2019年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 概率、隨機(jī)變量及其分布細(xì)致講解練 理 新人教A版 第1講　隨機(jī)事件的概率 [最新考綱] 1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別． 2．了解兩個互斥事件的概率加法公式. 知 識 梳 理 1．頻率與概率 (1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率． 2．事件的關(guān)系與運(yùn)算 定義 符號表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等關(guān)系 若B?A且A?B A＝B 并事件(和事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(積事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝? P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1 3.概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)． 辨 析 感 悟 1．對隨機(jī)事件概念的理解 (1)“物體在只受重力的作用下會自由下落”是必然事件．(√) (2)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個實(shí)根”是不可能事件．(√) (3)(xx廣州調(diào)研C項(xiàng))“下周六會下雨”是隨機(jī)事件．(√) 2．對互斥事件與對立事件的理解 (4)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．(√) (5)(xx鄭州調(diào)研B項(xiàng))從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張，“抽取黑桃”與“抽取方塊”是對立事件．() 3．對頻率與概率的理解 (6)(教材練習(xí)改編)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√) (7)(教材習(xí)題改編)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率為.(√) (8)(xx臨沂調(diào)研改編)甲、乙二人下棋，甲獲勝的概率是0.3，甲不輸?shù)母怕蕿?.8，則甲、乙二人下成和棋的概率為0.5.(√) [感悟提升] 兩個區(qū)別　一是“互斥事件”與“對立事件”的區(qū)別：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件，如(5)中為互斥事件． 二是“頻率”與“概率”：頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別，不可混為一談．頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時，頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就可以近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率. 學(xué)生用書第179頁 考點(diǎn)一　事件的關(guān)系與運(yùn)算 【例1】 一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，則(　　)． A．A與B是互斥而非對立事件 B．A與B是對立事件 C．B與C是互斥而非對立事件 D．B與C是對立事件 解析　根據(jù)互斥與對立的定義作答，A∩B＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為必然事件)，故事件B，C是對立事件． 答案　D 規(guī)律方法 對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這些也可類比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時，可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系． 【訓(xùn)練1】 對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一次擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一次擊中飛機(jī)}，其中彼此互斥的事件是________，互為對立事件的是________． 解析　設(shè)I為對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因?yàn)锳∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?.故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件． 答案　A與B，A與C，B與C，B與D　B與D 考點(diǎn)二　隨機(jī)事件的概率與頻率 【例2】 某小型超市發(fā)現(xiàn)每天營業(yè)額Y(單位：萬元)與當(dāng)天進(jìn)超市顧客人數(shù)X有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝700時，Y＝4.6；當(dāng)X每增加10，Y增加0.05.已知近20天X的值為：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700. (1)完成如下的頻率分布表： 近20天每天進(jìn)超市顧客人數(shù)頻率分布表 人數(shù) 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 頻率 (2)假定今天進(jìn)超市顧客人數(shù)與近20天進(jìn)超市顧客人數(shù)的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今天營業(yè)額低于10.6萬元高于4.6萬元的概率． 解　(1)在所給數(shù)據(jù)中，進(jìn)超市顧客人數(shù)為1 100的有3個，為1 600的有7個，為1 900的有3個，為2 200的有2個．故近20天每天進(jìn)超市顧客人數(shù)頻率分布表為 人數(shù) 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 頻率 (2)由已知可得Y＝4.6＋0.05＝X＋1.1， ∵4.6<Y<10.6，∴4.6<＋1.1<10.6， ∴700<X<1 900. ∴P(4.6<Y<10.6)＝P(700<X<1 900)＝P(X＝1 100)＋P(X＝1 400)＋P(X＝1 600)＝＋＋＝＝. 即今天營業(yè)額低于10.6萬元高于4.6萬元的概率為. 規(guī)律方法 利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率． 【訓(xùn)練2】 某市統(tǒng)計(jì)的xx～xx年新生嬰兒數(shù)及其中男嬰數(shù)(單位：人)見下表： 時間 xx年 2011年 xx年 xx年 新生嬰兒數(shù) 21 840 23 070 20 094 19 982 男嬰數(shù) 11 453 12 031 10 297 10 242 (1)試計(jì)算男嬰各年的出生頻率(精確到0.001)； (2)該市男嬰出生的概率約是多少？ 解　(1)xx年男嬰出生的頻率為fn(A)＝＝≈0.524. 同理可求得2011年、xx年和xx年男嬰出生的頻率分別約為0.521,0.512,0.513. (2)由以上計(jì)算可知，各年男嬰出生的頻率在0.51～0.53之間，所以該市男嬰出生的概率約為0.52. 