2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.2 雙曲線的幾何性質(zhì)教案 蘇教版選修2-1教學(xué)目標(biāo)1了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率等。2能用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用。難點(diǎn)：雙曲線的漸近線。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)提問引入新課1橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？2雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)二、類比聯(lián)想得出性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn))引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格三、漸近線雙曲線的范圍在以直線和為邊界的平面區(qū)域內(nèi)，那么從x、y的變化趨勢(shì)看，雙曲線與直線具有怎樣的關(guān)系呢？根據(jù)對(duì)稱性，可以先研究雙曲線在第一象限的部分與直線的關(guān)系。雙曲線在第一象限的部分可寫成：設(shè)是它上面的點(diǎn)，是直線上與有相同的橫坐標(biāo)的點(diǎn)，則設(shè)是點(diǎn)M到直線的距離，則有。當(dāng)x逐漸增大時(shí)，逐漸減小，x無限增大，接近于零，也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況我們把兩條直線叫做雙曲線的漸近線?，F(xiàn)在來看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對(duì)調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字母對(duì)調(diào)而得，所以，雙曲線的漸近線的方程是即。定義：直線叫做雙曲線的漸近線；直線叫做雙曲線的漸近線。這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精確地畫出雙曲線。例如：畫雙曲線，先作漸近線，再描幾個(gè)點(diǎn)，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線。四、離心率由于正確認(rèn)識(shí)了漸近線的概念，對(duì)于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對(duì)雙曲線的形狀的影響：1雙曲線的焦距與實(shí)軸的比叫做雙曲線的離心率，且。2由于，所以越大，也越大，即漸近線的斜率絕對(duì)值越大。這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊。這時(shí)，指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變五、例題講解例1求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程分析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點(diǎn)在y軸上的漸近線是例2： 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，焦距為16，離心率為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例3：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率分析：已知雙曲線的漸近線求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：方法一按焦點(diǎn)位置分別設(shè)方程求解；方法二可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為 求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程 例4 ：如圖，設(shè)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡方程分析：若設(shè)點(diǎn)，則，到直線：的距離，則容易得點(diǎn)M的軌跡方程例5：雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的方程（各長(zhǎng)度量精確到1m）六、課堂練習(xí)1已知雙曲線方程如下，求它們的兩個(gè)焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程； 2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：實(shí)軸的長(zhǎng)是10，虛軸長(zhǎng)是8，焦點(diǎn)在x軸上； 焦距是10，虛軸長(zhǎng)是8，焦點(diǎn)在y軸上；離心率，經(jīng)過點(diǎn)； 兩條漸近線的方程是，經(jīng)過點(diǎn)。3求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，而以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程。