2019-2020年高中數(shù)學(xué) 曲線與方程教案 新人教A版選修2-1一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 使學(xué)生了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并初步領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念，從而為求已知曲線的方程奠定理論基礎(chǔ)。2. 在領(lǐng)會(huì)曲線和方程概念的過程中，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時(shí)強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。3. 了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的初步知識(shí)和觀點(diǎn)；初步掌握求曲線的方程的方法。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：理解曲線的方程與方程的曲線的概念、求曲線的方程。難點(diǎn)：對(duì)求曲線方程的一般步驟的掌握。三、考點(diǎn)分析：本講內(nèi)容是我們學(xué)習(xí)并學(xué)好圓錐曲線與方程的關(guān)鍵性內(nèi)容，也是最重要的內(nèi)容。我們首先應(yīng)理解“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念，在高考中一般以小題的形式考查。其次就是會(huì)求曲線的方程，這部分內(nèi)容一般以大題的形式考查。要注重對(duì)通性通法的求解和運(yùn)用。1. 曲線的方程和方程的曲線的概念：我們把滿足下面兩個(gè)條件：（1）曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程 f（x，y）0的解； （2）以方程f（x，y）0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上的方程叫做曲線的方程，則該曲線，叫做方程的曲線。2. 求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P=M|P（M）；（3）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程f（x，y）=0；（4）將方程f（x，y）=0化為最簡(jiǎn)形式；（5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)。（查漏除雜）.3. 求曲線方程的常用方法：（1）直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，且這些條件簡(jiǎn)單明確，易于表述成含有x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱為直接法。用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡一般有建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，證明五個(gè)步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補(bǔ)”。（2）定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線的定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線的定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。（3）代入法：若動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q（）的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定的或容易求得的，則可先將表示為x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得出P的軌跡方程。代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。（4）參數(shù)法：若求軌跡方程的過程中很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系時(shí)，則可借助中間變量（參數(shù)），使x，y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。（5）交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)（求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法），也可以引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程。交軌法可以說是參數(shù)法的一種變形。4. 軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，軌跡是指曲線，軌跡方程是指曲線的方程.求軌跡方程的本質(zhì)，就是在給定的坐標(biāo)系中，求軌跡上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)一 曲線與方程的概念的運(yùn)用例1. 下列方程中哪一個(gè)表示的是如下圖所示的直線l，為什么？（1）xy=0 （2）=0（3）x2y2=0 （4）|x|y=0思路分析：1）題意分析：本題考查對(duì)曲線與方程的概念的準(zhǔn)確理解。2）解題思路：先看圖，分析其表示的解析式，然后對(duì)已知的4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)分析。解答過程：方程（1）是表示直線l的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直線l的方程。（2）中直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)不全是方程的解，如（1，1）等，即不符合“直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論。（3）中雖然“直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，但以方程x2y2=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不全在直線l上，如點(diǎn)（2，2）等，即不符合“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上”這一結(jié)論。（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論，比如點(diǎn)（1，1）。解題后的思考：理解曲線的方程和方程的曲線的概念，并能對(duì)題目作出正確的判定。判定時(shí)必須要同時(shí)滿足（1）直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解。（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。例2. （1）判斷點(diǎn)M1（3，4），M2（2，2）是否在方程x2+y2=25所表示的曲線上。（2）用曲線方程的定義說明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25。