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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《基本不等式》教案6 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 1． 學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式定理； 2． 能夠簡(jiǎn)單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。 教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn)：等號(hào)成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。 教學(xué)過程： 重要不等式：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2 ≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)） 證明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2 當(dāng)a≠b時(shí)，（a－b）2＞0，當(dāng)a＝b時(shí)，（a－b）2＝0 所以，（a－b）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的結(jié)論，我們又可得到 定理：如果a，b是正數(shù)，那么 ≥（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)） 證明：∵（）2＋（）2≥2 ∴a ＋b≥2 即 ≥ 顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，＝ 說明：1）我們稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 2）a 2＋b 2≥2ab和≥成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù). 3）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件. 4）數(shù)列意義 問：a，b∈R－？ 例題講解： 例1 已知x，y都是正數(shù)，求證： （1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2； （2）如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值S2 證明：因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以 ≥ （1）積xy為定值P時(shí)，有≥ ∴x＋y≥2 上式當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”號(hào)，因此，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2. （2）和x＋y為定值S時(shí)，有≤ ∴xy≤ S 2 上式當(dāng)x=y時(shí)取“＝”號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值S 2. 說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件： ?。┖瘮?shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù); ⅱ)函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)； ⅲ）等號(hào)成立條件必須存在。 師：接下來，我們通過練習(xí)來進(jìn)一步熟悉均值定理的應(yīng)用. 例2 ：已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證： （ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)均值不等式定理的條件的認(rèn)識(shí). 證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得 ≥＞0，≥＞0， ∴≥abcd 即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 例3 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？ 分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，水池的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得 l＝240000＋720（x＋）≥240000＋7202 ＝240000＋720240＝297600 當(dāng)x＝，即x＝40時(shí)，l有最小值297600 因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元. 評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件. 為了進(jìn)一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應(yīng)用，我們來進(jìn)行課堂練習(xí). 課本P91練習(xí)1，2，3，4. 3．課堂小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意定理的適用條件。 4．課后作業(yè) P94習(xí)題 1，2，3 教學(xué)后記： 抓住重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)概念，掌握。