2019-2020年高中數(shù)學(xué)1.3 算法案例教案3 新人教A版必修3導(dǎo)入新課情境導(dǎo)入 在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制，據(jù)說這與古人曾以手指計(jì)數(shù)有關(guān)，愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛?、一年十二個(gè)月、一小時(shí)六十分的歷法.今天我們來學(xué)習(xí)一下進(jìn)位制.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）你都了解哪些進(jìn)位制？（2）舉出常見的進(jìn)位制.（3）思考非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)化方法.（4）思考十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)及非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換方法.活動：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路討論結(jié)果：（1）進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制；滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制等等.也就是說：“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)（都是大于1的整數(shù)）就是幾.（2）在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制，據(jù)說這與古人曾以手指計(jì)數(shù)有關(guān)，愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛?、一年十二個(gè)月、一小時(shí)六十分的歷法.（3）十進(jìn)制使用09十個(gè)數(shù)字.計(jì)數(shù)時(shí)，幾個(gè)數(shù)字排成一行，從右起，第一位是個(gè)位，個(gè)位上的數(shù)字是幾，就表示幾個(gè)一；第二位是十位，十位上的數(shù)字是幾，就表示幾個(gè)十；接著依次是百位、千位、萬位例如：十進(jìn)制數(shù)3 721中的3表示3個(gè)千，7表示7個(gè)百，2表示2個(gè)十，1表示1個(gè)一.于是，我們得到下面的式子：3 721=3103+7102+2101+1100.與十進(jìn)制類似，其他的進(jìn)位制也可以按照位置原則計(jì)數(shù).由于每一種進(jìn)位制的基數(shù)不同，所用的數(shù)字個(gè)數(shù)也不同.如二進(jìn)制用0和1兩個(gè)數(shù)字，七進(jìn)制用06七個(gè)數(shù)字.一般地，若k是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式 anan-1a1a0（k）（0ank，0an-1，a1，a0k).其他進(jìn)位制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式，如110 011（2）=125+124+023+022+121+120， 7 342（8）=783+382+481+280.非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)比較簡單，只要計(jì)算下面的式子值即可：anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+a1k+a0.第一步：從左到右依次取出k進(jìn)制數(shù)anan-1a1a0(k)各位上的數(shù)字，乘以相應(yīng)的k的冪，k的冪從n開始取值，每次遞減1，遞減到0，即ankn,an-1kn-1,a1k,a0k0；第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù).（4）關(guān)于進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換，教科書上以十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換為例講解，并推廣到十進(jìn)制和其他進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換.這樣做的原因是，計(jì)算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲和計(jì)算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù)，因此計(jì)算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運(yùn)算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時(shí)計(jì)算機(jī)又把運(yùn)算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出.1十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進(jìn)制數(shù)的算法“除k取余法”.2非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換一個(gè)自然的想法是利用十進(jìn)制作為橋梁.教科書上提供了一個(gè)二進(jìn)制數(shù)據(jù)與16進(jìn)制數(shù)據(jù)之間的互化的方法，也就是先由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，再由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進(jìn)制數(shù).應(yīng)用示例思路1例1 把二進(jìn)制數(shù)110 011(2)化為十進(jìn)制數(shù).解：110 011(2)=125+124+023+022+121+120=132+116+12+1=51.點(diǎn)評：先把二進(jìn)制數(shù)寫成不同位上數(shù)字與2的冪的乘積之和的形式，再按照十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果.變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)一個(gè)算法，把k進(jìn)制數(shù)a（共有n位）化為十進(jìn)制數(shù)b.