《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示（1）教案 新人教A版必修1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示（1）教案 新人教A版必修1.doc（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示（1）教案 新人教A版必修1 教學(xué)分析　　　　　 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一．在中學(xué)，函數(shù)的學(xué)習(xí)大致可分為三個階段．第一階段是在義務(wù)教育階段，學(xué)習(xí)了函數(shù)的描述性概念，接觸了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等最簡單的函數(shù)，了解了它們的圖象、性質(zhì)等．本節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念與后續(xù)將要學(xué)習(xí)的函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)(Ⅰ)和基本初等函數(shù)(Ⅱ)是學(xué)習(xí)函數(shù)的第二階段，這是對函數(shù)概念的再認(rèn)識階段．第三階段是在選修系列的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)，這是函數(shù)學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深化和提高． 在學(xué)生學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系；同時，雖然函數(shù)概念比較抽象，但函數(shù)現(xiàn)象大量存在于學(xué)生周圍．因此，課本采用了從實際例子中抽象出用集合與對應(yīng)的語言定義函數(shù)的方式介紹函數(shù)概念． 三維目標(biāo)　　　　　 1．會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，理解函數(shù)符號y＝f(x)的含義；通過學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題的探究能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和抽象概括能力；啟發(fā)學(xué)生運用函數(shù)模型表述思考和解決現(xiàn)實世界中蘊涵的規(guī)律，逐漸形成善于提出問題的習(xí)慣，學(xué)會數(shù)學(xué)表達(dá)和交流，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識． 2．掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性和重要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性． 重點難點　　　　　 教學(xué)重點：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)． 教學(xué)難點：符號“y＝f(x)”的含義，不容易認(rèn)識到函數(shù)概念的整體性，而將函數(shù)單一地理解成對應(yīng)關(guān)系，甚至認(rèn)為函數(shù)就是函數(shù)值． 課時安排　　　　　 2課時 第1課時 作者：高建勇 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.北京時間2005年10月12日9時整，萬眾矚目的“神舟”六號飛船勝利發(fā)射升空，5天后圓滿完成各項任務(wù)并順利返回．在“神舟”六號飛行期間，我們時刻關(guān)注“神舟”六號離我們的距離y隨時間t是如何變化的，本節(jié)課就對這種變量關(guān)系進(jìn)行定量描述和研究．引出課題． 思路2.問題：已知函數(shù)y＝請用初中所學(xué)函數(shù)的定義來解釋y與x的函數(shù)關(guān)系？先讓學(xué)生回答后，教師指出：這樣解釋會顯得十分勉強，本節(jié)將用新的觀點來解釋，引出課題． 推進(jìn)新課　　　　　 (1)給出下列三種對應(yīng)：(幻燈片) ①一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26 s落到地面擊中目標(biāo)．炮彈的射高為845 m，且炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時間t(單位：s)變化的規(guī)律是h＝130t－5t2. 時間t的變化范圍是數(shù)集A＝{t|0≤t≤26}，h的變化范圍是數(shù)集B＝{h|0≤h≤845}．則有對應(yīng)f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B. ②近幾十年來，大氣層的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧洞問題．圖1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積S(單位：106 km2)隨時間t(單位：年)從1979～xx年的變化情況． 圖1 根據(jù)圖1中的曲線，可知時間t的變化范圍是數(shù)集A＝{t|1979≤t≤xx}，臭氧層空洞面積S的變化范圍是數(shù)集B＝{S|0≤S≤26}，則有對應(yīng)： f：t→S，t∈A，S∈B. ③國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高．下表中的恩格爾系數(shù)y隨時間t(年)變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化． “八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況 時間(t) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 xx xx xx xx 恩格爾 系數(shù)(y) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 根據(jù)上表，可知時間t的變化范圍是數(shù)集A＝{t|1991≤t≤xx}，恩格爾系數(shù)y的變化范圍是數(shù)集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.