2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第03講 函數(shù)的基本性質(zhì)教案 新人教版一課標(biāo)要求1通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；二命題走向從近幾年來看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。預(yù)測xx年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。預(yù)測明年的對本講的考察是：（1）考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個(gè)或1個(gè)填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題；（2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成為新的熱點(diǎn)。三要點(diǎn)精講1奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意： 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱； 確定f(x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。（3）簡單性質(zhì)：圖象的對稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2單調(diào)性（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定義域的某個(gè)區(qū)間，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是增函數(shù)；若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）； 下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。（5）簡單性質(zhì)奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反； 在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。3最值（1）定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。注意： 函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函數(shù)最大（小）應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑模磳τ谌我獾膞I，都有f(x)M（f(x)M）。（2）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值的方法： 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?； 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲担?利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；4周期性（1）定義：如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)= f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)；（2）性質(zhì)：f(x+T)= f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(x)（0）是周期函數(shù)，且周期為。四典例解析題型一：判斷函數(shù)的奇偶性例1討論下述函數(shù)的奇偶性：解：（1）函數(shù)定義域?yàn)镽， ，f(x)為偶函數(shù)；（另解）先化簡：，顯然為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡后再解決要容易得多。（2）須要分兩段討論：設(shè)設(shè)當(dāng)x=0時(shí)f(x)=0，也滿足f(x)=f(x)；由、知，對xR有f(x) =f(x)， f(x)為奇函數(shù)；（3），函數(shù)的定義域?yàn)?，f(x)=log21=0(x=1) ，即f(x)的圖象由兩個(gè)點(diǎn) A（1，0）與B（1，0）組成，這兩點(diǎn)既關(guān)于y軸對稱，又關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；（4）x2a2, 要分a >0與a <0兩類討論，當(dāng)a >0時(shí)， ，當(dāng)a >0時(shí)，f(x)為奇函數(shù)； 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).點(diǎn)評：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時(shí)應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但化簡必須是等價(jià)變換過程（要保證定義域不變）。例2(xx天津文.16)設(shè)函數(shù)f（x）在（，+）內(nèi)有定義，下列函數(shù)：y=|f（x）|；y=xf（x2）；y=f（x）；y=f（x）f（x）。必為奇函數(shù)的有_（要求填寫正確答案的序號）答案：；解析：y=（x）f（x）2=xf（x2）=y；y=f（x）f（x）=y。點(diǎn)評：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。對學(xué)生邏輯思維能力有較高的要求。題型二：奇偶性的應(yīng)用例3（xx上海春，4）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x0時(shí)，f（x）=log3（1+x），則f（2）=_ _。答案：1；解：因?yàn)閤0時(shí)，f（x）=log3（1+x），又f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）=f（x），設(shè)x0，所以f（x）=f（x）=f（1x），所以f（2）=log33=1。點(diǎn)評：該題考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用。解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對稱區(qū)域上函數(shù)的取值。例4已知定義在R上的函數(shù)y= f(x)滿足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)=2x1，求x4，0時(shí)f(x)的表達(dá)式。解：由條件可以看出，應(yīng)將區(qū)間4，0分成兩段考慮：若x2，0，x0，2，f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x2，0時(shí)，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2，4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)，f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；綜上，點(diǎn)評：結(jié)合函數(shù)的數(shù)字特征，借助函數(shù)的奇偶性，處理函數(shù)的解析式。題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例5（xx天津，19）設(shè)，是上的偶函數(shù)。（1）求的值；（2）證明在上為增函數(shù)。解：（1）依題意，對一切，有，即。對一切成立，則，。（2）(定義法)設(shè)，則，由，得，即，在上為增函數(shù)。（導(dǎo)數(shù)法），在上為增函數(shù)點(diǎn)評：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡潔。例6已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對xR有f(x)>0，且f(5)=1，設(shè)F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。解：這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決。在R上任取x1、x2，設(shè)x1<x2，f(x2)= f(x1)， f(x)是R上的增函數(shù)，且f(10)=1，當(dāng)x<10時(shí)0< f(x)<1, 而當(dāng)x>10時(shí)f(x)>1; 若x1<x2<5，則0<f(x1)<f(x2)<1, 0< f(x1)f(x2)<1,<0, F (x2)< F(x1)；若x2 >x1>5，則f(x2)>f(x1)>1 , f(x1)f(x2)>1, >0, F(x2)> F (x1)；綜上，F(xiàn) (x)在（，5）為減函數(shù)，在（5，+）為增函數(shù)。點(diǎn)評：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題，其基本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)。題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7（xx春季北京、安徽，12）設(shè)函數(shù)f（x）（ab0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。.解：在定義域內(nèi)任取x1x2，f（x1）f（x2），ab0，ba0，x1x20，只有當(dāng)x1x2b或bx1x2時(shí)函數(shù)才單調(diào)當(dāng)x1x2b或bx1x2時(shí)f（x1）f（x2）0f（x）在（b，）上是單調(diào)減函數(shù)，在（，b）上是單調(diào)減函數(shù)點(diǎn)評：本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的基本知識。對于含參數(shù)的函數(shù)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例8（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，分解基本函?shù)為、顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。