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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 第三課時 一元二次不等式解法教案（二） 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 會把部分一元二次不等式轉(zhuǎn)化成一次不等式組來求解，簡單分式不等式求解；通過問題求解滲透等價轉(zhuǎn)化的思想，提高運算能力，滲透分類討論思想，提高邏輯思維能力，滲透等價轉(zhuǎn)化與分類討論思想. 教學(xué)重點： 一元二次不等式的求解. 教學(xué)難點： 將已知不等式等價轉(zhuǎn)化成合理變形式子. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 試回憶一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）與ax2＋bx＋c＜0（a＞0)的解的情況怎樣？ 對于上述問題，提醒學(xué)生借“三個二次”分三種情況討論對應(yīng)的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0與ax2＋bx＋c＜0的解集，學(xué)生可歸納： （1）若Δ＞0，此時拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有兩個交點，即方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2（x1＜x2}，那么，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x1＜x＜x2}. (2)若Δ＝0，此時拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸只有一個交點，即方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相等的實數(shù)根，x1＝x2＝－，那么不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x≠－}，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是. （3）若Δ＜0，此時拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸無交點，即方程ax2＋bx＋c＝0無實數(shù)根，那么，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是R，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是. 若a＜0時，可以先將二次項系數(shù)化成正數(shù)，對照上述（1）（2）（3）情況求解. 教師歸納：一元二次不等式的解法充分運用了“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”及“化歸”的數(shù)學(xué)思想. Ⅱ.題組訓(xùn)練 題組一：（x＋a）(x＋b)＞0，（x＋a）(x＋b)＜0的解法探討. 1.（x＋4)(x－1)＜0 2.(x－4)(x＋1)＞0 3.x(x－2)＞8 4.(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0 此題組題目可以按上節(jié)課的解法解決，但若我們能注意到題目1、2不等式左邊是兩個x的一次式的積，而右邊是0，不妨可以借用初中學(xué)過的積的符號法則將其實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化并求出結(jié)果. 對于題目1、2學(xué)生經(jīng)過觀察、分析，原不等式可轉(zhuǎn)化成一次不等式組，進(jìn)而求出其解集的并集. 1.解：將（x＋4)(x－1)＜0轉(zhuǎn)化為或 由{x|}＝{x|－4＜x＜1}，{x|}＝ 得原不等式的解集為{x|－4＜x＜1}∪＝{x|－4＜x＜1} 2.解：將(x－4)(x＋1)＞0轉(zhuǎn)化為或 由{x|}＝{x|x＞4}，{x|}＝{x|x＜－1} 得原不等式解集為{x|x＞4}∪{x|x＜－1}＝{x|x＞-4或x＜－1} 對于題目3、4，教師引導(dǎo)學(xué)生，利用基本知識，基本方法將其轉(zhuǎn)化成左邊是兩個x的一次式的積，右邊是0的不等式，學(xué)生可順利獲解. 3.解：將x(x－2)＞8變形為x2－2x－8＞0 ∴（x－4）(x＋2)＞0 ∴{x|}＝{x|x＞4}，{x|}＝{x|x＜－2} ∴原不等式解集為{x|x＜－2或x＞4} 4.