則有對應(yīng)：f：t→y，t∈A，y∈B. 以上三個對應(yīng)有什么共同特點？ (2)我們把這樣的對應(yīng)稱為函數(shù)，請用集合的觀點給出函數(shù)的定義. (3)函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍，那么你是如何理解這個“取值范圍”的？ (4)函數(shù)有意義又指什么？ (5)函數(shù)f：A→B的值域為C，那么集合B＝C嗎？ 活動：讓學(xué)生認(rèn)真思考以上三個對應(yīng)，也可以分組討論交流，引導(dǎo)學(xué)生找出這三個對應(yīng)的本質(zhì)共性． 解：(1)共同特點是：集合A，B都是數(shù)集，并且對于數(shù)集A中的每一個元素x，在對應(yīng)關(guān)系f：A→B下，在數(shù)集B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)． (2)一般地，設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． 在研究函數(shù)時常會用到區(qū)間的概念，設(shè)a，b是兩個實數(shù)，且aa} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x0時，求f(a)，f(a－1)的值． 活動：(1)讓學(xué)生回想函數(shù)的定義域指的是什么？函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，故轉(zhuǎn)化為求使和有意義的自變量的取值范圍.有意義，則x＋3≥0，有意義，則x＋2≠0，轉(zhuǎn)化為解由x＋3≥0和x＋2≠0組成的不等式組． (2)讓學(xué)生回想f(－3)，f()表示什么含義？f(－3)表示自變量x＝－3時對應(yīng)的函數(shù)值，f()表示自變量x＝時對應(yīng)的函數(shù)值．分別將－3，代入函數(shù)的對應(yīng)法則中得f(－3)，f()的值． (3)f(a)表示自變量x＝a時對應(yīng)的函數(shù)值，f(a－1)表示自變量x＝a－1時對應(yīng)的函數(shù)值．分別將a，a－1代入函數(shù)的對應(yīng)法則中得f(a)，f(a－1)的值． 解：(1)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值需滿足解得－3≤x<－2或x>－2，即函數(shù)的定義域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)． (2)f(－3)＝＋＝－1；f()＝＋＝＋. (3)∵a>0，∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f(a)，f(a－1)有意義． 則f(a)＝＋；f(a－1)＝＋＝＋. 點評：本題主要考查函數(shù)的定義域以及對符號f(x)的理解．求使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，通常轉(zhuǎn)化為解不等式組． f(x)是表示關(guān)于變量x的函數(shù)，又可以表示自變量x對應(yīng)的函數(shù)值，是一個整體符號，分開符號f(x)沒有什么意義．符號f可以看作是對“x”施加的某種法則或運算．例如f(x)＝x2－x＋5，當(dāng)x＝2時，看作“2”施加了這樣的運算法則：先平方，再減去2，再加上5；當(dāng)x為某一代數(shù)式(或某一個函數(shù)記號時)，則左右兩邊的所有x都用同一個代數(shù)式(或某一個函數(shù))來代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5等等． 符號y＝f(x)表示變量y是變量x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號，并不表示y等于f與x的乘積．符號f(x)與f(m)既有區(qū)別又有聯(lián)系：當(dāng)m是變量時，函數(shù)f(x)與函數(shù)f(m)是同一個函數(shù)；當(dāng)m是常數(shù)時，f(m)表示自變量x＝m對應(yīng)的函數(shù)值，是一個常量． 已知函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域，就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，即 (1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R. (2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合． (3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合． (4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合(即求各部分定義域的交集)． (5)對于由實際問題的背景確定的函數(shù)，其定義域還要受實際問題的制約. 變式訓(xùn)練 1．函數(shù)y＝－的定義域為__________． 答案：{x|x≤1，且x≠－1}． 點評：本題容易錯解：化簡函數(shù)的解析式為y＝x＋1－，得函數(shù)的定義域為{x|x≤1}．其原因是這樣做違背了討論函數(shù)問題要保持定義域優(yōu)先的原則．化簡函數(shù)的解析式容易引起函數(shù)的定義域發(fā)生變化，因此求函數(shù)的定義域之前時，不要化簡解析式． 2．若f(x)＝的定義域為M，g(x)＝|x|的定義域為N，令全集U＝R，則M∩N等于(　　) A．M　　　　　　 　　　　　　　B．N C．?UM D．?UN 解析：由題意得M＝{x|x>0}，N＝R，則M∩N＝{x|x>0}＝M. 答案：A 3．已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1,1]，則函數(shù)f(2x－1)的定義域是________． 解析：要使函數(shù)f(2x－1)有意義，自變量x的取值需滿足－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1. 答案：[0,1] 本節(jié)課學(xué)習(xí)了：函數(shù)的概念、函數(shù)定義域的求法和對函數(shù)符號f(x)的理解． 