（2）解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，分解基本函數(shù)為和。顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。解法二：， 令 ，得或，令 ，或單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。點(diǎn)評：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。題型五：單調(diào)性的應(yīng)用例9已知偶函數(shù)f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化為flog2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，f(x)在(,0)上為減函數(shù)且f(2)=f(2)=0。不等式可化為log2(x2+5x+4)2或log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集為x|x5或x4或1x或x0。例10已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)在0，+上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使f(cos23)+f(4m2mcos)>f(0)對所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由。解：f(x)是R上的奇函數(shù)，且在0，+上是增函數(shù)，f(x)是R上的增函數(shù)，于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos23)>f(2mcos4m)，即cos23>2mcos4m,即cos2mcos+2m2>0。設(shè)t=cos,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在0，1上的最小值為正。當(dāng)<0,即m<0時(shí)，g(0)=2m2>0m>1與m<0不符；當(dāng)01時(shí)，即0m2時(shí)，g(m)=+2m2>042<m<4+2，42<m2 當(dāng)>1,即m>2時(shí)，g(1)=m1>0m>1。m>2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>42。另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況)： cos2mcos+2m2>0對于0,恒成立，等價(jià)于m>(2cos2)/(2cos) 對于0,恒成立當(dāng)0,時(shí)，(2cos2)/(2cos) 42，m>42。點(diǎn)評：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問題和不等式的求解問題。題型六：最值問題例11（xx全國理，21）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+|xa|+1，xR。（1）討論f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=（x）2+|x|+1=f（x），此時(shí)f（x）為偶函數(shù)。當(dāng)a0時(shí)，f（a）=a2+1，f（a）=a2+2|a|+1，f（a）f（a），f（a）f（a）。此時(shí)函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。（2）當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+。若a，則函數(shù)f（x）在（，a）上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f（x）在（，a）上的最小值為f（a）=a2+1。若a，則函數(shù)f（x）在（，a上的最小值為f（）=+a，且f（）f（a）。當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f（x）=x2+xa+1=（x+）2a+。若a，則函數(shù)f（x）在a，+上的最小值為f（）=a，且f（）f（a）。若a，則函數(shù)f（x）在a，+上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f（x）在a，+上的最小值為f（a）=a2+1。綜上，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是a。當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是a2+1。當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是a+。點(diǎn)評：函數(shù)奇偶性的討論問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問題，如果平時(shí)注意知識的積累，對解此題會(huì)有較大幫助.因?yàn)閤R，f（0）=|a|+10，由此排除f（x）是奇函數(shù)的可能性.運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)，第2題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對稱思想。例12設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M=m|m>1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+)。(1)證明：當(dāng)mM時(shí)，f(x)對所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，則mM；(2)當(dāng)mM時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(3)求證：對每個(gè)mM,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。 (1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3(x2m)2+m+,當(dāng)mM時(shí)，m>1,(xm)2+m+>0恒成立，故f(x)的定義域?yàn)镽。反之，若f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+>0。令0，即16m24(4m2+m+)0，解得m>1，故mM。(2)解析：設(shè)u=x24mx+4m2+m+，y=log3u是增函數(shù)，當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小。而u=(x2m)2+m+，顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+，此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值。(3)證明：當(dāng)mM時(shí)，m+=(m1)+ +13，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號成立。log3(m+)log33=1。點(diǎn)評：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題，考生需要結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行處理。題型七：周期問題例13若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對稱，則f(x)的一個(gè)周期為（ ）A B C D解：因?yàn)閥=f(2x)關(guān)于對稱，所以f(a+2x)=f(a2x)。所以f(2a2x)=fa+(a2x)=fa(a2x)=f(2x)。同理，f(b+2x) =f(b2x)，所以f(2b2x)=f(2x)，所以f(2b2a+2x)=f2b(2a2x)=f(2a2x)=f(2x)。所以f(2x)的一個(gè)周期為2b2a，故知f(x)的一個(gè)周期為4(ba)。選項(xiàng)為D。點(diǎn)評：考察函數(shù)的對稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱（ab），則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2（ba）。例14已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值。證明：；求的解析式；求在上的解析式。解：是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，。當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，由得，。是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設(shè)，而，當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，故時(shí)，。當(dāng)時(shí)，有，。當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。五思維總結(jié)1判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(-x)= f(x)f(-x) f(x)=0；2對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映；3若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件；4奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。5若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集。6單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容，應(yīng)用十分廣泛，由于新教材增加了“導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容，所以解決單調(diào)性問題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般需要用單調(diào)性定義解決。注意，關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的知識一般用于簡單問題的分析，嚴(yán)格的解答還是應(yīng)該運(yùn)用定義或求導(dǎo)解決。