2019-2020年高中數(shù)學 4.1.2圓的一般方程教案 新人教A版必修2（一）教學目標1知識與技能（1）在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件.（2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程.（3）培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力.2過程與方法通過對方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力.3情感態(tài)度與價值觀滲透數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創(chuàng)新，勇于探索. （二）教學重點、難點教學重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標準方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F.教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用.（三）教學過程教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖課題引入問題：求過三點A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圓的方程.利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式圓的一般方程.讓學生帶著問題進行思考設疑激趣導入課題.概念形成與深化請同學們寫出圓的標準方程：(x a)2 + (y b)2 = r2，圓心(a，b)，半徑r.把圓的標準方程展開，并整理：x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 r2=0.取D = 2a，E = 2b，F(xiàn) = a2 + b2 r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0這個方程是圓的方程.反過來給出一個形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得(配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？（1）當D2 + E2 4F0時，方程表示以為圓心，為半徑的圓；（2）當D2 + E2 4F = 0時，方程只有實數(shù)解，即只表示一個點；（3）當D2 + E2 4F0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形.綜上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲線不一定是圓.只有當D2 + E2 4F0時，它表示的曲線才是圓，我們把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圓的方程稱為圓的一般方程.整個探索過程由學生完成，教師只做引導，得出圓的一般方程后再啟發(fā)學生歸納.圓的一般方程的特點：（1）x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.沒有xy這樣的二次項.（2）圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了.（3）與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯.通過學生對圓的一般方程的探究，使學生親身體會圓的一般方程的特點，及二元二次方程表示圓所滿足的條件.應用舉例例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑.（1）4x2 + 4y2 4x + 12y + 9 = 0（2）4x2 + 4y2 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）將原方程變?yōu)閤2 + y2 x + 3y += 0D = 1，E =3，F(xiàn) =.D2 + E2 4F = 10此方程表示圓，圓心（，），半徑r =.（2）將原方程化為x2 + y2 x + 3y += 0D = 1，E =3，F(xiàn) =.D2 + E2 4F = 10此方程不表示圓.學生自己分析探求解決途徑：用配方法將其變形化成圓的標準形式.運用圓的一般方程的判斷方法求解.但是，要注意對于（1）4x2 + 4y2 4x + 12y + 9 = 0來說，這里的D = 1，E = 3，而不是D = 4，E = 12，F(xiàn) = 9. 通過例題講解使學生理解圓的一般方程的代數(shù)特征及與標準方程的相互轉化更進一步培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的能力.例2 求過三點A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標.分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程.解：設所求的圓的方程為：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于D、E、F的三元一次方程組：即解此方程組，可得：D= 8，E=6，F(xiàn) = 0所求圓的方程為：x2 + y2 8x + 6y = 0；.得圓心坐標為(4，3).或將x2 + y2 8x + 6y = 0左邊配方化為圓的標準方程，(x 4)2 + (y + 3)2 = 25，從而求出圓的半徑r = 5，圓心坐標為(4，3).例2 講完后學生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟：1根據(jù)題設，選擇標準方程或一般方程.2根據(jù)條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；3解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程.例3 已知線段AB的端點B的坐標是(4，3)，端點A在圓上(x + 1)2 + y2 = 4運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.解：設點M的坐標是(x，y)，點A的坐標是(x0，y0)由于點B的坐標是(4，3)且M是線段AB中重點，所以，于是有x0 = 2x 4，y0 = 2y 3因為點A在圓(x + 1)2 + y2 = 4上運動，所以點A的坐標滿足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 把代入，得(2x 4 + 1)2 + (2y 3)2 = 4，整理得所以，點M的軌跡是以為圓心，半徑長為1的圓.MAxyOB課堂練習：課堂練習P130第1、2、3題.教師和學生一起分析解題思路，再由教師板書.分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程.歸納總結1圓的一般方程的特征2與標準方程的互化3用待定系數(shù)法求圓的方程4求與圓有關的點的軌跡教師和學生共同總結讓學生更進一步（回顧）體會知識的形成、發(fā)展、完善的過程.課后作業(yè)布置作業(yè)：見習案4.1的第二課時學生獨立完成鞏固深化備選例題例1 下列各方程表示什么圖形？若表示圓，求出圓心和半徑.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax 2ay = 0 (a0).【解析】（1）因為D 1，E 0，F(xiàn) 1，所以D2 + E2 4F0 方程（1）不表示任何圖形；（2）因為D 2a，E 0，F(xiàn) a2，所以D2 + E2 4F 4a2 4a2 = 0， 所以方程（2）表示點(a，0)；（3）兩邊同時除以2，得x2 + y2 + ax ay = 0，所以D = a，E = a，F(xiàn) = 0. 所以D2 + E2 4F0，所以方程（3）表示圓，圓心為，半徑.點評：也可以先將方程配方再判斷.例2 已知一圓過P (4，2)、Q(1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為，求圓的方程.【分析】涉及與圓的弦長有關的問題時，為簡化運算，則利用垂徑直徑定理和由半弦長、弦心距、半徑所構成的三角形解之.【解析】法一：設圓的方程為：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 將P、Q的坐標分別代入得 令x = 0，由，得y2 + Ey + F = 0 由已知|y1 y2| = ，其中y1，y2是方程的兩根.(y1 y2)2 = (y1 + y2) 4y1y2 = E2 4F = 48 解聯(lián)立成的方程組，得故所求方程為：x2 + y2 2x 12 = 0或x2 + y2 10x 8y + 4 = 0.法二：求得PQ的中垂線方程為x y 1 = 0 所求圓的圓心C在直線上，故設其坐標為(a，a 1)，又圓C的半徑 由已知圓C截y軸所得的線段長為，而圓C到y(tǒng)軸的距離為|a|.代入并將兩端平方，得a2 5a + 5 = 0，解得a1 = 1，a2 = 5.故所求的圓的方程為：(x 1)2 + y2 = 13或(x 5)2 + (y 4)2 = 37.【評析】(1)在解本題時，為簡化運算，要避開直接去求圓和y軸的兩個交點坐標，否則計算要復雜得多.（2）涉及與圓的弦長有關問題，常用垂徑定理和由半弦長、弦心距及半徑所構成的直角三角形解之，以簡化運算.例3 已知方程x2 + y2 2(t + 3)x + 2(1 t2)y + 16t4 + 9 = 0表示一個圓，求（1）t的取值范圍；（2）該圓半徑r的取值范圍.【解析】原方程表示一個圓的條件是D2 + E2 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 t2)2 4(16t 4 + 9)0即7t2 6t 10，（2）