2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第01講 集合教案 新人教版一課標(biāo)要求：1集合的含義與表示（1）通過實(shí)例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系；（2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；2集合間的基本關(guān)系（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；（2）在具體情境中，了解全集與空集的含義；3集合的基本運(yùn)算（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；（2）理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；（3）能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。二命題走向有關(guān)集合的高考試題，考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系，近年試題加強(qiáng)了對集合的計(jì)算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時(shí)，要注意利用幾何的直觀性，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特殊值法解題，加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡的訓(xùn)練?？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主，分值5分。預(yù)測xx年高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會滲透在解答題的表達(dá)之中，相對獨(dú)立。具體題型估計(jì)為：（1）題型是1個選擇題或1個填空題；（2）熱點(diǎn)是集合的基本概念、運(yùn)算和工具作用。三要點(diǎn)精講1集合：某些指定的對象集在一起成為集合。（1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作；（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)；（3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)。具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時(shí)，不宜采用列舉法。（4）常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實(shí)數(shù)集，記作R。2集合的包含關(guān)系：（1）集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集（或B包含A），記作AB（或）；集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且AB，則稱A是B的真子集，記作A B；（2）簡單性質(zhì)：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集（其中2n1個真子集）；3全集與補(bǔ)集：（1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；（2）若S是一個集合，AS，則，=稱S中子集A的補(bǔ)集；（3）簡單性質(zhì)：1）()=A；2）S=，=S。4交集與并集：（1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。（2）一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。5集合的簡單性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）；（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）。四典例解析題型1：集合的概念例1設(shè)集合，若，則下列關(guān)系正確的是（ ）A B C D解：由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。則。選項(xiàng)為D；點(diǎn)評：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。首先應(yīng)該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系，而集合之間是包含與不包含的關(guān)系。例2設(shè)集合P=m|1m0，Q=mR|mx2+4mx40對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中成立的是（ ）APQBQPCP=QDPQ=Q解：Q=mR|mx2+4mx40對任意實(shí)數(shù)x恒成立，對m分類：m=0時(shí)，40恒成立；m0時(shí)，需=（4m）24m（4）0，解得m0。綜合知m0，Q=mR|m0。答案為A。點(diǎn)評：該題考察了集合間的關(guān)系，同時(shí)考察了分類討論的思想。集合中含有參數(shù)m，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，不能忽略m=0的情況。題型2：集合的性質(zhì)例3（xx廣東，1）已知集合A=1，2，3，4，那么A的真子集的個數(shù)是（ ）A15 B16 C3 D4解：根據(jù)子集的計(jì)算應(yīng)有241=15（個）。選項(xiàng)為A；點(diǎn)評：該題考察集合子集個數(shù)公式。注意求真子集時(shí)千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時(shí)，A不是A的真子集。變式題：同時(shí)滿足條件：若，這樣的集合M有多少個，舉出這些集合來。答案：這樣的集合M有8個。例4已知全集，A=1,如果，則這樣的實(shí)數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由。解：；，即0，解得當(dāng)時(shí)，為A中元素；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這樣的實(shí)數(shù)x存在，是或。另法：，0且或。點(diǎn)評：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過程中“當(dāng)時(shí)，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號是兩層含義：。變式題：已知集合，,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與題意不符，所以，。題型3：集合的運(yùn)算例5（06全國理，2）已知集合Mx|x3，Nx|log2x1，則MN（ ）A Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|2x3解：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，且2>1，顯然由易得。從而。故選項(xiàng)為D。點(diǎn)評：該題考察了不等式和集合交運(yùn)算。例6（06安徽理，1）設(shè)集合，則等于（ ）A B C D解：，所以，故選B。點(diǎn)評：該題考察了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算。題型4：圖解法解集合問題例7（xx上海春，5）已知集合A=x|x|2，xR，B=x|xa，且AB，則實(shí)數(shù)a圖的取值范圍是_ _。解：A=x|2x2，B=x|xa，又AB，利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系：如圖所示，因此有a2。點(diǎn)評：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關(guān)系問題。例8（1996全國理，1）已知全集IN*，集合Axx2n，nN*，Bxx4n，nN，則（ ）AIABBI（A）BCIA（B）DI（A）（B）解：方法一：A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有選項(xiàng)正確.圖方法二：因A2，4，6，8，B4，8，12，16，所以B1，2，3，5，6，7，9，所以IAB，故答案為.方法三：因BA，所以（）A（）B，（）A（B）A，故IA（A）A（B）。方法四：根據(jù)題意，我們畫出Venn圖來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A（B）是成立的。