學(xué)生用書第180頁 考點(diǎn)三　互斥事件、對立事件的概率 【例3】 (xx洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下： 排隊(duì)人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少？ (2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少？ 審題路線　(1)分別求等候人數(shù)為0人、1人、2人的概率?根據(jù)互斥事件的概率求和公式可求． (2)思路一：分別求等候人數(shù)為3人、4人、5人及5人以上的概率?根據(jù)互斥事件的概率求和公式可得． 思路二：轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率?根據(jù)P(A)＝1－P()可求． 解　記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)互斥． (1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一　記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二　記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 規(guī)律方法 求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算． 二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便． 【訓(xùn)練3】 一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機(jī)取出1球，求： (1)取出1球是紅球或黑球的概率； (2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率． 解　法一　(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球}， A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷，A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷， A4＝{任取1球?yàn)榫G球}， 則P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(A4)＝. 根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝； (2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 法二　(利用對立事件求概率) (1)由法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為 P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝. (2)因?yàn)锳1∪A2∪A3的對立事件為A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝. 1．對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)． 2．從集合角度理解互斥和對立事件 從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 創(chuàng)新突破11——全面突破概率與其它知識的綜合問題 【典例】 (xx新課標(biāo)全國Ⅱ卷)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位： t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤． (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)．求T的數(shù)學(xué)期望． 突破1：購進(jìn)130 t農(nóng)產(chǎn)品全部售出還是有剩余是解題的關(guān)鍵； 突破2：T為X的函數(shù)是分段函數(shù)； 突破3：由函數(shù)求得利潤T不少于57 000元時的X的范圍； 突破4：根據(jù)直方圖估計(jì)概率； 突破5：找出所有的T的取值，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望． 解　(1)當(dāng)X∈[100,130)時， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 當(dāng)X∈[130,150]時，T＝500130＝65 000. 所以T＝ (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以E(T)＝45 0000.1＋53 0000.2＋61 0000.3＋65 0000.4＝59 400. [反思感悟] (1)本題是一道分段函數(shù)、頻率直方圖、隨機(jī)事件概率的綜合問題，解本題的關(guān)鍵所在是“購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品”是否全部售出．考查了考生的邏輯思維能力、數(shù)據(jù)處理能力． (2)在頻率分布直方圖中，縱軸上的數(shù)據(jù)表示“頻率組距”，不能與“頻率”混淆． (3)可以用頻率來估計(jì)概率的值． 【自主體驗(yàn)】 (xx四川卷)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1,2,3，…，24這24個整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生． (1)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時輸出y的值為i的概率Pi(i＝1,2,3)； (2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄了輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)． 甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分) 運(yùn)行次數(shù)n 輸出y的值為1的頻數(shù) 輸出y的值為2的頻數(shù) 輸出y的值為3的頻數(shù) 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分) 運(yùn)行次數(shù)n 輸出y的值為1的頻數(shù) 輸出y的值為2的頻數(shù) 輸出y的值為3的頻數(shù) 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 當(dāng)n＝2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大． (3)將按程序框圖正確編寫的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解　(1)變量x是在1,2,3，…，24這24個整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能． 當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1＝； 當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故P2＝； 當(dāng)x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3＝. 