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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第十一課時(shí) 小結(jié)與復(fù)習(xí)（1） 教案 蘇教版必修4 ●教學(xué)目標(biāo) （一）知識(shí)目標(biāo) 1.本身知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)； 2.向量概念； 3.向量的運(yùn)算律； 4.重要的定理、公式. （二）能力目標(biāo) 1.了解本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)； 2.進(jìn)一步熟悉基本概念及運(yùn)算律； 3.理解重要定理、公式并能熟練應(yīng)用； 4.加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高分析問題，解決問題的能力. （三）德育目標(biāo) 1.認(rèn)識(shí)事物之間的相互轉(zhuǎn)化； 2.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). ●教學(xué)重點(diǎn) 突出本章重、難點(diǎn)內(nèi)容. ●教學(xué)難點(diǎn) 通過例題分析突出向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別. ●教學(xué)方法 自學(xué)輔導(dǎo)法 在給出本章的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)后，列出復(fù)習(xí)提綱，引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本概念、基本運(yùn)算律、重要定理、公式的熟悉程度. ●教具準(zhǔn)備 投影儀、幻燈片（三張） 第一張：本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖（記作5.13.1 A） 第二張：向量運(yùn)算法則（記作5.13.1 B） 第三張：本節(jié)例題（記作5.13.1 C） ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］前面一段，我們一起學(xué)習(xí)了向量的知識(shí)以及解斜三角形問題，并掌握了一定的分析問題解決問題的方法.這一節(jié)，我們開始對(duì)本章進(jìn)行小結(jié)與復(fù)習(xí). Ⅱ.講授新課 ［師］首先我們通過投影屏幕來看向量知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（給出幻燈片5.13.1 A） 1.本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 2.本章重點(diǎn)及難點(diǎn) （1）本章的重點(diǎn)有向量的概念、運(yùn)算及坐標(biāo)表示，線段的定比分點(diǎn)，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的應(yīng)用； （2）本章的難點(diǎn)是向量的概念，向量運(yùn)算法則的理解和運(yùn)用，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形等； （3）對(duì)于本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，要注意體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用. 3.向量的概念 （1）向量的基本要素：大小和方向. （2）向量的表示：幾何表示法：，a；坐標(biāo)表示法：a＝xi＋yj＝（x，y）. （3）向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作|a|. （4）特殊的向量：零向量a＝0|a|＝0. 單位向量a0為單位向量|a0|＝1. （5）相等的向量：大小相等，方向相同（x1，y1）＝（x2，y2） （6）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.由于向量可以進(jìn)行任意的平移（即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量. 4.向量的運(yùn)算 （給出幻燈片5.13.1 B） 運(yùn)算類型 幾何方法 坐標(biāo)方法 運(yùn)算性質(zhì) 向 量 的 加 法 1.平行四邊形法則 2.三角形法則 a＋b ＝（x1＋x2，y1＋y2） a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 向 量 的 減 法 三角形法則 a－b ＝（x1－x2，y1－y2） a－b＝a＋（－b）  數(shù) 乘 向 量 λa是一個(gè)向量，滿足： 1.|λa|＝|λ||a|； 2.λ＞0時(shí),λa與a同向; λ＜0時(shí)，λa與a反向； λ＝0時(shí)，λa＝0 λa＝（λx，λy） λ（μa）＝（λμ）a （λ＋μ）a＝λa＋μa λ（a＋b）＝λa＋λb a∥ba＝λb 向 量 的 數(shù) 量 積 ab是一個(gè)數(shù)： 1.a≠0，且b≠0時(shí)，ab＝|a||b|cos＜a，b＞ 2.a＝0或b＝0時(shí)，ab＝0 ab＝x1x2＋y1y2 ab＝ba （λa）b＝a（λb） ＝λ（ab） （a＋b）c＝ac＋bc a2＝|a|2，|a|＝ |ab|≤|a||b| 5.