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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.9最小二乘估計(jì)教案 北師大版必修3 教學(xué)目標(biāo)：1、掌握最小二乘法的思想 2、能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程 教學(xué)重點(diǎn)：最小二乘法的思想 教學(xué)難點(diǎn)：線性回歸方程系數(shù)公式的應(yīng)用 教學(xué)過(guò)程 回顧：上節(jié)課我們討論了人的身高與右手一拃長(zhǎng)之間的線性關(guān)系，用了很多種方法來(lái)刻畫這種線性關(guān)系，但是這些方法都缺少數(shù)學(xué)思想依據(jù)。 問(wèn)題1、用什么樣的線性關(guān)系刻畫會(huì)更好一些？ 想法：保證這條直線與所有點(diǎn)都近（也就是距離最小）。 最小二乘法就是基于這種想法。 問(wèn)題2、用什么樣的方法刻畫點(diǎn)與直線的距離會(huì)方便有效？ 設(shè)直線方程為y=a+bx，樣本點(diǎn)A（xi，yi） 方法一、點(diǎn)到直線的距離公式 方法二、 顯然方法二能有效地表示點(diǎn)A與直線y=a+bx的距離，而且比方法一更方便計(jì)算，所以我們用它來(lái)表示二者之間的接近程度。 問(wèn)題3、怎樣刻畫多個(gè)點(diǎn)與直線的接近程度？ 例如有5個(gè)樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）與直線y=a+bx的接近程度： 從而我們可以推廣到n個(gè)樣本點(diǎn)：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）與直線y=a+bx的接近程度： 使得上式達(dá)到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法 問(wèn)題4、怎樣使達(dá)到最小值？ 先來(lái)討論3個(gè)樣本點(diǎn)的情況 設(shè)有3個(gè)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個(gè)點(diǎn)的接近程度由下面表達(dá)式刻畫： …………………① 整理成為關(guān)于a的一元二次函數(shù)，如下所示： 利用配方法可得 從而當(dāng)時(shí)，使得函數(shù)達(dá)到最小值。 將代入①式，整理成為關(guān)于b的一元二次函數(shù)， 同樣使用配方法可以得到，當(dāng) 時(shí)，使得函數(shù)達(dá)到最小值。 從而得到直線y=a+bx的系數(shù)a，b，且稱直線y=a+bx為這3個(gè)樣本點(diǎn)的線性回歸方程。 用同樣的方法我們可以推導(dǎo)出n個(gè)點(diǎn)的線性回歸方程的系數(shù)： 其中 由我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過(guò)。 例題與練習(xí) 例1 在上一節(jié)練習(xí)中，從散點(diǎn)圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)（y）與當(dāng)天氣溫（x）之間是線性相關(guān)的。數(shù)據(jù)如下表 氣溫（xi）／oC 26 18 13 10 4 -1 杯數(shù)（yi）／杯 20 24 34 38 50 64 （１） 試用最小二乘法求出線性回歸方程。 （２） 如果某天的氣溫是－3 oC，請(qǐng)預(yù)測(cè)可能會(huì)賣出熱茶多少杯。 解：（1）先畫出其散點(diǎn)圖 i xi yi xi2 xiyi 1 26 20 676 520 2 18 24 324 432 3 13 34 169 442 4 10 38 100 380 5 4 50 16 200 6 －1 64 1 －64 合計(jì) 70 230 1286 1910 可以求得 則線性回歸方程為 y =57.557－1.648x （2）當(dāng)某天的氣溫是－3 oC時(shí)，賣出熱茶的杯數(shù)估計(jì)為： 練習(xí)1 已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表，則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經(jīng)過(guò)點(diǎn) ( D ) x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 （A）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4） 練習(xí)2 某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表： 商店名稱 A B C D E 銷售額（x）/千萬(wàn)元 3 5 6 7 9 利潤(rùn)額（y）/百萬(wàn)元 2 3 3 4 5 （１） 畫出銷售額和利潤(rùn)額的散點(diǎn)圖； （２） 若銷售額和利潤(rùn)額具有相關(guān)關(guān)系，計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程。 解：（1） （2）數(shù)據(jù)如下表： i xi yi xi2 xiyi 1 3 2 9 6 2 5 3 25 15 3 6 3 36 18 4 7 4 49 28 5 9 5 81 45 合計(jì) 30 17 200 112 可以求得b=0.5，a=0.4 線性回歸方程為： 小結(jié) 1、 最小二乘法的思想 2、 線性回歸方程的系數(shù)： 作業(yè)：P60 習(xí)題1－8 第1題