課本習(xí)題1.2，A組，1,5. 本節(jié)教學(xué)中，在歸納函數(shù)的概念時，本節(jié)設(shè)計運用了大量的實例，如果不借助于信息技術(shù)，那么會把時間浪費在實例的書寫上，會造成課時不足即拖堂現(xiàn)象．本節(jié)重點設(shè)計了函數(shù)定義域的求法，而函數(shù)值域的求法將放在函數(shù)的表示法中學(xué)習(xí)．由于函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，也是高考的重點和熱點，因此對函數(shù)的概念等知識進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐卣?，以滿足高考的需要． 第2課時 作者：劉玉亭 復(fù)習(xí)　　　　　　　 1．函數(shù)的概念． 2．函數(shù)的定義域的求法． 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.當(dāng)實數(shù)a，b的符號相同，絕對值相等時，實數(shù)a＝b；當(dāng)集合A，B中元素完全相同時，集合A＝B；那么兩個函數(shù)滿足什么條件才相等呢？引出課題：函數(shù)相等． 思路2.我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，y＝x與y＝是同一個函數(shù)嗎？這就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，引出課題：函數(shù)相等． 推進(jìn)新課　　　　　 ①指出函數(shù)y＝x＋1的構(gòu)成要素有幾部分？ ②一個函數(shù)的構(gòu)成要素有幾部分？ ③分別寫出函數(shù)y＝x＋1和函數(shù)y＝t＋1的定義域和對應(yīng)關(guān)系，并比較異同. ④函數(shù)y＝x＋1和函數(shù)y＝t＋1的值域相同嗎？由此可見兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，值域相同嗎？ ⑤由此你對函數(shù)的三要素有什么新的認(rèn)識？ 討論結(jié)果：①函數(shù)y＝x＋1的構(gòu)成要素為：定義域R，對應(yīng)關(guān)系x→x＋1，值域是R. ②一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域，簡稱為函數(shù)的三要素．其中定義域是函數(shù)的靈魂，對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心．當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的三要素都相同時，這兩個函數(shù)才相同． ③定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同． ④值域相同． ⑤如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，那么它們的值域一定相等．因此只要兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，那么這兩個函數(shù)就相等． 例題 下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y＝x相等？ (1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝. 活動：讓學(xué)生思考兩個函數(shù)相等的條件后，引導(dǎo)學(xué)生求出各個函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)關(guān)系式為最簡形式．只要它們定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，那么這兩個函數(shù)就相等． 解：函數(shù)y＝x的定義域是R，對應(yīng)關(guān)系是x→x. (1)∵函數(shù)y＝()2的定義域是[0，＋∞)， ∴函數(shù)y＝()2與函數(shù)y＝x的定義域不相同． ∴函數(shù)y＝()2與函數(shù)y＝x不相等． (2)∵函數(shù)y＝的定義域是R， ∴函數(shù)y＝與函數(shù)y＝x的定義域相同． 又∵y＝＝x， ∴函數(shù)y＝與函數(shù)y＝x的對應(yīng)關(guān)系也相同． ∴函數(shù)y＝與函數(shù)y＝x相等． (3)∵函數(shù)y＝的定義域是R， ∴函數(shù)y＝與函數(shù)y＝x的定義域相同． 又∵y＝＝|x|， ∴函數(shù)y＝與函數(shù)y＝x的對應(yīng)關(guān)系不相同． ∴函數(shù)y＝與函數(shù)y＝x不相等． (4)∵函數(shù)y＝的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴函數(shù)y＝與函數(shù)y＝x的定義域不相同， ∴函數(shù)y＝與函數(shù)y＝x不相等． 點評：本題主要考查函數(shù)相等的含義．討論函數(shù)問題時，要保持定義域優(yōu)先的原則．對于判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，要先求定義域，若定義域不同，則不是同一個函數(shù)；若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，若解析式相同(即對應(yīng)關(guān)系相同)，則是同一個函數(shù)，否則不是同一個函數(shù).  變式訓(xùn)練 判斷下列各組的兩個函數(shù)是否相同，并說明理由． ①y＝x－1，x∈R與y＝x－1，x∈N； ②y＝與y＝； ③y＝1＋與u＝1＋； ④y＝x2與y＝x； ⑤y＝2|x|與y＝是同一個函數(shù)的是________．(把是同一個函數(shù)的序號填上即可) 解析：只需判斷函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否均相同即可． ①前者的定義域是R，后者的定義域是N，由于它們的定義域不同，故不是同一個函數(shù)； ②前者的定義域是{x|x≥2或x≤－2}，后者的定義域是{x|x≥2}，它們的定義域不同，故不是同一個函數(shù)； ③定義域相同均為非零實數(shù)，對應(yīng)法則相同都是自變量取倒數(shù)后加1，那么值域必相同，故是同一個函數(shù)； ④定義域是相同的，但對應(yīng)法則不同，故不是同一個函數(shù)； ⑤函數(shù)y＝2|x|＝則定義域和對應(yīng)法則均相同，那么值域必相同，故是同一個函數(shù)． 