2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第十三課 三角函數(shù)的性質(zhì)教案 蘇教版必修4教學(xué)目標(biāo)：理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：正、余弦函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：正、余弦函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用教學(xué)過(guò)程：.課題導(dǎo)入上節(jié)課，我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象，今天，我們借助它們的圖象來(lái)研究它們有哪些性質(zhì).(1)定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R或(，)，分別記作：ysinx，xRycosx，xR(2)值域因?yàn)檎揖€、余弦線的長(zhǎng)度小于或等于單位圓的半徑的長(zhǎng)度，所以sinx1，cosx1，即1sinx1，1cosx1也就是說(shuō)，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是1，1.其中正弦函數(shù)y=sinx，xR當(dāng)且僅當(dāng)x2k，kZ時(shí)，取得最大值1.當(dāng)且僅當(dāng)x2k，kZ時(shí)，取得最小值1.而余弦函數(shù)ycosx，xR當(dāng)且僅當(dāng)x2k，kZ時(shí)，取得最大值1.當(dāng)且僅當(dāng)x(2k1)，kZ時(shí)，取得最小值1.(3)周期性由 (kZ)知：正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的.一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是這兩個(gè)函數(shù)的周期.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.(4)奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).(5)單調(diào)性從ysinx，x，的圖象上可看出：當(dāng)x，時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值由1增大到1.當(dāng)x，時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到1.結(jié)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間2k，2k(kZ)上都是增函數(shù)，其值從1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間2k，2k(kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1.余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間(2k1)，2k(kZ)上都是增函數(shù)，其值從1增加到1；在每一個(gè)閉區(qū)間2k，(2k1)(kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1.例1求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說(shuō)出最大值是什么.(1)ycosx1，xR； (2)ysin2x，xR.解：(1)使函數(shù)ycosx1，xR取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)ycosx，xR取得最大值的x的集合x(chóng)x2k，kZ.函數(shù)ycosx1，xR的最大值是112.(2)令Z2x，那么xR必須并且只需ZR，且使函數(shù)ysinZ，ZR取得最大值的Z的集合是ZZ2k，kZ由2xZ2k，得xk即：使函數(shù)ysin2x，xR取得最大值的x的集合是xxk，kZ.函數(shù)ysin2x，xR的最大值是1.例2求下列函數(shù)的定義域：(1)y1 (2)y解：(1)由1sinx0，得sinx1即x2k(kZ)原函數(shù)的定義域?yàn)閤x2k，kZ(2)由cosx0得2kx2k(kZ)原函數(shù)的定義域?yàn)?k，2k(kZ)例3求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：ycos(2x)；y3sin()解：設(shè)u2x，則ycosu當(dāng)2ku2k時(shí)ycosu隨u的增大而增大又u2x隨xR增大而增大ycos(2x)當(dāng)2k2x2k(kZ)即kxk時(shí)，y隨x增大而增大ycos(2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：k，k(kZ)設(shè)u，則y3sinu當(dāng)2ku2k時(shí)，y3sinu隨x增大在減小，又u隨xR增大在減小 y3sin()當(dāng)2k2k即4kx4k時(shí)，y隨x增大而增大y3sin()的單調(diào)遞增區(qū)間為 4k，4k(kZ).課堂練習(xí)課本P33 17.課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要初步掌握正、余弦函數(shù)的性質(zhì)以及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，解決一些相關(guān)問(wèn)題.課后作業(yè)課本P46 習(xí)題 2、3、4課后練習(xí)：1給出下列命題：ysinx在第一象限是增函數(shù)；是銳角，則ysin()的值域是1，1；ysinx的周期是2；ysin2xcos2x的最小值是1；其中正確的命題的序號(hào)是_.分析:ysinx是周期函數(shù)，自變量x的取值可周期性出現(xiàn)，如反例：令x1，x22，此時(shí)x1x2而sinsin(2) 錯(cuò)誤；當(dāng)為銳角時(shí)，由圖象可知sin()1錯(cuò)誤；ysinx(xR)是偶函數(shù).其圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可看出它不是周期函數(shù).錯(cuò)誤；ysin2xcos2xcos2x，最小值為1正確.答案：評(píng)述：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部選擇，是針對(duì)區(qū)間而言的；我們不能說(shuō)某函數(shù)在某象限內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù)，而只能說(shuō)某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù).2求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)ylg(sinx) (2)y2分析：根據(jù)函數(shù)有意義列不等式，求x的范圍即為定義域.求值域時(shí)要注意正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域.解：(1)要使lg(sinx)有意義，必須且只須sinx，解之得：2kx2k，kZ又0sinx1lg(sinx)lg(1)定義域?yàn)?2k，2k)，(kZ)值域?yàn)?，lg(1).(2)要使2有意義，必須且只須2cos3x10，即cos3x，解之得2k3x2k即 x，kZ.又02cos3x11故022 定義域?yàn)?，kZ值域?yàn)?，2評(píng)述：求由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成復(fù)合函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題，要充分考慮基本的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域.4.比較下列各組數(shù)的大?。?1)sin195與cos170;(2)cos，sin，cos(3)sin(sin)，sin().分析：化為同名函數(shù)，進(jìn)而利用單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值的大小.解：(1)sin195sin(18015)sin15cos170cos(18010)cos10sin800158090又ysinx在0，90上是遞增函數(shù)，sin15sin80 sin15sin80sin195cos170.(2)sincos()coscos()又1.471.51.391.4而ycosx在0，上是減函數(shù)，由得coscos()cos()即cossincos.(3)cossin0cossin1而ysinx在0，1內(nèi)遞增sin(cos)sin(sin).