所以，輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為. (2)當(dāng)n＝2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率如下： 輸出y的值 為1的頻率 輸出y的值為2的頻率 輸出y的值 為3的頻率 甲 乙 比較頻率趨勢與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大． (3)隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C30＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0＋1＋2＋3＝1. 即X的數(shù)學(xué)期望為1. 對應(yīng)學(xué)生用書P365 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．若在同等條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)得到某個事件A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的逐漸增加，有(　　)． A．f(n)與某個常數(shù)相等 B．f(n)與某個常數(shù)的差逐漸減小 C．f(n)與某個常數(shù)差的絕對值逐漸減小 D．f(n)在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定 解析　隨著n的增大，頻率f(n)會在概率附近擺動并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關(guān)系． 答案　D 2．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是(　　)． A．至少有一個紅球與都是紅球 B．至少有一個紅球與都是白球 C．至少有一個紅球與至少有一個白球 D．恰有一個紅球與恰有二個紅球 解析　對于A中的兩個事件不互斥，對于B中兩個事件互斥且對立，對于C中兩個事件不互斥，對于D中的兩個互斥而不對立． 答案　D 3．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175 cm的概率為(　　)． A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 解析　由題意知該同學(xué)的身高超過175 cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3，故選B. 答案　B 4．(xx沈陽模擬)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球通過列舉知共有10個基本事件；所取的3個球中至少有1個白球的反面為“3個球均為紅色”，有1個基本事件，所以所取的3個球中至少有1個白球的概率是1－＝. 答案　D 5．(xx陜西卷)對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品，在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三等品．用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為二等品的概率是(　　)． A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45 解析　由頻率分布直方圖可知，一等品的頻率為0.065＝0.3，三等品的頻率為0.025＋0.035＝0.25，所以二等品的頻率為1－(0.3＋0.25)＝0.45.用頻率估計(jì)概率可得其為二等品的概率為0.45. 答案　D 二、填空題 6．(xx鄭州模擬)拋擲一粒骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率為________． 解析　因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案　 7．從一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則概率P(A∪B)＝________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)． 解析　∵P(A)＝，P(B)＝， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝. 答案　 8．(xx成都模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品．若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03，丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為________． 解析　記“生產(chǎn)中出現(xiàn)甲級品、乙級品、丙級品”分別為事件A，B，C.則A，B，C彼此互斥，由題意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案　0.96 三、解答題 9．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，黑球或黃球的概率是，綠球或黃球的概率也是，求從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是多少？ 解　從袋中任取一球，記事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為A，B，C，D，則事件A，B，C，D彼此互斥，所以有 P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝， P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝. 故從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是，，. 10．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (1)分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； (2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y＝從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．(以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率)． 解　(1)由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3. 由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42. (2)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90,94)，[94,102)，[102,110]的頻率分別為0.04，0.54，0.42，因此P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42， 即X的分布列為 X －2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝－20.04＋20.54＋40.42＝2.68. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．