2020年高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何 章末總結(jié) 蘇教版選修2-1知識點一空間向量的計算空間向量及其運算的知識與方法與平面向量及其運算類似，是平面向量的拓展，主要考查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運算，是用向量法求解立體幾何問題的基礎(chǔ)例1沿著正四面體O-ABC的三條棱、的方向有大小等于1、2和3的三個力f1，f2，f3.試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱夾角的余弦值知識點二證明平行、垂直關(guān)系空間圖形中的平行、垂直問題是立體幾何當中最重要的問題之一，利用空間向量證明平行和垂直問題，主要是運用直線的方向向量和平面的法向量，借助空間中已有的一些關(guān)于平行和垂直的定理，再通過向量運算來解決例2如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為AB、B1C的中點(1)用向量法證明平面A1BD平面B1CD1；(2)用向量法證明MN面A1BD.例3如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CPm.試確定m使得直線AP與平面BDD1B1所成的角為60.例4正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，求證：平面AED平面A1FD1.知識點三空間向量與空間角求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角，一般有兩種方法：即幾何法和向量法，幾何法求角時，需要先作出(或證出)所求空間角的平面角，費時費力，難度很大而利用向量法，只需求出直線的方向向量與平面的法向量即可求解，體現(xiàn)了向量法極大的優(yōu)越性例5如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD8，AA14，M為B1C1上一點且B1M2，點N在線段A1D上，A1DAN.（1）求cos，；(2)求直線AD與平面ANM所成角的余弦值；(3)求平面ANM與平面ABCD所成角的余弦值知識點四空間向量與空間距離近年來，對距離的考查主要體現(xiàn)在兩點間的距離和點到平面的距離，兩點間的距離可以直接代入向量模的公式求解，點面距可以借助直線的方向向量與平面的法向量求解，或者利用等積求高的方法求解例6如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PAAD2，M、N分別是AB、PC的中點(1)求二面角PCDB的大??；(2)求證：平面MND平面PCD；(3)求點P到平面MND的距離章末總結(jié)重點解讀例1解如圖所示，用a，b，c分別代表棱、上的三個單位向量，則f1a，f22b，f33c，則ff1f2f3a2b3c，|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos 606cos 6012 cos 601423625，|f|5，即所求合力的大小為5.且cosf，a，同理可得：cosf，b，cosf，c.例2證明(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中，又，.BDB1D1.同理可證A1BD1C，又BDA1BB，B1D1D1CD1，所以平面A1BD平面B1CD1.(2)()().設(shè)a，b，c，則(abc)又ba，(abc)(ba)(b2a2cbca)又A1AAD，A1AAB，cb0，ca0.又|b|a|，b2a2，b2a20.0，MNBD.同理可證，MNA1B，又A1BBDB，MN平面A1BD.例3解建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)則(1，1,0)，(0,0,1)，(1,1，m)，(1,1,0)又由0，0知，為平面BB1D1D的一個法向量設(shè)AP與平面BB1D1D所成的角為，則sin|cos，|.依題意得sin60，解得m.故當m時，直線AP與平面BDD1B1所成角為60.例4證明如圖，建立空間直角坐標系Dxyz.設(shè)正方體棱長為1，則E、D1(0,0,1)、F、A(1,0,0)(1,0,0)，.設(shè)m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分別是平面AED和A1FD1的一個法向量由.令y11，得m(0,1，2)又由，令z21，得n(0,2,1)mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.例5解(1)建立空間直角坐標系(如圖)則A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)(5,2,4)，(0,8，4)016160，.cos，0.(2)A1DAM，A1DAN，且AMANA，平面ANM，(0,8，4)是平面ANM的一個法向量又(0,8,0)，|4，|8，64，cos，.AD與平面ANM所成角的余弦值為.(3)平面ANM的法向量是(0,8，4)，平面ABCD的法向量是a(0,0,1)，cos，a.平面ANM與平面ABCD所成角的余弦值為.例6(1)解PA平面ABCD，由ABCD是正方形知ADCD.CD面PAD，PDCD.PDA是二面角PCDB的平面角PAAD，PDA45，即二面角PCDB的大小為45.(2)如圖，建立空間直角坐標系，則P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，M(1,0,0)，N是PC的中點，N(1,1,1)，(0,1,1)，(1,1，1)，(0,2，2)設(shè)平面MND的一個法向量為m(x1，y1，z1)，平面PCD的一個法向量為n(x2，y2，z2)m0，m0，即有令z11，得x12，y11.m(2，1,1)同理，由n0，n0，即有令z21，得x20，y21，n(0,1,1)mn20(1)1110，mn.平面MND平面PCD.(3)設(shè)P到平面MND的距離為d.由(2)知平面MND的法向量m(2，1,1)，m(0,2，2)(2，1,1)4，|m|4，又|m|，d.即點P到平面MND的距離為.