思路分析：1）題意分析：本題考查點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系，以及利用定義求解曲線方程。2）解題思路：第（1）問先把點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的表達(dá)式中，滿足方程則在曲線上，否則不在曲線上。第（2）問利用圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)求解，并進(jìn)行說明。解答過程：解析：（1）把點(diǎn)M1（3，4），M2（2，2）分別代入到方程中，可知前者滿足方程，后者不滿足。（2）設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為r=5，圓上的任意一點(diǎn)P（x，y），結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，我們得到圓上的點(diǎn)滿足的方程。解題后的思考：運(yùn)用定義找關(guān)系式，進(jìn)而求解方程。例3. 證明與兩條坐標(biāo)軸的距離之積是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡方程是。思路分析：1）題意分析：本題考查對(duì)曲線方程的概念的理解和運(yùn)用。2）解題思路：先結(jié)合已知條件求解方程，然后運(yùn)用定義證明。解答過程：證明：（1）設(shè)M（x0，y0）是軌跡上的任意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)M與軸的距離為，與軸的距離為，所以 即是方程的解。（2）設(shè)的坐標(biāo)是方程的解，那么即，而正是點(diǎn)到軸，軸的距離，因此點(diǎn)到兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)。由（1）（2）可知，是與兩條坐標(biāo)軸的距離之積是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡方程。解題后的思考：注意要從兩個(gè)方面來證明曲線的方程的概念的運(yùn)用。例4. 指出下列方程表示的曲線分別是什么？（1）x2=0（2）（2x+3y5）（3）（3x4y12）（4）思路分析：1）題意分析：本題考查如何理解方程表示的曲線。2）解題思路：根據(jù)曲線方程的定義進(jìn)行分析時(shí)，要保證所求得曲線的純粹性和完備性。解答過程：（1）表示的曲線為過（2，0）且平行于y軸的直線；（2）因?yàn)?故方程表示的曲線為一條射線和一條直線x=4。（3）因?yàn)椋?x4y12）故方程表示的曲線為一條射線（除去端點(diǎn)）和一條直線x+2y=8。（4）因?yàn)閯t方程表示的圖形為一個(gè)點(diǎn)（1，1）解題后的思考：我們所說的曲線是指廣義的曲線，它可以是一般的曲線，也可以是直線、線段，甚至是一個(gè)點(diǎn)。對(duì)于表達(dá)式要通過合理的變形化簡(jiǎn)得到。知識(shí)點(diǎn)二：求曲線的方程例5. 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是 （1，1）、（3，7），求線段AB的垂直平分線的方程.思路分析：1）題意分析：本題考查如何求解曲線方程。2）解題思路：首先分析由于求解的是直線方程，所以應(yīng)利用直線方程的求解方法得到。其次，我們可以直接運(yùn)用求曲線方程的一般步驟進(jìn)行求解。解答過程：解法一：，所求直線的斜率k=0.5又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是，即（1，3）線段AB的垂直平分線的方程為.即x+2y7=0解法二：:若沒有現(xiàn)成的結(jié)論怎么辦?需要掌握一般性的方法解：設(shè)M（x，y）是線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)，則|MA|=|MB|（）（1）由以上過程可知，垂直平分線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程（）的解，即以上變形過程步步可逆，綜上所述，線段AB的垂直平分線的方程是。解題后的思考：第一種解法運(yùn)用了現(xiàn)成的結(jié)論，解題時(shí)比較容易，但它需要你對(duì)所研究的曲線有一定的了解；第二種解法雖然有些走彎路，但這種解法具有一般性。例6. 已知點(diǎn)M與軸的距離和點(diǎn)M與點(diǎn)F（0，4）的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程。思路分析：1）題意分析：本題考查在坐標(biāo)系中求解點(diǎn)的軌跡方程。2）解題思路：根據(jù)已知的坐標(biāo)系，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，我們可通過點(diǎn)M滿足的關(guān)系式來求解。解答過程：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）點(diǎn)M與軸的距離為，=就是所求的軌跡方程。解題后的思考：注意對(duì)于用坐標(biāo)表示的距離，解題時(shí)一定要加上絕對(duì)值，確保不漏掉解。例7. 經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。思路分析：1）題意分析：本題以直線與圓的位置關(guān)系為背景，研究相交弦的中點(diǎn)的軌跡方程的求解。2）解題思路：先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式和圓的方程，我們得到所求點(diǎn)與弦端點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式，從而求其軌跡方程；或者直接設(shè)直線方程，引入?yún)?shù)K，然后消去參數(shù)求軌跡方程。解答過程：解法一：設(shè)M，A，B且由得即（易知）化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為 （在已知圓內(nèi)部一段弧所對(duì)應(yīng)的方程）解法二：設(shè)M，A，B則設(shè)直線l的方程為由方程組消去y得消去參數(shù)得解題后的思考：相關(guān)點(diǎn)法：若動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定的或容易求得的，則可先將x，y表示為x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程。相關(guān)點(diǎn)法也稱代入法。簡(jiǎn)單地說：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線的方程，由此即可求得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）之間的坐標(biāo)。例8. 已知一條直線和它上方的一個(gè)點(diǎn)F，點(diǎn)F到的距離是2。一條曲線也在直線的上方，它上面的每一點(diǎn)到F的距離減去到直線的距離的差都是2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程。思路分析：1）題意分析：本題考查建立合理直角坐標(biāo)系來求解方程2）解題思路：先分析已知條件，建立合適的坐標(biāo)系，然后建系，設(shè)點(diǎn)，找關(guān)系式，進(jìn)行化簡(jiǎn)和求解。