(xx大連模擬)某城市xx年的空氣質(zhì)量狀況如下表： 污染指數(shù)T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市xx年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為(　　)． A. B. C. D. 解析　由題意可知xx年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為P＝＋＋＝. 答案　A 2．(xx漳州調(diào)研)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)． A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡 C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡 解析　至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件． 答案　A 二、填空題 3．某中學(xué)部分學(xué)生參加全國高中數(shù)學(xué)競賽取得了優(yōu)異成績，指導(dǎo)老師統(tǒng)計(jì)了所有參賽同學(xué)的成績(成績都為整數(shù)，試題滿分120分)，并且繪制了條形統(tǒng)計(jì)圖(如下圖所示)，則該中學(xué)參加本次數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)為________，如果90分以上(含90分)獲獎，那么獲獎的概率大約是________． 解析　由題圖可知，參加本次競賽的人數(shù)為4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人數(shù)為7＋5＋2＝14，所以獲獎的頻率為＝0.437 5，即本次競賽獲獎的概率大約是0.437 5. 答案　32　0.437 5 三、解答題 4.如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查， 調(diào)查結(jié)果如下： 所用時間/分鐘 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 選擇L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率； (2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率； (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑． 解　(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， ∴用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44. (2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為： 所用時間/分鐘 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站． 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1； 同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P(B2)＞P(B1)， ∴乙應(yīng)選擇L2. 學(xué)生用書第182頁 第2講　古典概型 [最新考綱] 1．理解古典概型及其概率計(jì)算公式． 2．會計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 知 識 梳 理 1．基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． 3．古典概型的概率公式 P(A)＝. 辨 析 感 悟 1．古典概型的意義 (1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．() (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件．() (3)(教材習(xí)題改編)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為.(√) 2．古典概型的計(jì)算 (4)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，所有的基本事件構(gòu)成集合I，則事件A的概率為.(√) (5)從邊長為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中，隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)間的距離為的概率是0.2.() (6)(xx新課標(biāo)全國Ⅱ卷改編)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2.(√) [感悟提升] 1．一個試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個特點(diǎn)——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點(diǎn)的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定義． 2．從集合的角度去看待概率，在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個集合I，基本事件的個數(shù)n就是集合I的元素個數(shù)，事件A是集合I的一個包含m個元素的子集，故P(A)＝＝，如(4)；根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算，如(5)、(6)． 考點(diǎn)一　簡單古典概型的概率 【例1】 現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答．試求： (1)所取的2道題都是甲類題的概率； (2)所取的2道題不是同一類題的概率． 解　從6道題中任取2道有n＝C＝15(種)取法． (1)記“所取的2道題都是甲類題”為事件A，則A發(fā)生共有m＝C＝6種結(jié)果． ∴所求事件概率P(A)＝＝＝. (2)記“所取的2道題不是同一類題”事件為B，事件B包含的基本事件有CC＝8(種)，則事件B的概率為P(B)＝. 規(guī)律方法 有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)． (1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用. 學(xué)生用書第183頁 【訓(xùn)練1】 袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號分別為1,2. (1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩種卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率． 解　(1)從5張卡片中任取兩張，共有n＝C＝10種方法． 記“兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4”為事件A，則A包含基本事件m＝CC－1＝3個． 由古典概型概率公式，P(A)＝＝. (2)從6張卡片中任取兩張，共有n＝C＝15個基本事件， 記“兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4”為事件B，則事件B包含基本事件總數(shù)m＝C(C＋C)＋(CC－1)＝8， ∴所求事件的概率P(B)＝＝. 