2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 14.平面向量教案 新人教A版1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：給定一個(gè)非零向量，與同向且長度為1的向量叫向量的單位向量. 的單位向量是；（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：如果向量的基線互相平行或重合則稱這些向量共線或平行，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)平行向量的基線平行或重合, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；三點(diǎn)共線共線；（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_（答：（4）（5）2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；（2）符號表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。提醒：向量的起點(diǎn)不在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就不相同. 如（04年上海卷.文6）已知點(diǎn)A(-1,5)和向量,若,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 . (5,4)3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使a=e1e2，e1、e2稱為一組基底.注：這為我們用向量解決問題提供了一種方向：把參與的向量用一組基底表示出來，使其關(guān)系容易溝通如（1）若，則_（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_（答：）；（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是_（答：0）4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)0時(shí)，注意：0。5、平面向量的數(shù)量積：（1）兩個(gè)向量的夾角：對于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直。提醒：（1）向量的夾角要求這兩個(gè)向量同起點(diǎn).（2）角的問題（如三角形內(nèi)角）可轉(zhuǎn)化為向量的夾角來解.（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）ABC中，則_（答：9）；（2）已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；（3）已知，則等于_（答：）；（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_（答：）（3）在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_（答：）（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件； 提醒：（1）若則為銳角或者0角若則為鈍角或者角.（2）|可以用來證明/.非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）； （2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_（答：）；（3） 答案：（4）（04年全國卷二.理9）已知平面上直線l的方向向量點(diǎn)和在l上的射影分別是O和A，則，其中=（D ）.ABC2D2（5）設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn) A、B、C、D，已知?jiǎng)tABC 的形狀是（B）A .直角三角形 B. 等腰三角形C .等腰直角三角形 D .等邊三角形（6）已知與之間有關(guān)系式，用表示；求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大?。ù穑?；最小值為，）6、向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；提醒：平行四邊形法則要求參與加法的兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同，三角形法則要求參與加法的兩個(gè)向量的首尾相接.可推廣到（據(jù)此，可根據(jù)需要在一個(gè)向量的兩個(gè)端點(diǎn)之間任意插點(diǎn)）向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同，指向被減向量(用向量的減法來引進(jìn)新的起點(diǎn)或者消去不必要的起點(diǎn))。向量加減運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果非0，在移項(xiàng)時(shí)要注意.容易得出：|+|如（1）化簡：_；_；_（答：；）；（2）若正方形的邊長為1，則_（答：）；（3）若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_（答：直角三角形）；（4）若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_（答：2）；（5）若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_（答：）；（6）（04年全國卷二.文9）已知向量、滿足：|=1，|=2，|=2，則|=（ D ）. A1 B C D（7）已知ABC 的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C 及平面內(nèi)一點(diǎn) P 滿足，則點(diǎn) P 與ABC 的關(guān)系為（ D ）A .P 在 ABC 內(nèi)部 B. P 在 ABC 外部C .P 在 AB 邊所在直線上 D. P 是 AC 邊的一個(gè)三等分點(diǎn)（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：向量的加減法運(yùn)算：，。如（1）已知點(diǎn)，若，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（答：）；（2）已知，則 （答：或）；（3）已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是 （答：（9,1）實(shí)數(shù)與向量的積：。若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_（答：）；平面向量數(shù)量積：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夾角；（2）若x，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或）；向量的模：。距離的求法：轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積：=如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_（答：）； 兩點(diǎn)間的距離：若，則。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為。（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，2），求P到O的距離PO；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。（答：（1）2；（2）；7、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，。如下列命題中： ； ； ； 若，則或；若則；。其中正確的是_（答：）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？8、向量平行(共線)的充要條件：(1) 向量與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=實(shí)數(shù)是唯一存在的，當(dāng)與同向時(shí)，>0；當(dāng)與異向時(shí)，<0。|=|的大小由及的模確定。因此，當(dāng)，確定時(shí)，的符號與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中的幾何意義。 (2) 若=（）,b=（），則（3）如(1)若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，且，則x_（答：4）；（3）設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線（答：2或11）（04年上海卷.理6）已知點(diǎn),若向量與同向, =,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 .證明平行問題通常是取得對應(yīng)的線段來構(gòu)造向量，然后證明向量平行9、向量垂直的充要條件： .特別地。如(1)已知，若，則 （答：）；（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ （答：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是_ （答：）（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如（1）按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)_（答：（，）；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_（答：）證明垂直問題通常是取得對應(yīng)的線段來構(gòu)造向量，然后證明向量垂直10.向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).（3）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為。如若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標(biāo)為_（答：）；為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；的內(nèi)心；（3）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.如平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_（答：直線AB）