第 三 章 不 等 式3.3.1 二 元 一 次 不 等 式 （ 組 ） 與 平 面 區(qū) 域 一 家 銀 行 的 信 貸 部 計(jì) 劃 年 初 投 入 25 000 000元 用 于 企 業(yè) 和 個(gè) 人貸 款 ,希 望 這 筆 資 金 至 少 可 帶 來(lái) 30000元 的 收 益 ,其 中 從 企 業(yè) 貸 款 中 獲益 12%,從 個(gè) 人 貸 款 中 獲 益 10%.那 么 ,信 貸 部 應(yīng) 刻 如 何 分 配 資 金 呢 ？ 問(wèn) 題 ： 這 個(gè) 問(wèn) 題 中 存 在 一 些 不 等 關(guān) 系 應(yīng) 該 用 什么 不 等 式 模 型 來(lái) 刻 畫(huà) 呢 ？ 設(shè) 用 于 企 業(yè) 貸 款 的 資 金 為 x元 ， 用 于 個(gè) 人 貸 款 的 資 金 y元 。 則25000000(12%) (10%) 300000, 0 x y x yx y 所 以 得 到 分 配 資 金 應(yīng) 該 滿 足 的 條 件 ：2500000012 10 3000000 00 x yx yxy 1、 二 元 一 次 不 等 式 和 二 元 一 次 不 等 式 組 的 定 義 （ 1） 二 元 一 次 不 等 式 ： 含 有 兩 個(gè) 未 知 數(shù) ， 并 且 未 知 數(shù) 的 最 高 次 數(shù) 是 1的 不 等 式 ； （ 2） 二 元 一 次 不 等 式 組 ： 由 幾 個(gè) 二 元 一 次 不 等 式 組 成 的 不 等 式 組 ； （ 3） 二 元 一 次 不 等 式 （ 組 ） 的 解 集 ： 滿 足 二 元 一 次 不 等 式 （ 組 ） 的 有 序 實(shí) 數(shù) 對(duì) （ x， y） 構(gòu) 成 的 集 合 ；（ 4） 二 元 一 次 不 等 式 （ 組 ） 的 解 集 可 以 看 成 是 直 角 坐 標(biāo) 系 內(nèi) 的 點(diǎn) 構(gòu)成 的 集 合 。 2、 二 元 一 次 不 等 式 （ 組 ） 的 解 集 表 示 的 圖 形 （ 1） 復(fù) 習(xí) 回 顧 一 元 一 次 不 等 式 （ 組 ） 的 解 集 所 表 示 的 圖 形數(shù) 軸 上 的 區(qū) 間 。 如 ： 不 等 式 組 3 04 0 xx 的 解 集 為 數(shù) 軸 上 的 一 個(gè) 區(qū) 間 （ 如 圖 ） 。 思 考 ： 在 直 角 坐 標(biāo) 系 內(nèi) ， 二 元 一 次 不 等 式 （ 組 ） 的 解 集表 示 什 么 圖 形 ？ -3x4 3 0 4 x x y 6 的 解 集 所 表 示 的 圖 形 。 作 出 x y = 6的 圖 像 一 條 直 線O xy x y = 6左 上 方 區(qū) 域 右 下 方 區(qū) 域直 線 把 平 面 內(nèi) 所 有 點(diǎn) 分 成 三 類 :a)在 直 線 x y = 6上 的 點(diǎn) b)在 直 線 x y = 6左 上 方 區(qū)域 內(nèi) 的 點(diǎn) c)在 直 線 x y = 6右 下 方區(qū) 域 內(nèi) 的 點(diǎn)-6 6 下面研究一個(gè)具體的二元一次不等式 O xy x y = 6驗(yàn) 證 ： 設(shè) 點(diǎn) P（ x， y 1） 是 直 線 x y = 6上 的 點(diǎn) ， 選 取 點(diǎn) A（ x， y 2） ，使 它 的 坐 標(biāo) 滿 足 不 等 式 x y 6，請(qǐng) 完 成 下 面 的 表 格 ， 橫 坐 標(biāo) x 3 2 1 0 1 2 3點(diǎn) P 的 縱 坐 標(biāo) y1點(diǎn) A 的 縱 坐 標(biāo) y2 - 9 - 8 - 6- 7 - 5 - 4 - 3- 8 - 6 - 3- 5 6 4 0 思 考 ：(1) 當(dāng) 點(diǎn) A與 點(diǎn) P有 相 同 的 橫 坐 標(biāo) 時(shí) ， 它 們的 縱 坐 標(biāo) 有 什 么 關(guān) 系 ？(2) 直 線 x y = 6左 上 方 的 坐 標(biāo) 與 不 等 式 x y y1結(jié) 論 ：在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 以 二 元 一 次 不 等 式 x y 6的 解 為 坐 標(biāo) 的 點(diǎn) 都 在 直 線x y = 6的 左 上 方 ；反 過(guò) 來(lái) ， 直 線 x y = 6左 上 方 的 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 都 滿 足 不 等 式 x y 6。 不 等 式 x y 6表 示 直 線 x y = 6右 下 方 的 平 面 區(qū) 域 ； 直 線 叫 做 這 兩 個(gè) 區(qū) 域 的 邊 界 。 