2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《2.4.1.1 向量的數(shù)量積》教案 蘇教版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《2.4.1.1 向量的數(shù)量積》教案 蘇教版必修4.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4.1.1 向量的數(shù)量積教案 蘇教版必修4教學(xué)目標(biāo):掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題,掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn):平面向量的數(shù)量積定義.教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程:.課題引入在物理課中,我們學(xué)過(guò)功的概念,即如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做的功W可由下式計(jì)算:WFscos其中是F與s的夾角.從力所做的功出發(fā),我們引入向量數(shù)量積的概念.講授新課1.兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作a,b,則AOB (0)叫a與b的夾角.說(shuō)明:(1)當(dāng)0時(shí),a與b同向; (2)當(dāng)時(shí),a與b反向;(3)當(dāng)時(shí),a與b垂直,記ab;(4)注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點(diǎn)的.2.數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是,則數(shù)量abcos叫a與b的數(shù)量積,記作ab,即有ababcos(0).說(shuō)明:(1)零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a0;(2)符號(hào)“”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào),既不能省略,也不能用“”代替.3.數(shù)量積的幾何意義兩個(gè)向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的長(zhǎng)度與另一個(gè)向量在其上的投影值的乘積.說(shuō)明:這個(gè)投影值可正可負(fù)也可為零,所以我們說(shuō)向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).4.數(shù)量積的重要性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量,e是單位向量,0是a與e夾角,是a與b夾角.eaaeacos0abab0當(dāng)a與b同向時(shí),abab當(dāng)a與b反向時(shí),abab特別地,aaa2或acosabab說(shuō)明:上述性質(zhì)要求學(xué)生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證.5.數(shù)量積的運(yùn)算律已知a,b,c和實(shí)數(shù),則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律:abba (交換律)(a)b (ab)a(b) (數(shù)乘結(jié)合律)(ab)cacbc (分配律)說(shuō)明:(1)一般地,(ab)ca(bc)(2)acbc,c0ab(3)有如下常用性質(zhì):a2a2,(ab)(cd)acadbcbd(ab)2a22abb2師為使大家進(jìn)一步熟悉數(shù)量積的性質(zhì),加深對(duì)數(shù)量積定義的理解,我們來(lái)看下面的例題.例題判斷正誤,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.a00;0a0;0;abab;若a0,則對(duì)任一非零b有ab0;ab0,則a與b中至少有一個(gè)為0;對(duì)任意向量a,b,c都有(ab)ca(bc);a與b是兩個(gè)單位向量,則a2b2.分析:根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律,逐一判斷.解:上述8個(gè)命題中只有正確;對(duì)于:兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),應(yīng)有0a0;對(duì)于:應(yīng)有0a0;對(duì)于:由數(shù)量積定義有ababcosab,這里是a與b的夾角,只有0或時(shí),才有abab; 對(duì)于:若非零向量a、b垂直,有ab0;對(duì)于:由ab0可知ab可以都非零;對(duì)于:若a與c共線,記ac.則ab(c)b (cb) (bc),(ab)c (bc)c(bc) c(bc)a若a與c不共線,則(ab)c(bc)a.評(píng)述:這一類型題,要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.說(shuō)明:1.概念辨析:正確理解向量夾角定義對(duì)于兩向量夾角的定義,兩向量的夾角指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角,因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯(cuò)誤是一些易見(jiàn)的錯(cuò)誤,如:例1已知ABC中,a5,b8,C60,求.對(duì)此題,有同學(xué)求解如下:解:如圖,a5,b8,C60,cosC58cos6020.分析:上述解答,乍看正確,但事實(shí)上確實(shí)有錯(cuò)誤,原因就在于沒(méi)能正確理解向量夾角的定義,即上例中與兩向量的起點(diǎn)并不同,因此,C并不是它們的夾角,而正確的夾角應(yīng)當(dāng)是C的補(bǔ)角120.2.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律分析:若有(ab)ca(bc),設(shè)a、b夾角為,b、c夾角為,則(ab)cabcosc,a(bc)abccos.若ac,則ac,進(jìn)而有:(ab)ca(bc)這是一種特殊情形,一般情況則不成立.舉反例如下:已知a1,b1,c,a與b夾角是60,b與c夾角是45,則:(ab)c(abcos60)cc,a(bc)(bccos45)aa而ca,故(ab)ca(bc)3.等式的性質(zhì)“實(shí)數(shù)a、b、c,且abac,a0推出bc”這一性質(zhì)在向量推理中不正確.例2舉例說(shuō)明abac,且a0,推不出bc.解:取a1,b,a與b的夾角為45,c,a與c的夾角為0,顯然abac,但bc.4.“如果ab0,那么a,b中至少有一個(gè)為零”這一性質(zhì)在向量推理中不正確.例3已知a2,b3,a與b的夾角為90,求ab.解:ab23cos900,顯然a0,b0,由ab0可推出以下四種可能:a0,b0; b0,a0;a0且b0; a0且b0但ab.課堂練習(xí)課本P80練習(xí)1,2,3.課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運(yùn)算律,并能運(yùn)用它們解決相關(guān)的問(wèn)題.課后作業(yè)課本P82習(xí)題 1,2,3