考點(diǎn)二　復(fù)雜的古典概型的概率 【例2】 將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，求： (1)兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率； (2)以第一次向上點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝15的外部或圓上的概率． 解　由題意，先后擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)(x，y)共有n＝66＝36種等可能結(jié)果，為古典概型． (1)記“兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)”為事件B，則事件B與“兩數(shù)均為偶數(shù)”為對立事件，記為. ∵事件包含的基本事件數(shù)m＝CC＝9. ∴P()＝＝，則P(B)＝1－P()＝， 因此，兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率為. (2)點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝15的內(nèi)部記為事件C，則表示“點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝15上或圓的外部”． 又事件C包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8個． ∴P(C)＝＝，從而P()＝1－P(C)＝1－＝. ∴點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝15上或圓外部的概率為. 規(guī)律方法 (1)一是本題易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一個基本事件，造成計(jì)算錯誤．二是當(dāng)所求事件情況較復(fù)雜時，一般要分類計(jì)算，即用互斥事件的概率加法公式或考慮用對立事件求解． (2)當(dāng)所求事件含有“至少”“至多”或分類情況較多時，通?？紤]用對立事件的概率公式P(A)＝1－P()求解． 【訓(xùn)練2】 某小組共有A，B，C，D，E五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體重指標(biāo)(單位：千克/米2)如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 體重指標(biāo) 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率； (2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的概率． 解　(1)從身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6個． 由于每個人被選到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 選到的2人身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3個． 因此選到的2人身高都在1.78以下的概率為 P＝＝. (2)從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10個． 由于每個人被選到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 選到的2人身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3個． 因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的概率為P＝. 考點(diǎn)三　古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合問題 【例3】 (xx廣東卷)某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)． (1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值； (2)日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？ (3)從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率． 審題路線　(1)閱讀莖葉圖得出樣本數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)公式計(jì)算出樣本均值．(2)根據(jù)樣本算出優(yōu)秀工人的比例，再估計(jì)12人中優(yōu)秀工人的個數(shù)．(3)用組合數(shù)公式求出所有可能的組合的個數(shù)和符合條件的組合的個數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算． 解　(1)由莖葉圖可知：樣本數(shù)據(jù)為17,19,20,21,25,30.則＝(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22， 故樣本均值為22. (2)日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人有2名， 故優(yōu)秀工人的頻率為＝. 該車間12名工人中優(yōu)秀工人大約有12＝4(名)， 故該車間約有4名優(yōu)秀工人． (3)記“恰有1名優(yōu)秀工人”為事件A，其包含的基本事件總數(shù)為CC＝32，所有基本事件的總數(shù)為C＝66. 由古典概型概率公式，得P(A)＝＝. 所以恰有1名優(yōu)秀工人的概率為. 學(xué)生用書第184頁 規(guī)律方法 (1)本題求解的關(guān)鍵在于從莖葉圖準(zhǔn)確提煉數(shù)據(jù)信息，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與概率的正確計(jì)算． (2)一是題目考查莖葉圖、樣本均值、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查樣本估計(jì)總體的思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力．二是求解時要設(shè)出所求事件，進(jìn)行必要的說明，規(guī)范表達(dá)，這 都是得分的重點(diǎn)． 【訓(xùn)練3】 從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個，其重量(單位：克)的頻數(shù)分布表如下： 分組(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 頻數(shù)(個) 5 10 20 15 (1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在[90,95)的頻率； (2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個，其中重量在[80,85)的有幾個？ (3)在(2)中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1個的概率． 解　(1)由題意知蘋果的樣本總數(shù)n＝50，在[90,95)的頻數(shù)是20，∴蘋果的重量在[90,95)的頻率是＝0.4. (2)設(shè)從重量在[80,85)的蘋果中抽取x個，則從重量在[95,100)的蘋果中抽取(4－x)個． ∵表格中[80,85)，[95,100)的頻數(shù)分別是5,15， ∴5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1. 