解答過程：設(shè)直線l為x軸，過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為y軸，建立坐標(biāo)系xOy，設(shè)點(diǎn)M（x，y）是曲線上任意一點(diǎn)，MBx軸，垂足是B，那么，把M點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得：，平方得：，化簡(jiǎn)得：。因?yàn)榍€在x軸的上方，所以y0， 所以曲線的方程是解題后的思考：遇到?jīng)]有直角坐標(biāo)系的曲線方程的求解，我們要學(xué)會(huì)合理的建系，讓盡可能多的點(diǎn)、線落在坐標(biāo)系上。小結(jié)：本講中的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容是高考?？嫉膬?nèi)容，出現(xiàn)的題型也是常見的題型。需要我們能夠很好的理解，做到舉一反三。其中的軌跡問題，是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，也是所占分值比較大的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，我們應(yīng)該對(duì)其多加練習(xí)。 本節(jié)內(nèi)容是我們學(xué)習(xí)好圓錐曲線方程的基礎(chǔ)性一節(jié)，我們要理解概念，并能利用直接法和定義法、相關(guān)點(diǎn)法求解一些曲線的軌跡方程，使我們?cè)诰毩?xí)的過程中熟練地掌握技巧。另外，求軌跡方程在高考中是考查的熱點(diǎn)，也是必考知識(shí)點(diǎn)，我們要熟悉其求解的方法，以及求解的步驟。一、預(yù)習(xí)新知同學(xué)們，請(qǐng)問我們生活中橢圓形的物體有哪些？請(qǐng)舉例。那么我們?nèi)绾萎嫵鲞@個(gè)完美的圖形呢？二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥探究與反思：探究任務(wù)一： 橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程【反思】（1）橢圓的定義是什么？（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？探究任務(wù)二：橢圓的幾何性質(zhì)【反思】（1）橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)有哪些？（2）如何運(yùn)用性質(zhì)解決有關(guān)的橢圓的有關(guān)方程求解？探究任務(wù)三：直線與橢圓的位置關(guān)系【反思】（1）直線與橢圓的位置關(guān)系有哪些？（2）相交時(shí)，相交弦的公式是什么？如何解決有關(guān)相交時(shí)的問題呢？（答題時(shí)間：45分鐘）一、選擇題1. 若曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則下列說法正確的是（ ）A. 曲線的方程是 B. 方程的曲線是C. 坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)都不在曲線上D. 坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上2. 方程表示的圖形是 （ ）A. 兩條平行直線 B. 兩條相交直線C. 有公共端點(diǎn)的兩條射線 D. 一個(gè)點(diǎn)3. “點(diǎn)在曲線上”是“點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件4. 若直線與的交點(diǎn)在曲線上，則的值是（ ）A. 1 B. 1C. 1或1 D. 以上都不對(duì)二、填空題5. 求方程的曲線經(jīng)過原點(diǎn)的充要條件是 。6. 已知：，點(diǎn)在曲線上，則的值是 ；7. 方程表示的圖形是 。8. 曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程為_。三、解答題9. 已知線段AB，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0），A點(diǎn)在曲線y=x2+3上運(yùn)動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。10. 已知點(diǎn)A（1，0）、B（2，0），求使MBA=2MAB的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。1. C 分析：利用逆否命題我們可以判定選項(xiàng)C是已知的逆否命題，真值相同。2. B 分析：去掉絕對(duì)值符號(hào)，我們可以得到，顯然是表示兩條直線。3. B 分析：由已知條件不一定可以推出結(jié)論，但是由結(jié)論可以推出條件，因此選B4. C 分析：聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)為（4k，3k），代入到圓的方程中，就可以求得k的值。5. c=0 分析：首先曲線過點(diǎn)（0，0），得到c=0，反之，當(dāng)c=0時(shí)，曲線也過原點(diǎn)。6. ， 分析：把點(diǎn)P代入得到三角函數(shù)的關(guān)系式，就可以求得，從而求解。7. 表示4個(gè)點(diǎn)。分析：由于平方和為0，故同時(shí)為零。8. 分析：研究曲線關(guān)于直線的對(duì)稱問題，我們?cè)O(shè)直線上任意一點(diǎn)P，以及相應(yīng)的對(duì)稱后的點(diǎn)P1，然后利用垂直的關(guān)系式和中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，我們得到坐標(biāo)關(guān)系式，就可以求出已知曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與未知曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式，點(diǎn)隨點(diǎn)動(dòng)，我們由此得到答案。9. 解：設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），又設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），則點(diǎn)A（x1，y1）在曲線y=x2+3上，則將y1=x12+3代入，得：2y=（2x6）2+3整理，得AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為10. 解：設(shè)點(diǎn)M（x，y）（1）如果MBA=，則MAB=，從而ABM為等腰直角三角形可得M（2，3）與（2，3）（2）如果MBA，設(shè)點(diǎn)M在x軸或x軸上方則由整理得 當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方，同樣可得到若y=0，由于只有在x（1，2）時(shí)，MBA=MAB=0符合題意，所以軌跡方程為y=0（1<x<2）若滿足題意，動(dòng)點(diǎn)M應(yīng)在AB的垂直平分線右邊，所以應(yīng)有綜上所述，所求軌跡方程為或評(píng)注：（1）要全面考慮曲線上動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的各種情況，以避免“少”點(diǎn)或“多”點(diǎn)，如本題容易遺漏y=0（1<x<2），沒有注意當(dāng)時(shí)的限制條件（2）畫出方程表示的圖形是幫助思考和檢驗(yàn)的有效方法之一。