2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《基本不等式》教案4 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《基本不等式》教案4 蘇教版必修5 教學(xué)目的: 1了解不等式的實(shí)際應(yīng)用及不等式的重要地位和作用; 2掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系,學(xué)會(huì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大?。? 教學(xué)重點(diǎn):比較兩實(shí)數(shù)大小. 教學(xué)難點(diǎn):差值比較法:作差→變形→判斷差值的符號(hào) 授課類型:新授課 課時(shí)安排:1課時(shí) 教 具:多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程: 一、引入: 人與人的年齡大小、高矮胖瘦,物與物的形狀結(jié)構(gòu),事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系,這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量,不等是普遍的、絕對(duì)的,而相等則是局部的、相對(duì)的研究不等關(guān)系,反映在數(shù)學(xué)上就是證明不等式與解不等式實(shí)數(shù)的差的正負(fù)與實(shí)數(shù)的大小的比較有著密切關(guān)系,這種關(guān)系是本章內(nèi)容的基礎(chǔ),也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)因此,本節(jié)課我們有必要來研究探討實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系 生活中為什么糖水中加的糖越多越甜呢? 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題:a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,則糖水更甜了,為什么? 分析:起初的糖水濃度為,加入m克糖 后的糖水濃度為,只要證>即可怎么證呢?引人課題 二、講解新課: 1.不等式的定義:用不等號(hào)連接兩個(gè)解析式所得的式子,叫做不等式. 說明:(1)不等號(hào)的種類:>、<、≥(≮)、≤(≯)、≠. (2)解析式是指:代數(shù)式和超越式(包括指數(shù)式、對(duì)數(shù)式和三角式等) (3)不等式研究的范圍是實(shí)數(shù)集R. 2.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件 對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b,在a>b,a= b,a<b三種關(guān)系中有且僅有一種成立.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件是: 由此可見,要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號(hào)就可以了,這好比站在同一水平面上的兩個(gè)人,只要看一下他們的差距,就可以判斷他們的高矮了. 三、講解范例: 例1比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小 分析:此題屬于兩代數(shù)式比較大小,實(shí)際上是比較它們的值的大小,可以作差,然后展開,合并同類項(xiàng)之后,判斷差值正負(fù)(注意是指差的符號(hào),至于差的值究竟是多少,在這里無關(guān)緊要)并根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來得出兩個(gè)代數(shù)式的大小把比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算符號(hào)問題 本題知識(shí)點(diǎn):整式乘法,去括號(hào)法則,合并同類項(xiàng) 解:由題意可知: (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) =(a2-2a-15)-(a2-2a-8) =-7<0 ∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4) 例2已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小 分析:此題與例1基本類似,也屬于兩個(gè)代數(shù)式比較大小,但是其中的x有一定的限制,應(yīng)該在對(duì)差值正負(fù)判斷時(shí)引起注意,對(duì)于限制條件的應(yīng)用經(jīng)常被學(xué)生所忽略 本題知識(shí)點(diǎn):乘法公式,去括號(hào)法則,合并同類項(xiàng) 解:由題意可知: (x2+1)2-(x4+x2+1) =(x4+2x2+1)-(x4+x2+1) =x4+2x2+1-x4-x2-1 =x2 ∵x≠0 ∴x2>0 ∴(x2+1)2-(x4+x2+1)>0 ∴(x2+1)2>x4+x2+1 例2引伸:在例2中,如果沒有x≠0這個(gè)條件,那么兩式的大小關(guān)系如何? 