重要定理、公式 （1）平面向量基本定理 e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. （2）兩個(gè)向量平行的充要條件 a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0. （3）兩個(gè)向量垂直的充要條件 a⊥bab＝0x1x2＋y1y2＝0. （4）線段的定比分點(diǎn)公式 設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ，即＝λ，則 （線段的定比分點(diǎn)的向量公式） （線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式） 當(dāng)λ＝1時(shí)，得中點(diǎn)公式： （5）平移公式 設(shè)點(diǎn)P（x，y）按向量a＝（h，k）平移后得到點(diǎn)P′（x′，y′），則＋a或 曲線y＝f（x）按向量a＝（h，k）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為： y－k＝f（x－h(huán)） （6）正、余弦定理 正弦定理：． 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. ［師］下面我們通過例題分析來進(jìn)一步熟悉向量知識(shí)的應(yīng)用. （通過幻燈片5.13.1 C給出本節(jié)例題） ［例1］設(shè)坐標(biāo)平面上有三點(diǎn)A、B、C，i，j分別是坐標(biāo)平面上x軸，y軸正方向的單位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在實(shí)數(shù)m，使A、B、C三點(diǎn)共線. 分析：可以假設(shè)滿足條件的m存在，由A、B、C三點(diǎn)共線∥存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，從而建立方程來探索. 解法一：假設(shè)滿足條件的m存在，由A、B、C三點(diǎn)共線，即∥， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，i－2j＝λ（i＋mj）， ∴m＝－2. ∴當(dāng)m＝－2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線. 解法二：假設(shè)滿足條件的m存在，根據(jù)題意可知：i＝（1，0），j＝（0，1） ∴＝（1，0）－2（0，1）＝（1，－2）， ＝（1，0）＋m（0，1）＝（1，m）， 由A、B、C三點(diǎn)共線，即∥， 故1m－1（－2）＝0，解得m＝－2. ∴當(dāng)m＝－2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線. 評(píng)述：（1）共線向量的充要條件有兩種不同的表示形式，但其本質(zhì)是一樣的，在運(yùn)用中各有特點(diǎn)，解題時(shí)可靈活選擇； （2）本題是存在探索性問題，這類問題一般有兩種思考方法，即假設(shè)存在法——當(dāng)存在時(shí)；假設(shè)否定法——當(dāng)不存在時(shí). Ⅲ.課堂練習(xí) 1.判斷題 （1）＋＝0（） （2）0＝0（） （3）－＝（） 2.選擇題 已知a，b為兩個(gè)單位向量，下列四個(gè)命題中正確的是( ) A．a(chǎn)與b相等 B．如果a與b平行，那么a與b相等 C. ab＝1 D．a(chǎn)2＝b2 答案：D 3.已知A、B、C是直線l上的順次三點(diǎn)，指出向量、、、中，哪些是方向相同的向量. 答案：與方向相同，與方向相同. 4.已知為與的和向量，且＝a，＝b，分別用a、b表示，. 解：＝（a－b），＝（a＋b）. 5.已知ABCDEF為正六邊形，且＝a，＝b，用a，b表示向量、、、、、、、. 解：＝－a，＝a＋b， ＝（a＋b），＝－（a＋b）， ＝（a－b），CD＝（b－a）， ＝a＋b，＝b－a. 6.已知點(diǎn)A（－3，－4）、B（5，－12） （1）求的坐標(biāo)及||； （2）若，求及的坐標(biāo)； （3）求. 解：（1）＝（8，－8），||＝8 （2）＝（2，－16），＝（－8，8） （3）＝33. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) ［師］通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在了解向量知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步熟悉基本概念及運(yùn)算律，并能熟練重要定理、公式的應(yīng)用，并加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高分析問題、解決問題的能力. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P149復(fù)習(xí)參考題五 7，11，13，15，17，19. （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容 （1）三角形的有關(guān)性質(zhì)； （2）向量數(shù)量積的性質(zhì)及坐標(biāo)表示. 2.