2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.4第1課時(shí) 基本不等式練習(xí) 新人教A版必修5一、選擇題1函數(shù)f(x)的最大值為()A BC D1答案B解析令t(t0)，則xt2，f(x).當(dāng)t0時(shí)，f(x)0；當(dāng)t>0時(shí)，f(x).t2，0<.f(x)的最大值為.2若a0，b0，且ab2，則()Aab BabCa2b22 Da2b23答案C解析a0，b0，且ab2，b2a(0a2)，aba(2a)a22a(a1)21.0a2，0ab1，故A、B錯(cuò)誤；a2b2a2(2a)22a24a42(a1)22.0a2，2a2b24.故選C3已知x>0，y>0,2x3y6，則xy的最大值為()A B3C D1答案C解析x>0，y>0,2x3y6，xy(2x3y)()2()2，當(dāng)且僅當(dāng)2x3y，即x，y1時(shí)，xy取到最大值.故選C4下列函數(shù)中，最小值為2的是()AyBylgx(1<x<10)Cy3x3x(xR)Dysinx(0<x<)答案C解析利用基本不等式，注意“一正、二定、三相等”.2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x221時(shí)，等號(hào)成立，但x222>1顯然不成立，A不正確；lgx2，當(dāng)且僅當(dāng)lgx，即x10或時(shí)，等號(hào)成立，而1<x<10，故等號(hào)不成立，B不正確；3x3x2，當(dāng)且僅當(dāng)3x3x，即x0時(shí)取等號(hào)，C正確；sinx2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx1時(shí)取等號(hào)，而0<x<，等號(hào)不成立，D不正確5設(shè)a0，b0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為()A8 B4C1 D答案B解析根據(jù)題意得3a3b3，ab1，24.當(dāng)ab時(shí)“”成立故選B6已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差數(shù)列，x、c、d、y成等比數(shù)列，則的最小值是()A0 B1C2 D4答案D解析由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)得2224.當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)，所求最小值為4.二、填空題7(xx蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知正數(shù)x，y滿足x2y2，則的最小值為_(kāi)答案9解析因?yàn)閤，y為正數(shù)，且x2y2，所以()(y)5259，當(dāng)且僅當(dāng)x4y時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.易錯(cuò)分析本題易出現(xiàn)以下錯(cuò)解：由x2y22，解得0<xy，2，所以4，所以的最小值為4.錯(cuò)誤的根源是沒(méi)有檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，事實(shí)上，x2y8y對(duì)正數(shù)x，y是不可能成立的8已知t>0，則函數(shù)y的最小值是_答案2解析t>0，yt4242，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t1時(shí)，等號(hào)成立三、解答題9已知x>0，y>0.(1)若2x5y20，求ulgxlgy的最大值；(2)若lgxlgy2，求5x2y的最小值解析(1)x>0，y>0，由基本不等式，得2x5y22.又2x5y20，202，xy10，當(dāng)且僅當(dāng)2x5y時(shí)，等號(hào)成立由，解得.當(dāng)x5，y2時(shí)，xy有最大值10.這樣ulgxlgylg(xy)lg101.當(dāng)x5，y2時(shí)，umax1.(2)由已知，得xy100，5x2y2220.當(dāng)且僅當(dāng)5x2y，即當(dāng)x2，y5時(shí)，等號(hào)成立所以5x2y的最小值為20.10已知直角三角形兩條直角邊的和等于10 cm，求面積最大時(shí)斜邊的長(zhǎng)解析設(shè)一條直角邊長(zhǎng)為x cm，(0<x<10)，則另一條直角邊長(zhǎng)為(10x)cm，面積sx(10x)2(cm2)等號(hào)在x10x即x5時(shí)成立，面積最大時(shí)斜邊長(zhǎng)L5(cm)一、選擇題11設(shè)a、bR，且ab>0.則下列不等式中，恒成立的是()Aa2b2>2ab Bab2C> D2答案D解析ab時(shí)，A不成立；a、b<0時(shí)，B、C都不成立，故選D12若0<a<1,0<b<1，且ab，則ab,2，2ab，a2b2中最大的一個(gè)是()Aa2b2 B2C2ab Dab答案D解析解法一：0<a<1,0<b<1，a2b2>2ab，ab>2，a>a2，b>b2，ab>a2b2，故選D解法二：取a，b，則a2b2，2，2ab，ab，顯然最大13某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長(zhǎng)率為a, 第三年的增長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則()Ax BxCx Dx答案B解析這兩年的平均增長(zhǎng)率為xA(1x)2A(1a)(1b)，(1x)2(1a)(1b)，由題設(shè)a0，b0.1x1，x，等號(hào)在1a1b即ab時(shí)成立選B14a(x1,2)，b(4，y)(x、y為正數(shù))，若ab，則xy的最大值是()A BC1 D1答案A解析由已知得4(x1)2y0，即2xy2.xyx(22x)()2，等號(hào)成立時(shí)2x22x，即x，y1，xy的最大值為.二、填空題15已知2(x>0，y>0)，則xy的最小值是_答案6解析2，22，xy6.16已知x，則函數(shù)y4x2的最大值是_答案1解析x，4x50，y4x24x533321，等號(hào)在54x，即x1時(shí)成立三、解答題17已知：a>0，b>0，ab1，求(a)2(b)2的最小值易錯(cuò)分析本題常犯錯(cuò)誤是兩次利用基本不等式，條件不能同時(shí)成立解析(a)2(b)2a2b24(a2b2)(1)4(12ab)(1)4，a>0，b>0，ab1，ab()2，12ab1，且16,117.原式174(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)，(a)2(b)2的最小值是.警示利用基本不等式求最值時(shí)，無(wú)論怎樣變形，均需滿足“一正、二定、三相等”的條件解題時(shí)，應(yīng)盡量避免多次應(yīng)用基本不等式，如連續(xù)應(yīng)用了基本不等式，應(yīng)特別注意檢查等號(hào)是否能同時(shí)成立18某商場(chǎng)預(yù)計(jì)全年分批購(gòu)入每臺(tái)2 000元的電視機(jī)共3 600臺(tái)每批都購(gòu)入x臺(tái)(x是自然數(shù))且每批均需付運(yùn)費(fèi)400元貯存購(gòu)入的電視機(jī)全年所需付的保管費(fèi)與每批購(gòu)入電視機(jī)的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比若每批購(gòu)入400臺(tái)，則全年需用去運(yùn)輸和保管總費(fèi)用43 600元現(xiàn)在全年只有24 000元資金可以支付這筆費(fèi)用，請(qǐng)問(wèn)，能否恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨數(shù)量，使資金夠用？寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由解析設(shè)總費(fèi)用為y元(y0)，且將題中正比例函數(shù)的比例系數(shù)設(shè)為k，則y400k(2 000x)，依條件，當(dāng)x400時(shí)，y43 600，可得k5%，故有y100x224 000(元)當(dāng)且僅當(dāng)100x，即x120時(shí)取等號(hào)所以只需每批購(gòu)入120臺(tái)，可使資金夠用