在例2中,如果沒有x≠0這個(gè)條件,那么意味著x可以全取實(shí)數(shù),在解決問題時(shí),應(yīng)分x=0和x≠0兩種情況進(jìn)行討論,即: 當(dāng)x=0時(shí),(x2+1)2=x4+x2+1 當(dāng)x≠0時(shí),(x2+1)2>x4+x2+1 此題意在培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想,提醒學(xué)生在解決含字母代數(shù)式問題時(shí),不要忘記代數(shù)式中字母的取值范圍,一般情況下,取值范圍是實(shí)數(shù)集的可以省略不寫 得出結(jié)論:例1,例2是用作差比較法來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,其一般步驟是:作差——變形——判斷符號(hào)這樣把兩個(gè)數(shù)的大小問題轉(zhuǎn)化為判斷它們差的符號(hào)問題,至于差本身是多少,在此無關(guān)緊要 例3已知a>b>0,m>0,試比較與的大小 解: ∵a>b>0,m>0,∴a-b>0,a+m>0 ∴∴> 從而揭示“糖水加糖甜更甜”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵 例4 比較a4-b4與4a3(a-b)的大?。? 解: a4-b4 - 4a3(a-b) =(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b) = (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)] = - (a-b)2(3a3+2ab+b2) =- (a-b)2 (當(dāng)且僅當(dāng)d=b時(shí)取等號(hào)) ∴a4-b44a3(a-b) 說明:“變形”是解題的關(guān)鍵,是最重一步因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法 例5 已知x>y,且y≠0,比較與1的大小 解: ∵x>y,∴x-y>0 當(dāng)y<0時(shí),<0,即<1 當(dāng)y>0時(shí),>0,即>1 說明:變形的目的是為了判定符號(hào),此題定號(hào)時(shí),要根據(jù)字母取值范圍,進(jìn)行分類討論 四、課堂練習(xí): 1在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào): (1)(+)2 6+2; (2)(-)2 (-1)2; (3) ; (4)當(dāng)a>b>0時(shí),loga logb 答案:(1)< (2)< (3)< (4)< 2選擇題 若a<0,-1<b<0,則有( ) Aa>ab>ab2 Bab2>ab>a Cab>a>ab2 Dab>ab2>a 分析:利用作差比較法判斷a,ab,ab2的大小即可 ∵a<0,-1<b<0 ∴ab>0,b-1<0,1-b>0,0<b2<1,1-b2>0 ∴ab-a=a(b-1)>0ab>a ab-ab2=ab(1-b)>0ab>ab2 a-ab2=a(1-b2)<0a<ab2 故ab>ab2>a 答案:D 3比較大?。? (1)(x+5)(x+7)與(x+6)2; (2)log與log 解:(1)(x+5)(x+7)-(x+6)2 =(x2+12x+35)-(x2+12x+36) =-1<0 ∴(x+5)(x+7)<(x+6)2 (2)解法一:(作差法) log-log= =>0 ∴l(xiāng)og>log 解法二:(中介法,常以“-1,0,1”作中介) ∵函數(shù)y=logx和y=logx在(0,+∞)上是減函數(shù)且> ∴l(xiāng)og>log=1,log<log=1 ∴l(xiāng)og>log 4如果x>0,比較(-1)2與(+1)2的大小 解:(-1)2-(+1)2 =[(-1)+(+1)][(-1)-(+1) 或[(x-2+1)-(x+2+1)]=-4 ∵x>0 ∴>0 ∴-4<0 ∴(-1)2<(+1)2 5已知a≠0,比較(a2+a+1)(a2-2a+1)與(a2+a+1)(a2-a+1)的大小 解:(a2+a+1)(a2-a+1)-(a2+a+1)(a2-a+1) =[(a2+1)2-(a)2]-[(a2+1)2-a2]=-a2 ∵a≠0,∴a2>0 ∴-a2<0 故(a2+a+1)(a2-a+1)<(a2+a+1)(a2-a+1) 五、小結(jié) :本節(jié)學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系,并以此關(guān)系為依據(jù),研究了如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,其具體解題步驟可歸納為: 第一步:作差并化簡,其目標(biāo)應(yīng)是n個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式 第二步:判斷差值與零的大小關(guān)系,必要時(shí)須進(jìn)行討論 第三步:得出結(jié)論 在某些特殊情況下(如兩數(shù)均為正,且作商后易于化簡)還可考慮運(yùn)用作商法比較大小它與作差法的區(qū)別在于第二步,作商法是判斷商值與1的大小關(guān)系 六、課后作業(yè): 1.已知,比較與的大小 解: -=……= ∴≥ 2.比較2sinq與sin2q的大小(0當(dāng)時(shí) ∴> ∴總有> 七、板書設(shè)計(jì)(略) 八、課后記:
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