即重量在[80,85)的有1個． (3)在(2)中抽出的4個蘋果中，重量在[80,85)中有1個，記為a，重量在[95,100)有3個，記為b1，b2，b3. 任取2個，有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6種不同方法，記基本事件總數(shù)為n，則n＝6. 其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1個的事件記為A，事件A包含的基本事件為ab1，ab2，ab3，共3個， 由古典概型的概率計(jì)算公式得P(A)＝＝. 1．古典概型計(jì)算三步曲 第一，本試驗(yàn)是否是等可能的；第二，本試驗(yàn)的基本事件有多少個；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少個． 2．確定基本事件的方法 (1)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時，可列舉計(jì)算；(2)利用計(jì)數(shù)原理、排列與組合求基本事件的個數(shù)． 3．較復(fù)雜事件的概率可靈活運(yùn)用互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式簡化運(yùn)算． 易錯辨析10——基本事件計(jì)數(shù)不正確致誤 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【典例】 (xx江西卷，文)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋．游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6(如圖所示)這6個點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋． (1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值； (2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． [錯解]　(1)數(shù)量積X的所有可能取值為－1,0,1. (2)X＝0時，有，，共2種情況； X＝1時，有，，，，共4種情況； X＝－1時，有，，共2種情況， ∴所有基本事件總數(shù)n＝2＋4＋2＝8. 因此，小波去下棋的概率p1＝＝， 小波唱歌的概率p2＝＝，從而不去唱歌的概率p＝1－p2＝. [錯因]　(1)沒能準(zhǔn)確計(jì)算出X的所有可能值，由數(shù)量積的運(yùn)算知X可能?。?，－1,0,1，忽視＝－2. (2)基本事件列舉不全面，思維定勢，如X＝－1，盲目認(rèn)為向量共線，遺漏向量夾角為π的4種情形． [正解]　(1)X的所有可能取值為－2，－1,0,1. (2)數(shù)量積為－2的有，共1種， 數(shù)量積為－1的有，，，，，，共6種． 數(shù)量積為0的有，，，，共4種情形． 數(shù)量積為1的有，，，，共4種情形． 故所有可能的情況共有15種． 所以小波去下棋的概率為p1＝； 因?yàn)槿コ璧母怕蕿閜2＝， 所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－＝. [防范措施]　(1)準(zhǔn)確理解題意，向量數(shù)量積由向量的模、夾角共同確定，要考慮各種情形，注意分類求解． (2)計(jì)算基本事件總數(shù)時，畫出幾何圖形、樹形圖、分類列舉法、坐標(biāo)網(wǎng)格法是克服此類錯誤的有效手段． 【自主體驗(yàn)】 1．(xx安徽卷)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會均等，則甲或乙被錄用的概率為(　　)． A. B. C. D. 解析　設(shè)事件“甲或乙被錄用”為事件A，則表示甲、乙都沒被錄用，由古典概型，P()＝＝，∴P(A)＝1－＝. 答案　D 2．(xx江蘇卷)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為________． 解析　因1≤m≤7,1≤n≤9且m，n∈N*，∴m為正奇數(shù)有4種情形，n為正奇數(shù)有5種，因此所求事件的概率P＝＝. 答案　 對應(yīng)學(xué)生用書P367 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．一個壇子里有編號為1,2，…，12的12個大小相同的球，其中1到6號球是紅球，其余的是黑球，若從中任取兩個球，則取到的都是紅球，且至少有1個球的號碼是偶數(shù)的概率為(　　)． A. B. C. D. 解析　基本事件總數(shù)為C，事件包含的基本事件數(shù)為C－C，故所求的概率為P＝＝. 答案　D 2．一名同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x＋y＝8上的概率為(　　)． A. B. C. D. 解析　依題意，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共66＝36個，其中落在直線2x＋y＝8上的點(diǎn)有(1,6)，(2,4)，(3,2)，共3個，故所求事件的概率P＝＝. 答案　B 3．(xx杭州模擬)從個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　(1)當(dāng)個位為奇數(shù)時，有54＝20(個)符合條件的兩位數(shù)． (2)當(dāng)個位為偶數(shù)時，有55＝25(個)符合條件的兩位數(shù)． 因此共有20＋25＝45(個)符合條件的兩位數(shù)，其中個位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個，所以所求概率為P＝＝. 答案　D 4．甲、乙兩人一起到阿里山參觀旅游，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號景點(diǎn)中任選4個進(jìn)行游覽，每個景點(diǎn)參觀1小時，則最后1小時他們同在一個景點(diǎn)的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　甲、乙兩人任選4個景點(diǎn)游覽，共有AA種游覽方案，又甲、乙最后1小時在同一景點(diǎn)有CAA種可能．∴所求事件的概率P＝＝. 答案　D 5．(xx濟(jì)南質(zhì)檢)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽．若每人都選擇其中兩個項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　三位同學(xué)每人選擇三項(xiàng)中的兩項(xiàng)有CCC＝333＝27種選法，其中有且僅有兩人所選項(xiàng)目完全相同的有CCC＝332＝18(種)選法．∴所求概率為P＝＝. 答案　A 二、填空題 6．盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機(jī)取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于________． 解析　從5個球中任取2個球有C＝10(種)取法，2個球顏色不同的取法有CC＝6(種)．故所求事件的概率P＝＝. 答案　 7．在集合{x|x＝，n＝1,2,3，…，10}中任取一個元素，所取元素恰好滿足方程cos x＝的概率是________． 解析　基本事件總數(shù)為10，滿足方程cos x＝的基本事件數(shù)為2，故所求概率為P＝＝. 答案　 8．