解：將原不等式變形為 [（x＋1）＋4][(x＋1)－1]＞0，即x(x＋5)＞0 ∴{x|}＝{x|x＞0}，{x|}＝{x|x＜－5} ∴原不等式解集為{x|x＜－5或x＞0} 引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般歸納（x＋a）(x＋b)＞0與（x＋a）(x＋b)＜0的解法：將二次不等式（x＋a）(x＋b)＞0轉(zhuǎn)化為一次不等式組或；(x＋a)(x＋b)＜0轉(zhuǎn)化為一次不等式或. 題組二：＞0與＜0的解法探索. 1. ＜0 2.3＋＜0 3. ＞－3 4. ＞1 有了題組一的基礎(chǔ)，學(xué)生通過觀察、分析題組二題目的特點，結(jié)合初中學(xué)過的商的符號法則或結(jié)論“＞0ab＞0及＜0ab＜0”作為等價轉(zhuǎn)化的依據(jù)，可以使題組二題目得解. 1.解：不等式可轉(zhuǎn)化為或 ∴{x|}＝{x|－7＜x＜3}，{x|}＝ ∴原不等式解集為{x|－7＜x＜3} 2.解：不等式可轉(zhuǎn)化為或 ∴{x|}＝{x|－＜x＜0}，{x|}＝ ∴原不等式解集為{x|－＜x＜0} 3.解：不等式可轉(zhuǎn)化為＞0，即或 ∴{x|}＝{x|x＞3}，{x|}＝{x|x＜} ∴原不等式解集為{x|x＜或x＞3} 4.解：原不等式轉(zhuǎn)化為＞0 即或 ∴{x|}＝{x|0＜x＜3}，{x|}＝ ∴原不等式解集為{x|0＜x＜3} 繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生歸納不等式＞0, ＜0的解法. ＞0 (x＋a)(x＋b)＞0，＜0 (x＋a)(x＋b)＜0 進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組求解. 題組三：含參數(shù)的不等式解法的探究. 1.解不等式x2＋(a2＋a)x＋a3＞0 2.不等式＜1的解集為{x|x＜1或x＞2}，求a. 對于題目1，一般學(xué)生能將其等價轉(zhuǎn)化成不等式（x＋a)(x＋a)2＞0，由于含有參數(shù)a，須對其進(jìn)行分類討論，可以讓學(xué)生分組討論求其解集的方法. 解：原不等式轉(zhuǎn)化為（x＋a)(x＋a2)＞0 當(dāng)－a＞－a2即a＞1或a＜0時，{x|x＞－a或x＜－a2} 當(dāng)－a＝－a2即a＝0時，{x|x≠0}；a＝1時，{x|x≠－1}. 當(dāng)－a＜－a2即0＜a＜1時，{x|x＞－a2或x＜－a} 對于題目2，重在考查學(xué)生的逆向思維能力，繼續(xù)讓學(xué)生仔細(xì)思考，深入探究，學(xué)生的思路可能會有如下兩種： 解法一：將原不等式轉(zhuǎn)化為 [（a－1）x＋1](x－1)＜0，即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0 ∴(1－a)x2＋(a－2)x＋1＞0，依據(jù)與系數(shù)的關(guān)系得， ∴a＝. 解法二：原不等式轉(zhuǎn)化為[（a－1）x＋1](x－1)＜0 ∵其解集為{x|x＜1或x＞2} ∴a－1＜0 ∴[(1－a)x－1](x－1)＞0 ∴2＝∴a＝ 教師引導(dǎo)學(xué)生歸納：解含參數(shù)的一元二次不等式時，一般要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論取決于： ①由含參數(shù)的判別式Δ，決定解的情況. ②比較含參數(shù)的兩根的大小； ③不等式的二次項系數(shù)決定對應(yīng)的二次函數(shù)的拋物線開口方向. Ⅲ.課堂練習(xí). 課本P73練習(xí)1，2 Ⅳ.課時小結(jié) 1.（x＋a）(x＋b)＞0與（x＋a）(x＋b)＜0型不等式的解法. 2. ＞0與＜0型不等式的解法. 3.含參數(shù)的一元二次不等式的解法. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P73習(xí)題 4，5，6 補充： 1．解關(guān)于x的不等式：x2＋（m－m2）x－m3＞0. 解：將原不等式化成（x－m2）（x＋m）＞0，則 (1)當(dāng)m2＞－m即m＞0或m＜－1時，解集為{x｜x＞m2或x＜－m} (2)當(dāng)m2＜－m即－1＜m＜0時，解集為{x｜x＞－m或x＜m2} (3)當(dāng)m2＝－m即m＝0或m＝－1時，解集為{x｜x≠0或x≠1} 從上可看到：上述問題的結(jié)論必須用分段的形式敘述，或所研究的對象全體不宜用同一方法處理的問題，可采用化整為零，各個擊破，使問題獲解.不妨再看如下題目，體會其思想方法. 2．解關(guān)于x的不等式ax2－2（a＋1）x＋4＞0. 解：當(dāng)a＝0時，原不等式為一次不等式，即－2x＋4＞0，∴x＜2 當(dāng)a≠0時，ax2－2（a＋1）x＋4＝0的判別式 Δ＝4（a－1）2≥0，其二根x1＝2，x2＝ 于是有 ①當(dāng)a＜0時，{x｜＜x＜2} ②當(dāng)0＜a≤1時，{x｜x＜2或x＞} ③當(dāng)a＞1時，{x｜x＜或x＞2}