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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.2 微積分基本定理（二） 教案 北師大選修2-2 教學(xué)過程： （一）創(chuàng)設(shè)問題情境 求不定積分的運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，結(jié)果為函數(shù)，定積分則是在求曲邊梯形的面積問題時(shí)產(chǎn)生的，結(jié)果為數(shù).這兩種運(yùn)算產(chǎn)生的背景與含義似乎沒有什么共同之處.但它們的名稱如此相近，說明它們之間又存在著聯(lián)系. （二）探索新知 1、講解變上限定積分的定義，配合圖形便于讓學(xué)生明白變上限定積分是定義在上的函數(shù)，它會(huì)隨著在區(qū)間上變化而取得相應(yīng)的定積分值.接著，給出定理4.2.1，讓學(xué)生知道變上限定積分的導(dǎo)數(shù)就是被積函數(shù)，并結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)（也就是被積函數(shù)）的關(guān)系讓學(xué)生主動(dòng)去探索定理4.2.2，通過這個(gè)定理既讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了定積分與原函數(shù)，也就是不定積分之間的關(guān)系.變上限定積分的重要性質(zhì)在下面證明微積分基本定理時(shí)有重要作用. ——以學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平想到導(dǎo)數(shù)和定積分的內(nèi)在聯(lián)系是很困難的，因此對(duì)于這一部分內(nèi)容以教師直接講解為主，主動(dòng)揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。 根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，結(jié)合定理4.2.1講解例4.2.1和例4.2.2，此二例的作用是讓學(xué)生熟悉定理；在講解例4.2.2的過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意當(dāng)積分的下限為，上限為定值時(shí)，要變成變上限定積分才可以應(yīng)用這個(gè)定理求解.例4.2.3、例4.2.2對(duì)于本班學(xué)生較為困難，省略不講。 2、牛頓—萊布尼茲公式的證明 證明的關(guān)鍵在于結(jié)合定理4.2.3的已知條件是在上的一個(gè)原函數(shù)及定理4.2.2的結(jié)論變上限的定積分也是在上的一個(gè)原函數(shù)，得到，再分別讓取得，牛頓—萊布尼茲公式即可得證. 這一過程要讓學(xué)生主動(dòng)參與，因?yàn)樗粌H讓學(xué)生熟悉了定理4.2.2，更重要的是揭示了定積分與不定積分之間的聯(lián)系，解決了第一階段創(chuàng)設(shè)的問題. ——在這里我插入關(guān)于牛頓和萊布尼茲的個(gè)人背景材料，以及他們的學(xué)術(shù)成果在整個(gè)社會(huì)乃至全世界的影響，有利于豐富課堂內(nèi)容。 3、牛頓—萊布尼茲公式的應(yīng)用 牛頓-萊布尼茲公式絕妙地把求定積分問題轉(zhuǎn)換成求不定積分問題，從而避免了用定義來計(jì)算定積分這一極為困難的運(yùn)算.因此在“不定積分”一節(jié)中掌握的求原函數(shù)的方法，在計(jì)算定積分時(shí)都能得到應(yīng)用. 在講解例題前檢查學(xué)生初等函數(shù)的不定積分公式，聯(lián)想舊知識(shí)，為解決新知作準(zhǔn)備。例題包括三部分：初等函數(shù)的定積分，簡(jiǎn)單的換元積分問題，分段函數(shù)的定積分問題.前兩類問題較為基礎(chǔ)，學(xué)生掌握起來較容易.第三類問題解決的關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值，并利用定積分的可加性，是基礎(chǔ)問題的升華. 探索新知這一過程其實(shí)就是解決教學(xué)重點(diǎn)和化解教學(xué)難點(diǎn)的過程中，體現(xiàn)了教法和學(xué)法的統(tǒng)一。 （三）討論歸納 總結(jié)使用牛頓—萊布尼茲公式解題的一般方法:求不定積分→代入積分上下限求原函數(shù)在上的增量. 因?yàn)榇诉^程較為簡(jiǎn)單，所以讓學(xué)生自己總結(jié)，老師最后歸納. （四）鞏固練習(xí)，強(qiáng)化提高 將習(xí)題4.2第一大題的（4）作為第一個(gè)練習(xí)，為了體現(xiàn)牛頓—萊布尼茲公式的作用，第三大題的（1）作為第二個(gè)練習(xí)，第二個(gè)練習(xí)在不定積分的運(yùn)算中是沒有的，這樣設(shè)計(jì)也是為了鞏固分段函數(shù)的定積分問題。 這一過程即能達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的要求又能進(jìn)一步鞏固和深化所學(xué)知識(shí)，形成基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探索能力。 （五）布置作業(yè)： 五、板書設(shè)計(jì) 將變上限定積分的定義，性質(zhì)，牛頓—萊布尼茲公式的證明作為第一節(jié)課板書內(nèi)容，主要讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，基本理論；將不定積分的積分公式，牛頓—萊布尼茲公式的應(yīng)用作為第二節(jié)課板書內(nèi)容，讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)，基本理論的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握定積分的求法.