故填③⑤. 答案：③⑤ 1．下列給出的四個圖形中，是函數(shù)圖象的是(　　) 圖2 A．① B．①③④ C．①②③ D．③④ 答案：B 2．函數(shù)y＝f(x)的定義域是R，值域是[1,2]，則函數(shù)y＝f(2x－1)的值域是________． 答案：[1,2] 3．下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的有________． ①f(x)＝，g(x)＝x；②f(x)＝x0，g(x)＝； ③f(x)＝，g(u)＝；④f(x)＝－x2＋2x，g(u)＝－u2＋2u. 答案：②③④ 問題：函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝m有幾個交點？ 探究：設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義域是D， 當(dāng)m∈D時，根據(jù)函數(shù)的定義知f(m)唯一， 則函數(shù)y＝f(x)的圖象上橫坐標(biāo)為m的點僅有一個(m，f(m))， 即此時函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝m僅有一個交點； 當(dāng)m?D時，根據(jù)函數(shù)的定義知f(m)不存在， 則函數(shù)y＝f(x)的圖象上橫坐標(biāo)為m的點不存在， 即此時函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝m沒有交點． 綜上所得，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝m有交點時僅有一個，或沒有交點． (1)復(fù)習(xí)了函數(shù)的概念，總結(jié)了函數(shù)的三要素； (2)判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)． 1．設(shè)M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列4個圖形，其中能表示以集合M為定義域，N為值域的函數(shù)關(guān)系的是(　　) 圖3 答案：B 2．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本為1 000元，以1 100元的價格批發(fā)出去，隨生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量的增加，公司收入________，它們之間是________關(guān)系． 解析：由題意，多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品則多收入100元．生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量看成是自變量，公司收入看成是因變量，容易得出對于自變量的每一個確定值，因變量都有唯一確定的值與之對應(yīng)，從而判斷兩者是函數(shù)關(guān)系． 答案：增加　函數(shù) 3．函數(shù)y＝x2與S＝t2是同一函數(shù)嗎？ 答：函數(shù)的確定只與定義域與對應(yīng)關(guān)系有關(guān)，而與所表示的字母無關(guān)，因此y＝x2與S＝t2表示的是同一個函數(shù)．因此并非字母不同便是不同的函數(shù)，這是由函數(shù)的本質(zhì)決定的． 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容主要是依據(jù)高考說明，對課本內(nèi)容適當(dāng)拓展，重點對函數(shù)的相等問題進(jìn)行了引申，設(shè)計時對拓展的內(nèi)容采取漸進(jìn)式，設(shè)計時本著逐步提高、拓展，不能急于求成，否則事倍功半． 備選例題　　　　　 【例1】 已知函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)f[f(x)]的定義域是________． 解析：∵f(x)＝，∴x≠－1.∴f[f(x)]＝f()＝. ∴1＋≠0，即≠0.∴x≠－2. ∴f(x)的定義域為{x|x≠－2且x≠－1}． 答案：{x|x≠－2且x≠－1} 【例2】 已知函數(shù)f(2x＋3)的定義域是[－4,5)，求函數(shù)f(2x－3)的定義域． 解：由函數(shù)f(2x＋3)的定義域得函數(shù)f(x)的定義域，從而求得函數(shù)f(2x－3)的定義域．設(shè)2x＋3＝t，當(dāng)x∈[－4,5)時，有t∈[－5,13)，則函數(shù)f(t)的定義域是[－5,13)，解不等式－5≤2x－3<13，得－1≤x<8，即函數(shù)f(2x－3)的定義域是[－1,8)． 函數(shù)的傳統(tǒng)定義和近代定義的比較 函數(shù)的傳統(tǒng)定義(初中學(xué)過的函數(shù)定義)與它的近代定義(用集合定義函數(shù))在實質(zhì)上是一致的．兩個定義中的定義域和值域的意義完全相同；兩個定義中的對應(yīng)法則實際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同．傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，其中對應(yīng)法則是將自變量x的每一個取值與唯一確定的函數(shù)值對應(yīng)起來；近代定義則是從集合、對應(yīng)的觀點出發(fā)，其中的對應(yīng)法則是將原象集合中任一元素與象集合中的唯一確定的元素對應(yīng)起來． 至于函數(shù)的傳統(tǒng)定義向近代定義過渡的原因，從歷史上看，函數(shù)的傳統(tǒng)定義來源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式，要說清楚變量以及兩個變量的依賴關(guān)系，往往先要弄清各個變量的物理意義，這就使研究受到了不必要的限制．后來，人們認(rèn)識到了定義域和值域的重要性，如果只根據(jù)變量的觀點來解析，會顯得十分勉強，如：符號函數(shù)sgn x＝用集合與對應(yīng)的觀點來解釋，就顯得十分自然了，用傳統(tǒng)定義幾乎無法解釋，于是就有了函數(shù)的近代定義．由于傳統(tǒng)的定義比較生動、直觀，有時仍然會使用這一定義．