預(yù)習(xí)提綱 （1）向量加、減法基本原則的適用前提； （2）向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的形式特點(diǎn). ●板書設(shè)計(jì) 5.13.1 小結(jié)與復(fù)習(xí)（一） 1.向量知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 2.本章重難點(diǎn)歸納 （1）重點(diǎn) （2）難點(diǎn) 3.向量基本概念 4.本章運(yùn)算律、性質(zhì) 5.重要公式、定理 ●備課資料 1.三點(diǎn)共線的證明 對(duì)于三點(diǎn)共線的證明，可以利用向量共線的充要條件證明，也可利用定比分點(diǎn)知識(shí)證明.因?yàn)椋ū确贮c(diǎn)問題中所涉及的三個(gè)點(diǎn)必然共線，而三個(gè)點(diǎn)共線時(shí)，必然構(gòu)成定比分點(diǎn). ［例1］已知A（－1，－1）、B（1，3）、C（2，5），求證A、B、C三點(diǎn)共線. 證明：設(shè)點(diǎn)B′（1，y）是的一個(gè)分點(diǎn)，且＝λ，則1＝ 解得λ＝2. ∴y＝＝3. 即點(diǎn)B′與點(diǎn)B重合. ∵點(diǎn)B′在上， ∴點(diǎn)B在上， ∴A、B、C三點(diǎn)共線. 2.利用正、余弦定理判斷三角形形狀 ［例2］根據(jù)下列條件，判斷△ABC的形狀 （1）acosA＝bcosB （2）sin2Α＋sin2B＝sin2C，且c＝2acosB. 解：（1）∵acosA＝bcosB ∴ ∴， 即sinAcosA＝sinBcosB ∴sin2A＝sin2B ∴2A＝2B或2A＝π－2B ∴A＝B或A＋B＝ ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. （2）∵sin2A＋sin2B＝sin2C ∴， ∴a2＋b2＝c2 故△ABC是直角三角形，且C＝90， ∴cosB＝，代入c＝2acosB 得cosB＝ ∴B＝45，A＝45 綜上，△ABC是等腰直角三角形. 評(píng)注：（1）條件中有邊有角，一般須化邊為角或化角為邊，題（1）也可以化角為邊. （2）題（1）結(jié)論中用“或”，題（2）中用“且”結(jié)論也就不同，切不可混淆. ［例3］在△ABC中，若a2＝b（b＋c），則A與B有何關(guān)系? 解：由正弦定理得sin2A＝sinB（sinB＋sinC） ∴sin2A－sin2B＝sinBsinC， （sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝sinBsinC， sin（A＋B）sin（A－B）＝sinBsinC ∵sin（A＋B）＝sinC， ∴sin（A－B）＝sinB， ∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B（舍去） 故A與B的關(guān)系是A＝2B. 3.利用正、余弦定理證明三角恒等式 ［例4］在△ABC中，求證. 證明：由余弦定理，知 a2＋b2－c2＝2abcosC， a2－b2＋c2＝2cacosB， ∴. 評(píng)注：對(duì)于含有a2、b2、c2的形式，常用余弦定理化邊為角. ［例5］在△ABC中，已知2sin2A＝3sin2B＋3sin2C ① cos2A＋3cosA＋3cos（B－C）＝1 ② 求：a∶b∶c. 解：由①得2a2＝3b2＋3c2 ③ ∵cosA＝－cos（B＋C） 由②得3cos（B－C）－3cos（B＋C） ＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2C. ∴cos（B－C）－cos（B＋C）＝sin2B＋sin2C， 2sinBsinC＝sin2B＋sin2C 即（sinB－sinC）2＝0， ∴sinB＝sinC， ∴2RsinB＝2RsinC， ∴b＝c代入③得 a＝b. ∴a∶b∶c＝b∶b∶b＝∶1∶1. 4.向量知識(shí)在近幾年高考中的體現(xiàn) ［例6］(xx年全國(guó)高考)若向量a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2）,則c等于 A.－a+b B. a－b C.a－b D.－a+b 分析：本題主要考查平面向量的加、減運(yùn)算,數(shù)與向量的乘法運(yùn)算,以及簡(jiǎn)單計(jì)算的技能. 解法一：設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足c=xa+yb 則有（x+y，x－y）=（－1，2）， 所以. 解得x=，y=－. 故選B. 解法二：逐項(xiàng)檢驗(yàn)如下： ∵－a+b=（1，－2）≠c， 故排除A. 又∵a－b=（－1，2）=c 故選B. 解法三：（圖解法） 依題設(shè)可作向量圖，如右圖： 令c=xa+yb，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，觀察圖形，可知系數(shù)x＞0，y＜0，且應(yīng)有|y|＞|x|，從而可以排除A、C、D. 故選B. ［例7］（xx年上海高考）向量=（－1，2），向量=（3，m），若⊥，則m= . 解：=－=（4，m－2）， 由兩非零向量垂直的充要條件可得－14+2（m－2）=0， 解得m=4.