注 意 ： 把 直 線畫(huà) 成 虛 線 以 表 示 區(qū)域 不 包 括 邊 界 一 般 地 ： 二 元 一 次 不 等 式 Ax + By + C 0在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 表 示 直 線 Ax + By + C = 0某一 側(cè) 所 有 點(diǎn) 組 成 的 平 面 區(qū) 域 。 （ 虛 線 表 示 區(qū) 域 不 包 括 邊 界 直 線 ） 注 1： 二 元 一 次 不 等 式 表 示 相 應(yīng) 直 線 的 某 一 側(cè) 區(qū) 域 O xy Ax + By + C = 0 二 元 一 次 不 等 式 （ 組 ） 與 平 面 區(qū) 域 方 法 :直 線 Ax+By+C=0同 一 側(cè) 的 所 有 點(diǎn) (x,y)代 入 Ax+By+C所 得 實(shí) 數(shù)的 符 號(hào) 都 相 同 ， 只 需 在 直 線 的 某 一 側(cè) 任 取 一 點(diǎn) (x0,y0),根 據(jù) Ax+By+C的正 負(fù) 即 可 判 斷 Ax+By+C0表 示 直 線 的 哪 一 側(cè) 區(qū) 域 ， C 0時(shí) ， 常 把 原 點(diǎn)作 為 特 殊 點(diǎn) 。注 2： 直 線 定 界 ， 特 殊 點(diǎn) 定 域 。 提 出 ： 采 用 “ 選 點(diǎn) 法 ” 來(lái) 確 定 二 元 一 次 不 等 式 所 表 示 的 平 面 區(qū) 域強(qiáng) 調(diào) ： 若 直 線 不 過(guò) 原 點(diǎn) ， 通 常 選 （ 0， 0） 點(diǎn) ; 若 直 線 過(guò) 原 點(diǎn) ， 通 常 選 （ 1， 0） 、 （ -1， 0） 、 （ 0， 1） 、 (0,-1) 等 特 殊 點(diǎn) 代 入 檢 驗(yàn) 并 判 斷 。 例 1、 畫(huà) 出 不 等 式 x + 4y 4表 示 的 平 面 區(qū) 域 。 x+4y 4=0 xy解 ： (1)直 線 定 界 :先 畫(huà) 直 線 x + 4y 4 = 0（ 畫(huà) 成 虛 線 ）(2)特 殊 點(diǎn) 定 域 :取 原 點(diǎn) （ 0， 0） ， 代 入 x + 4y - 4，因 為 0 + 4 0 4 = -4 0所 以 ， 原 點(diǎn) 在 x + 4y 4 0表 示 的 平 面 區(qū) 域 內(nèi) ，不 等 式 x + 4y 4 0表 示 的 區(qū) 域 如 圖 所 示 。 1 4 變 式 1、 畫(huà) 出 下 列 不 等 式 表 示 的 平 面 區(qū) 域 :（ 1） x y 1 0 （ 2） 2 5 100 O XY 52（ 2）1O XY-1（ 1） 畫(huà) 出 直 線 2 5 10=0,取 (0,0)點(diǎn) 代 入 不 等 式 ,得 :2 0 5 0 10 10 0畫(huà) 出 直 線 x y 1=0,取 (0,0)點(diǎn) 代入 不 等 式 ,得 0 0 1 1 0 x y 1=0 2 5 10=0 0 xy 3x+y-12=0 x-2y=0 y -3x+12 x0不 等 式 化 為 x+2y 4 0,取 (0.0)代 入 x+2y 4,得 0+0 4= 404-2 例 3、 寫(xiě) 出 右 圖 中 能 表 示 圖 中 陰 影 部 分 的 二 元 一 次 不 等 式 組 是 _ 不 等 式 2yx， 即 x 2y0表 示 直 線 x 2y 0上 及 其 左 上 方 點(diǎn) 的 集 合 ；不 等 式 3x 2y 60表 示 直 線 3x 2y 6 0上 及 其 右 上 方 點(diǎn) 的 集 合 ；不 等 式 3y x 9， 即 x 3y 9 0表 示 直 線 x 3y 9 0右 下 方 點(diǎn)的 集 合 綜 上 可 得 ， 不 等 式 組 表 示 的 平 面區(qū) 域 是 如 圖 所 示 的 陰 影 部 分 . 解 ： 不 等 式 x 3表 示 直 線 x 3左 側(cè) 點(diǎn) 的 集 合 ; 平 面 區(qū) 域 的 面 積 問(wèn) 題 （ 1） 二 元 一 次 不 等 式 表 示 平 面 區(qū) 域 ： 直 線 某 一 側(cè) 所 有 點(diǎn) 組 成 的 平 面 區(qū) 域 。 （ 2） 判 定 方 法 ： 直 線 定 界 ， 特 殊 點(diǎn) 定 域 。 （ 3） 二 元 一 次 不 等 式 組 表 示 平 面 區(qū) 域 ： 各 個(gè) 不 等 式 所 表 示 平 面 區(qū) 域 的 公 共 部 分 。（ 4） 二 元 一 次 不 等 式 組 表 示 平 面 區(qū) 域 ： 各 個(gè) 不 等 式 所 表 示 平 面 區(qū) 域 的 公 共 部 分 。