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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.1 變化的快慢與變化率教案 北師大選修1-1 教學(xué)過程： 一、 引入： 1、 情境設(shè)置：（圖片）巍峨的珠穆朗瑪峰、攀登珠峰的隊(duì)員兩幅陡峭程度不同的圖片 2、 問題：當(dāng)陡峭程度不同時(shí)，登山隊(duì)員的感受是不一樣的，如何用數(shù)學(xué)來反映山勢(shì)的 陡峭程度，給我們的登山運(yùn)動(dòng)員一些有益的技術(shù)參考呢？ 3、 引入：讓我們用函數(shù)變化的觀點(diǎn)來研討這個(gè)問題。 二、 例舉分析： （一）登山問題 例：如圖，是一座山的剖面示意圖:A是登山者的出發(fā)點(diǎn),H是山頂,登山路線用y=f(x)表示 y H F D D1 C B A O x B A( O y x 問題：當(dāng)自變量x表示登山者的水平位置，函數(shù)值y表示登山者所在高度時(shí)，陡峭程度應(yīng)怎樣表示？ 分析：1、選取平直山路AB放大研究 若 自變量x的改變量： 函數(shù)值y的改變量： 直線AB的斜率： 說明：當(dāng)?shù)巧秸咭苿?dòng)的水平距離變化量一定（為定值）時(shí)，垂直距離變化量（）越大，則這段山路越陡峭； 2、選取彎曲山路CD放大研究 方法：可將其分成若干小段進(jìn)行分析：如CD1的陡峭程度可用直線CD1的斜率表示。（圖略） 結(jié)論：函數(shù)值變化量（）與自變量變化量的比值反映了山坡的陡峭程度。各段的不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在這段山路上的平均變化量不同。當(dāng)越大，說明山坡高度的平均變化量越大，所以山坡就越陡；當(dāng)越小，說明山坡高度的平均變化量小，所以山坡就越緩。 所以，——高度的平均變化成為度量山的陡峭程度的量，叫做函數(shù)f(x)的平均變化率。 三、 函數(shù)的平均變化率與應(yīng)用。 （一） 定義：已知函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義， 令； 。 則當(dāng)時(shí)，比值 叫做函數(shù)在到之間的平均變化率。 （二）函數(shù)平均變化率的應(yīng)用 例1． （1）求在到之間的平均變化率。 解：當(dāng)自變量從變到時(shí)，函數(shù)的平均變化率為 。 當(dāng)取定值，取不同數(shù)值時(shí)，該函數(shù)的平均變化率也不一樣?？梢杂蓤D看出變化。 （2）求在到之間的平均變化率。 解：當(dāng)自變量從變到時(shí)，函數(shù)的平均變化率為 例2. 某市2004年4月20日最高氣溫為33.4℃，而此前的兩天，4月19日和4月18日最高氣溫分別為24.4℃和18.6℃，短短兩天時(shí)間，氣溫“陡增”14.8℃，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進(jìn)行比較，我們發(fā)現(xiàn)兩者溫差為 15.1℃，甚至超過了14.8℃．而人們卻不會(huì)發(fā)出上述感嘆。這是什么原因呢？原來前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”。 2022 30 34 2 10 20 30 A(1, 3.5) B(32, 18.6) 0 C(34, 33.4) T(℃) t(天) 2 10 問題：當(dāng)自變量t表示由3月18日開始計(jì)算的天數(shù)，T表示氣溫，記函數(shù)表示溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)，那么氣溫變化的快慢情況應(yīng)當(dāng)怎樣表示？ 分析：如圖：1、選擇該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進(jìn)行比較，，由此可知； 2、選擇該市2004年4月18日最高氣溫18.60C與4月20日33.40C進(jìn)行比較， ，由此可知 結(jié)論：函數(shù)值的平均變化率反映了溫度變化的劇烈程度。 各段的不同反映了溫度變化的劇烈程度不同，也就是氣溫在這段時(shí)間內(nèi)的平均變化量不同。當(dāng)越大，說明氣溫的平均變化量越大，所以升溫就越快；當(dāng)越小，說明氣溫的平均變化量小，所以升溫就越緩。 （三）課堂練習(xí)： 甲乙二人跑步路程與時(shí)間關(guān)系以及百米賽跑路程和時(shí)間的關(guān)系分別如圖 （1）（2）所示， 試問：（1）甲乙二人哪一個(gè)跑得快？ （2）甲乙二人百米賽跑，快到終點(diǎn)時(shí)，誰跑得比較快 甲3 乙 O (1) 路程 t y O 甲 乙 t0 t 100m (2) (1) 四、 瞬時(shí)變化率以及應(yīng)用: 例3：已知函數(shù)，分別計(jì)算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。 解：函數(shù)的平均變化率計(jì)算公式為： 變化區(qū)間 自變量改變量 平均變化率 （1，1.1） 0.1 2.1 （1，1.01） 0.01 2.01 (1,1.001) 0.001 2.001 (1,1.0001) 0.0001 2.0001 … … … 　　結(jié)論：當(dāng)時(shí)間間隔越來越?。ㄚ呌冢埃r(shí)，平均變化率趨于常數(shù)２ 　例4：一個(gè)小球自由下落，它在下落3秒時(shí)的速度是多少？ 　　　解：自由落體的運(yùn)動(dòng)公式是（其中g(shù)是重力加速度）. 當(dāng) 時(shí)間增量很小時(shí)，從3秒到（3＋）秒這段時(shí)間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大.　 因此，可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落3秒時(shí)的速度. 從3秒到（3＋）秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量： 從而，. 結(jié)論：越小，越接近29.4米/秒 當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于29.4米/秒. （一） 定義： 設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變時(shí)， 函數(shù)值相應(yīng)地改變 如果當(dāng)時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)， 則數(shù)稱為函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率。 （二） 函數(shù)瞬時(shí)變化率的應(yīng)用： 例5：設(shè)一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程是：，其中是初速度，時(shí)間單位為ｓ，求：ｔ＝２ｓ時(shí)的瞬時(shí)速度（函數(shù)s(t)的瞬時(shí)變化率）。 五、 課堂小結(jié)： 函數(shù)的瞬時(shí)變化率 函數(shù)的平均變化率 趨近于０ 六、布置作業(yè)：