2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第十一課時 三角函數(shù)的周期性教案 蘇教版必修4教學(xué)目標：掌握函數(shù)的周期性，會求簡單函數(shù)的最小正周期，掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期及求法；滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點.教學(xué)重點：正、余弦函數(shù)的周期教學(xué)難點：函數(shù)的周期性教學(xué)過程：由單位圓中的三角函數(shù)線可知，正、余弦函數(shù)值的變化呈現(xiàn)出周期現(xiàn)象，每當(dāng)角增加（或減少）2，所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正、余弦函數(shù)值也分別相同.即有：sin（2x）sinx，cos（2x）cosx，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所具有的這種性質(zhì)稱為周期性.一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是這兩個函數(shù)的周期.對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.以后如果不加特別說明，函數(shù)的周期一般都是指最小正周期正切函數(shù)是周期函數(shù)，且周期T課本P26例1、例2一般地，函數(shù)yAsin(x)及yAcos(x)（其中A、為常數(shù)，且A0，0）的周期T，函數(shù)yAtan (x)的周期T周期函數(shù)應(yīng)注意以下幾點：1.式子f(xT)f(x)對定義域中的每一個值都成立.即定義域內(nèi)任何x，式子都成立.而不能是“一個x”或“某些個x”，另一方面，判斷一個函數(shù)不是周期函數(shù)，只需舉一個反例就行了.例如：由于sin()sin，即sin(x)sinx.該式中x取時等式成立，能否斷定是sinx的周期呢?不能，因?qū)τ谄渌恍﹛值該式不一定成立.如x時，sin(x)sinx.例函數(shù)ycosx(x0)是周期函數(shù)嗎?解：不是，舉反例，當(dāng)T2時，令x2，則有cos(x2)cos(22)cos01，但x0，不屬于題設(shè)的定義域，則x不能取2，故ycosx(x0)不是周期函數(shù).2.式子f(xT)f(T)是對“x”而言.例如，由cos( 2k)cos (kZ)，是否可以說cos的周期為2k呢?不能!因為cos( 2k)cos，即coscos (kZ)，所以cos的周期是6k，而不是2k(kZ).3.一個函數(shù)是周期函數(shù)，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)a(常數(shù))，顯然任何一個正數(shù)T都是f(x)的周期，由于正數(shù)中不存在最小的數(shù)，所以周期函數(shù)f(x)a無最小正周期.4.設(shè)T是f(x)(xR)的周期，那么kT(kZ，且k0)也一定是f(x)的周期，定義規(guī)定了T為一個實常數(shù)，而不是一個變數(shù)；同時也規(guī)定了T的取值范圍，只要求不為零，不要誤認為T一定是的倍數(shù).有許多周期函數(shù)的周期中是不含“”的，如下面幾例：例1函數(shù)ysinx的周期是T2.例2函數(shù)ytan2x的周期是T.例3若對于函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)的任何x的值，都有f(x1)f(x)成立，則由周期函數(shù)的定義可知，函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且T1是其周期.例4設(shè)f(x)定義在R上，并且對任意的x，有f(x2)f(x3)f(x4).求證：f(x)是周期函數(shù)，并找出它的一個周期.證明：f(x2)f(x3)f(x4) f(x3)f(x4)f(x5) 得：f(x2)f(x5) 由得：f(x5)f(x8) f(x2)f(x8)即f(x)f(x6)f(x)為周期函數(shù)，一個周期為6.5.周期函數(shù)必須是函數(shù)，但一定要克服思維定勢，認為周期性是三角函數(shù)所獨有的，實質(zhì)上我們學(xué)過的非周期函數(shù)f(x)(如ylog2x，yx，y2x，yx2等等)將其定義域內(nèi)限制在一個半開半閉區(qū)間上，經(jīng)左右平移，可以延拓變?yōu)橹芷诤瘮?shù)，例如將非周期函數(shù)yx2(xR)在其定義域R內(nèi)限制在(1，1，然后將yx2(1x1)的圖象左、右平移，可以延拓為最小正周期為2的周期函數(shù)f(x)(x2k)2(2k1x2k1)，kZ，如圖：例已知f(x)x，x(1，1，求定義在R上的一個周期為2的函數(shù)g(x)，使x(1，1時，g(x)f(x).解：由g(x)的周期性可畫出g(x)的圖象.如圖：對于任意的xR，x一定在周期為2的區(qū)間(2n1，2n1內(nèi)，則x2n(1，1.g(x)g(x2n)f(x2n)x2n，即g(x)評述：(1)要判定f(x)是周期函數(shù)，自變量x必須取遍定義域內(nèi)的每一個值.(2)周期函數(shù)是高考中的熱點，只有深層次的理解周期函數(shù)的意義，才能臻化入境，運用自如.課堂練習(xí)：課本P27 練習(xí)14課時小結(jié)：要初步掌握三角函數(shù)的周期性.課后作業(yè)：課本P45 習(xí)題 1