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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.6立體幾何中的向量方法空間距離教案 北師大選修2-1 利用向量方法求解空間距離問題，可以回避此類問題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)化為向量間的計算問題． 例１如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求點B到平面EFG的距離． 分析：由題設(shè)可知CG、CB、CD兩兩互相垂直，可以由此建立空間直角坐標(biāo)系．用向量法求解，就是求出過B且垂直于平面EFG的向量，它的長即為點B到平面EFG的距離． 解：如圖，設(shè)4i，4j，2k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz． 由題設(shè)C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(xiàn)(4,2,0)，G(0,0,2)． ∴　，， 　　　　 ，， ． 設(shè)平面EFG，M為垂足，則M、G、E、F四點共面，由共面向量定理知，存在實數(shù)a、b、c，使得， ∴?。?2a+4b,－2b－4c,2c)． 由平面EFG，得，，于是 　　，． ∴　 整理得：，解得． ∴?。?2a+4b,－2b－4c,2c)＝． ∴　 故點B到平面EFG的距離為． 說明：用向量法求點到平面的距離，常常不必作出垂線段，只需利用垂足在平面內(nèi)、共面向量定理、兩個向量垂直的充要條件解出垂線段對應(yīng)的向量就可以了． 例2已知正方體ABCD－的棱長為1，求直線與AC的距離． 分析：設(shè)異面直線、AC的公垂線是直線l，則線段在直線l上的射影就是兩異面直線的公垂線段，所以此題可以利用向量的數(shù)量積的幾何意義求解． 解：如圖，設(shè)i，j，k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系－xyz，則有 ，，，． ∴　，，． 設(shè)n是直線l方向上的單位向量，則． ∵　n，n， ∴　，解得或． 取n，則向量在直線l上的投影為 　　　n． 由兩個向量的數(shù)量積的幾何意義知，直線與AC的距離為