算法分析：從例1的計(jì)算過程可以看出，計(jì)算k進(jìn)制數(shù)a的右數(shù)第i位數(shù)字ai與ki-1的乘積aiki-1，再將其累加，這是一個(gè)重復(fù)操作的步驟.所以，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法. 算法步驟如下：第一步，輸入a，k和n的值.第二步，將b的值初始化為0，i的值初始化為1.第三步，b=b+aiki-1，i=i+1.第四步，判斷in是否成立.若是，則執(zhí)行第五步；否則，返回第三步.第五步，輸出b的值.程序框圖如下圖：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DO b=b+t*k（i-1） a=a10 t=a MOD 10 i=i+1LOOP UNTIL inPRINT bEND例2 把89化為二進(jìn)制數(shù).解：根據(jù)二進(jìn)制數(shù)“滿二進(jìn)一”的原則，可以用2連續(xù)去除89或所得商，然后取余數(shù).具體計(jì)算方法如下：因?yàn)?9=244+1，44=222+0，22=211+0，11=25+1，5=22+1，2=21+0，1=20+1，所以89=2（2（2（2（22+1）+1）+0）+0）+1=2（2（2（2（22+1）+1）+0）+0）+1=126+025+124+123+022+021+120=1 011 001(2).這種算法叫做除2取余法，還可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余數(shù)從下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推廣為把十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的算法，稱為除k取余法.變式訓(xùn)練 設(shè)計(jì)一個(gè)程序，實(shí)現(xiàn)“除k取余法”.算法分析：從例2的計(jì)算過程可以看出如下的規(guī)律： 若十制數(shù)a除以k所得商是q0，余數(shù)是r0，即a=kq0+r0，則r0是a的k進(jìn)制數(shù)的右數(shù)第1位數(shù). 若q0除以k所得的商是q1，余數(shù)是r1，即q0=kq1+r1，則r1是a的k進(jìn)制數(shù)的左數(shù)第2位數(shù). 若qn-1除以k所得的商是0，余數(shù)是rn，即qn-1=rn，則rn是a的k進(jìn)制數(shù)的左數(shù)第1位數(shù). 這樣，我們可以得到算法步驟如下： 第一步，給定十進(jìn)制正整數(shù)a和轉(zhuǎn)化后的數(shù)的基數(shù)k. 第二步，求出a除以k所得的商q，余數(shù)r. 第三步，把得到的余數(shù)依次從右到左排列. 第四步，若q0，則a=q，返回第二步；否則，輸出全部余數(shù)r排列得到的k進(jìn)制數(shù). 程序框圖如下圖：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DO q=ak r=a MOD k b=b+r*10i i=i+1 a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 將8進(jìn)制數(shù)314 706(8)化為十進(jìn)制數(shù)，并編寫出一個(gè)實(shí)現(xiàn)算法的程序.解：314 706(8)=385+184+483+782+081+680=104 902.所以，化為十進(jìn)制數(shù)是104 902.點(diǎn)評：利用把k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法就可以把8進(jìn)制數(shù)314 706(8)化為十進(jìn)制數(shù).例2 把十進(jìn)制數(shù)89化為三進(jìn)制數(shù)，并寫出程序語句.解：具體的計(jì)算方法如下：89=329+2，29=39+2，9=33+0，3=31+0，1=30+1，所以:89(10)=10 022(3).點(diǎn)評：根據(jù)三進(jìn)制數(shù)滿三進(jìn)一的原則，可以用3連續(xù)去除89及其所得的商，然后按倒序的順序取出余數(shù)組成數(shù)據(jù)即可.知能訓(xùn)練 將十進(jìn)制數(shù)34轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)分析：把一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，用2反復(fù)去除這個(gè)十進(jìn)制數(shù)，直到商為0，所得余數(shù)（從下往上讀）就是所求解：即34(10)=100 010(2)拓展提升把1 234(5)分別轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)解：1 234(5)=153+252+35+4194則1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194302(8)點(diǎn)評：本題主要考查進(jìn)位制以及不同進(jìn)位制數(shù)的互化五進(jìn)制數(shù)直接利用公式就可以轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)；五進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)之間需要借助于十進(jìn)制數(shù)來轉(zhuǎn)化課堂小結(jié)（1）理解算法與進(jìn)位制的關(guān)系.（2）熟練掌握各種進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)化.作業(yè) 習(xí)題1.3A組3、4.設(shè)計(jì)感想 計(jì)算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲和計(jì)算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù)，因此計(jì)算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運(yùn)算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時(shí)，計(jì)算機(jī)又把運(yùn)算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出.因此學(xué)好進(jìn)位制是非常必要的，另外，進(jìn)位制也是高考的重點(diǎn)，本節(jié)設(shè)置了多種題型供學(xué)生訓(xùn)練，所以這節(jié)課非常實(shí)用.