某同學(xué)同時擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則雙曲線－＝1的離心率e>的概率是________． 解析　由e＝ >，得b>2a，當(dāng)a＝1時，b＝3,4,5,6四種情況；當(dāng)a＝2時，b＝5,6兩種情況，總共有6種情況．又同時擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)(a，b)共有36種結(jié)果．∴所求事件的概率P＝＝. 答案　 三、解答題 9．甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，求選出的2名教師性別相同的概率； (2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名，求選出的2名老師來自同一學(xué)校的概率． 解　(1)從甲、乙兩校報(bào)名的教師中各選1名，共有n＝CC＝9種選法． 記“2名教師性別相同”為事件A，則事件A包含基本事件總數(shù)m＝C1＋C1＝4，∴P(A)＝＝. (2)從報(bào)名的6人中任選2名，有n＝C＝15種選法． 記“選出的2名老師來自同一學(xué)?！睘槭录﨎，則事件B包含基本事件總數(shù)m＝2C＝6. ∴選出2名教師來自同一學(xué)校的概率P(B)＝＝. 10．(xx鄭州質(zhì)檢)某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查． (1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目； (2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽到小學(xué)、中學(xué)各一所的概率． 解　(1)由分層抽樣定義知， 從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6＝3； 從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6＝2； 從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6＝1. 故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1. (2)記“抽到小學(xué)、中學(xué)各一所”為事件A， 則事件A共有基本事件m＝CC＝6(種)抽法， 又從6所學(xué)校任抽取2所有n＝C＝15種抽法． 因此，所求事件的概率P＝＝＝. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ.則θ∈的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　∵cos θ＝，θ∈， ∴m≥n滿足條件，m＝n的概率為＝. m>n的概率為＝. ∴θ∈的概率為＋＝. 答案　C 2．(xx合肥模擬)有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本，若將其隨機(jī)地抽取并排擺放在書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　第一步先排語文書有A＝2(種)排法．第二步排物理書，分成兩類．一類是物理書放在語文書之間，有1種排法，這時數(shù)學(xué)書可從4個空中選兩個進(jìn)行排列，有A＝12(種)排法；一類是物理書不放在語文書之間有2種排法，再選一本數(shù)學(xué)書放在語文書之間有2種排法，另一本有3種排法．因此同一科目的書都不相鄰共有2(12＋223)＝48(種)排法，而5本書全排列共有A＝120(種)， 所以同一科目的書都不相鄰的概率是＝. 答案　B 二、填空題 3．某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為________(用數(shù)字作答)． 解析　法一　6節(jié)課的全排列為A種，相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法是：先排三節(jié)文化課，再利用插空法排藝術(shù)課，即為(ACAA＋2AA)種，由古典概型概率公式得P(A)＝＝. 法二　6節(jié)課的全排列為A種，先排三節(jié)藝術(shù)課有A種不同方法，同時產(chǎn)生四個空，再利用插空法排文化課共有A種不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)＝＝. 答案　 三、解答題 4．現(xiàn)有8名xx年倫敦奧運(yùn)會志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉俄語，C1，C2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組． (1)求A1被選中的概率； (2)求B1和C1不全被選中的概率． 解　(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件共有CCC＝18個， 由于每一個基本事件被抽取的機(jī)會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 記“A1恰被選中”為事件M，則M發(fā)生共有CC＝6個基本事件． 因而P(M)＝＝. (2)用N表示“B1，C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1，C1全被選中”這一事件，由于包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3個結(jié)果，事件有3個基本事件組成，所以P()＝＝，由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝. 學(xué)生用書第185頁 第3講　幾何概型 [最新考綱] 1．了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率． 2．了解幾何概型的意義. 知 識 梳 理 幾何概型 (1)定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型． (2)特點(diǎn)：①無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個； ②等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． (3)公式： P(A)＝. 辨 析 感 悟 1．對幾何概型的理解 (1)(教材習(xí)題改編)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會相等．(√) (2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(√) (3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．() 2．幾何概型的計(jì)算 (4)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P＝.() (5)(xx福建卷改編)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1＜0”發(fā)生的概率為.(√) [感悟提升] 1．一個區(qū)別　“幾何概型”與“古典概型”的區(qū)別：基本事件的個數(shù)前者是無限的，后者是有限的． 2．一點(diǎn)提醒　幾何概型的試驗(yàn)中，事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)，如(3). 學(xué)生用書第186頁 考點(diǎn)一　與長度、角度有關(guān)的幾何概型 【例1】 (1)(xx湖北卷)在區(qū)間[－2,4