2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4-1-2 圓的一般方程能力強(qiáng)化提升 新人教A版必修2一、選擇題1兩圓x2y24x6y0和x2y26x0的圓心連線方程為()Axy30 B2xy50C3xy90 D4x3y70答案C解析兩圓的圓心分別為(2，3)、(3,0)，直線方程為y(x3)即3xy90，故選C.2若方程x2y2(1)x2y0表示圓，則的取值范圍是()A(0，)B.C(1，)DR答案C解析D2E24F(1)2424>0解不等式得<或>1，故選C.3過三點(diǎn)A(1,5)，B(5,5)，C(6，2)的圓的方程是()Ax2y24x2y200Bx2y24x2y200Cx2y24x2y200Dx2y24x4y200答案C解析設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，分別代入(1,5)，(5,5)(6，2)得，解得故選C.4方程x2y2DxEyF0表示的曲線是以(2,3)為圓心，4為半徑的圓，則D、E、F的值分別為()A4，6,3 B4,6,3C4,6，3 D4，6，3答案D解析圓心為(，)，2，3，D4，E6，又R代入算得F3.5與圓x2y24x6y30同圓心，且過(1，1)的圓的方程是()Ax2y24x6y80Bx2y24x6y80Cx2y24x6y80Dx2y24x6y80答案B解析圓心為(2，3)，半徑R.6如果方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0)所表示的曲線關(guān)于yx對稱，則必有()ADE BDFCFE DDEF答案A解析圓心(，)在直線yx上，所以DE，故選A.7當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時，直線(a1)xya10恒過定點(diǎn)C，則以C為圓心，半徑為的圓的方程為()Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0Dx2y22x4y0答案C解析令a0，a1，得方程組解得所以定點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)則圓C的方程為(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.8若直線l：axby10始終平分圓M：x2y24x2y10的周長，則(a2)2(b2)2的最小值為()A. B5C2 D10答案B解析由題意，得直線l過圓心M(2，1)，則2ab10，則b2a1，所以(a2)2(b2)2(a2)2(2a12)25a255，所以(a2)2(b2)2的最小值為5.二、填空題9圓心是(3,4)，經(jīng)過點(diǎn)M(5,1)的圓的一般方程為_答案x2y26x8y480解析只要求出圓的半徑即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再展開化為一般式方程10圓x22xy20關(guān)于y軸對稱的圓的一般方程是_答案x2y22x0解析已知圓的圓心為C(1,0)，半徑r1，點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(1,0)，則已知圓關(guān)于y軸對稱的圓的方程為(x1)2y21，即x2y22x0.11設(shè)圓x2y24x2y110的圓心為A，點(diǎn)P在圓上，則PA的中點(diǎn)M的軌跡方程是_答案x2y24x2y10解析設(shè)M(x，y)，A(2，1)，則P(2x2,2y1)，將P代入圓方程得：(2x2)2(2y1)24(2x2)2(2y1)110，即為：x2y24x2y10.12已知圓C：x2y22xay30(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l：xy20的對稱點(diǎn)都在圓C上，則a_.答案2解析由題意可知直線l：xy20過圓心，120，a2.三、解答題13判斷方程x2y24mx2my20m200能否表示圓，若能表示圓，求出圓心和半徑分析本題可直接利用D2E24F>0是否成立來判斷，也可把左端配方，看右端是否為大于零的常數(shù)解析解法一：由方程x2y24mx2my20m200，可知D4m，E2m，F(xiàn)20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2，因此，當(dāng)m2時，D2E24F0，它表示一個點(diǎn)，當(dāng)m2時，D2E24F>0，原方程表示圓的方程，此時，圓的圓心為(2m，m)，半徑為r|m2|.解法二：原方程可化為(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，當(dāng)m2時，它表示一個點(diǎn)，當(dāng)m2時，原方程表示圓的方程此時，圓的圓心為(2m，m)，半徑為r|m2|.規(guī)律總結(jié)：(1)形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圓時有如下兩種方法：由圓的一般方程的定義判斷D2E24F是否為正若D2E24F>0，則方程表示圓，否則不表示圓將方程配方變形成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，觀察是否可以表示圓(2)在書寫本題結(jié)果時，易出現(xiàn)r(m2)的錯誤結(jié)果，導(dǎo)致這種錯誤的原因是沒有理解對一個數(shù)開偶次方根的結(jié)果為非負(fù)數(shù)14已知圓C：x2y2DxEy30，圓心在直線xy10上，且圓心在第二象限，半徑為，求圓的一般方程分析根據(jù)圓心、半徑滿足的條件列出關(guān)系式，從而求出參數(shù)D與E的值解析圓心C(，)，圓心在直線xy10上，10，即DE2，又r，D2E220，由可得或又圓心在第二象限，<0即D>0，圓的方程為x2y22x4y30.規(guī)律總結(jié)：在求解過程中，要注意圓心在第二象限這一限定條件，避免增解15自A(4,0)引圓x2y24的割線ABC，求弦BC中點(diǎn)P的軌跡方程分析由題目可獲取以下主要信息：點(diǎn)A(4,0)是定圓外一點(diǎn)；過A的直線交圓于B，C兩點(diǎn)解答本題可先設(shè)出動點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)，然后由圓的幾何性質(zhì)知OPBC，再利用kOPkAP1，求出P(x，y)滿足的方程也可由圓的幾何性質(zhì)直接得出動點(diǎn)P與定點(diǎn)M(2,0)的距離恒等于定長2，然后由圓的定義直接寫出P點(diǎn)的軌跡方程解析方法一：(直接法)設(shè)P(x，y)，連接OP，則OPBC，當(dāng)x0時，kOPkAP1，即1，即x2y24x0.當(dāng)x0時，P點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)是方程的解，BC中點(diǎn)P的軌跡方程為x2y24x0(在已知圓內(nèi)的部分)方法二：(定義法)由方法一知OPAP，取OA中點(diǎn)M，則M(2,0)，|PM|OA|2，由圓的定義知，P的軌跡方程是(x2)2y24(在已知圓內(nèi)的部分)規(guī)律總結(jié)：針對這個類型的題目，常用的方法有(1)直接法，(2)定義法，(3)代入法，其中直接法是求曲線方程最重要的方法，它可分五個步驟：建系，找出動點(diǎn)M滿足的條件，用坐標(biāo)表示此條件，化簡，驗(yàn)證；定義法是指動點(diǎn)的軌跡滿足某種曲線的定義，然后據(jù)定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程；代入法，它用于處理一個主動點(diǎn)與一個被動點(diǎn)問題，只需找出這兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入主動點(diǎn)滿足的軌跡方程即可16已知圓經(jīng)過點(diǎn)(4,2)和(2，6)，該圓與兩坐標(biāo)軸的四個截距之和為2，求圓的方程解析設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0.圓經(jīng)過點(diǎn)(4,2)和(2，6)，代入圓的一般方程，得設(shè)圓在x軸上的截距為x1、x2，它們是方程x2DxF0的兩個根，得x1x2D.設(shè)圓在y軸上的截距為y1、y2，它們是方程y2EyF0的兩個根，得y1y2E.由已知，得D(E)2，即DE20.由聯(lián)立解得D2，E4，F(xiàn)20.所求圓的方程為x2y22x4y200.規(guī)律總結(jié)：在涉及圓的方程中，若已知圓心和半徑之一，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程較方便；若已知圓過定點(diǎn)，則設(shè)一般方程較方便