點(diǎn)評：本題考查對集合概念和關(guān)系的理解和掌握，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，用無限集考查，提高了對邏輯思維能力的要求。題型5：集合的應(yīng)用例9向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？解：贊成A的人數(shù)為50=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B。設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33x。依題意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。點(diǎn)評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握。本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。例10求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有（2002）（2003）(2005)(20010)(2006)(20015)(20030)146所以，符合條件的數(shù)共有20014654（個）點(diǎn)評：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡單，可考慮用扣除法。題型7：集合綜合題例11（xx上海，17）設(shè)集合A=x|xa|<2，B=x|<1，若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由|xa|<2，得a2<x<a+2，所以A=x|a2<x<a+2。由<1，得<0，即2<x<3，所以B=x|2<x<3。因?yàn)锳B，所以，于是0a1。點(diǎn)評：這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運(yùn)算，解絕對值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。在解題過程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。例12已知an是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合A=(an,)|nN*,B=(x,y)| x2y2=1,x,yR。試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明：（1）若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上；（2）AB至多有一個元素；（3）當(dāng)a10時(shí)，一定有AB。解：（1）正確；在等差數(shù)列an中，Sn=,則(a1+an),這表明點(diǎn)(an,)的坐標(biāo)適合方程y(x+a1),于是點(diǎn)(an, )均在直線y=x+a1上。（2）正確；設(shè)(x,y)AB,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=4(*)，當(dāng)a1=0時(shí)，方程(*)無解，此時(shí)AB=；當(dāng)a10時(shí)，方程(*)只有一個解x=,此時(shí)，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。AB至多有一個元素。（3）不正確；取a1=1，d=1，對一切的xN*，有an=a1+(n1)d=n>0, >0，這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=10 如果AB，那么據(jù)(2)的結(jié)論，AB中至多有一個元素(x0,y0),而x0=0,y0=0，這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時(shí)AB=，所以a10時(shí)，一定有AB是不正確的。點(diǎn)評：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。變式題：解答下述問題：（）設(shè)集合，,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解 的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。解：的取值范圍是UM=m|m<-2.（解法三）設(shè)這是開口向上的拋物線，則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價(jià)于注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否則解答沒有這么簡單。（）已知兩個正整數(shù)集合A=a1,a2,a3,a4,、B.分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質(zhì)解決，注意“正整數(shù)”這個條件的運(yùn)用，（）分析：正確理解要使,由當(dāng)k=0時(shí)，方程有解,不合題意；當(dāng)又由由，由、得b為自然數(shù)，b=2，代入、得k=1點(diǎn)評：這是一組關(guān)于集合的“交、并”的常規(guī)問題，解決這些問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。題型6：課標(biāo)創(chuàng)新題例13七名學(xué)生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？解：設(shè)集合A=甲站在最左端的位置，B=甲站在最右端的位置，C=乙站在正中間的位置，D=丙站在正中間的位置，則集合A、B、C、D的關(guān)系如圖所示，不同的排法有種.點(diǎn)評：這是一道排列應(yīng)用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯，若考慮運(yùn)用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。例14A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：對任意，都有 ； 存在常數(shù)，使得對任意的，都有（1）設(shè)，證明：（2）設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;（3）設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式。解：對任意,所以對任意的，所以0<,令=，所以反證法：設(shè)存在兩個使得,。則由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。，所以+。點(diǎn)評：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎。五思維總結(jié)集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用集合觀點(diǎn)去研究和解決數(shù)學(xué)問題。1學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準(zhǔn)確描述集合中的元素，熟練運(yùn)用集合的各種符號，如、=、A、，等等； 2強(qiáng)化對集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應(yīng)考慮先化簡（或求解）；3確定集合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補(bǔ)”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問題時(shí)應(yīng)根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來尋求方法。 區(qū)別與、與、a與a、與、(1,2)與1,2； AB時(shí)，A有兩種情況：A與A。若集合A中有n個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是1, 所有非空真子集的個數(shù)是。區(qū)分集合中元素的形式：如；?？占侵覆缓魏卧氐募?。、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。符號“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系 ；符號“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門學(xué)科，是人們認(rèn)識和研究問題不可缺少的工具，是為了培養(yǎng)學(xué)生的推理技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力。