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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第12講 空間中的夾角和距離教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．掌握兩條直線所成的角和距離的概念及等角定理；（對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離）。 2．掌握點(diǎn)、直線到平面的距離，直線和平面所成的角； 3．掌握平行平面間的距離，會(huì)求二面角及其平面角； 二．命題走向 高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道, 解答題1道), 共計(jì)總分27分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi)。隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展，從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T(mén)話題。 預(yù)測(cè)07年高考試題： （1）單獨(dú)求夾角和距離的題目多為選擇題、填空題，分值大約5分左右；解答題中的分步設(shè)問(wèn)中一定有求夾角、距離的問(wèn)題，分值為6分左右； （2）選擇、填空題考核立幾中的計(jì)算型問(wèn)題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問(wèn)題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提。 三．要點(diǎn)精講 1．距離 空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離．因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。 求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。 （1）兩條異面直線的距離 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長(zhǎng)度。 （2）點(diǎn)到平面的距離 平面外一點(diǎn)P 在該平面上的射影為P′，則線段PP′的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離；求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。等體積法。 （3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； （4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。 求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動(dòng)”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個(gè)三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計(jì)算求之。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ，它們的公垂線AA′的長(zhǎng)度為d ，在a 上有線段A′E ＝m ，b 上有線段AF ＝n ，那么EF ＝（“”符號(hào)由實(shí)際情況選定） 2．夾角 空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0，90、[0，90]和[0，180]。 （1）兩條異面直線所成的角 求法：先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。 （2）直線和平面所成的角 求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。 （3）二面角的度量是通過(guò)其平面角來(lái)實(shí)現(xiàn)的 解決二面角的問(wèn)題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：（Ⅰ）定義法；（Ⅱ）利用三垂線定理或逆定理；（Ⅲ）自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱(chēng)垂面法．此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí)，可用射影面積法解之，cos q ＝，其中S 為斜面面積，S′為射影面積，q 為斜面與射影面所成的二面角。 3．等角定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。 四．典例解析 題型1：直線間的距離問(wèn)題 例1．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，求直線DA與AC的距離。 解法1：如圖1連結(jié)AC，則AC∥面ACD， 連結(jié)DA、DC、DO，過(guò)O作OE⊥DO于E 因?yàn)锳C⊥面BBDD，所以AC⊥OE。 又OD⊥OE，所以O(shè)E⊥面ACD。 因此OE為直線DA與AC的距離。 在Rt△OOD中，，可求得 點(diǎn)評(píng)：此題是異面直線的距離問(wèn)題：可作出異面直線的公垂線。 圖2 解法2：如圖2連接AC、DC、BC、ABA，得到分別包含DA和AC的兩個(gè)平面ACD和平面ABC， 又因?yàn)锳C∥AC，AD∥BC，所以面ACD∥面ABC。 故DA與AC的距離就是平面ACD和平面ABC的距離，連BD分別交兩平面于兩點(diǎn)，易證是兩平行平面距離。 不難算出，所以，所以異面直線BD與之間的距離為。 點(diǎn)評(píng)：若考慮到異面直線的公垂線不易做出，可分別過(guò)兩異面直線作兩平面互相平行，則異面直線的距離就是兩平面的距離。 題型2：線線夾角 例2．如圖1，在三棱錐S—ABC中，，，，，求異面直線SC與AB所成角的余弦值。 圖1 解法1：用公式 當(dāng)直線平面，AB與所成的角為，l是內(nèi)的一條直線，l與AB在內(nèi)的射影所成的角為，則異面直線l與AB所成的角滿足。以此為據(jù)求解。 由題意，知平面ABC，，由三垂線定理，知，所以平面SAC。 因?yàn)?，由勾股定理，? 。 在中，，在中，。 設(shè)SC與AB所成角為，則， 解法2：平移 過(guò)點(diǎn)C作CD//BA，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CD于D，連結(jié)SD，則是異面直線SC與AB所成的角，如圖2。又四邊形ABCD是平行四邊形。 由勾股定理，得：。 圖2 在中，由余弦定理，得：。 點(diǎn)評(píng)：若不垂直，可經(jīng)過(guò)如下幾個(gè)步驟求解：（1）恰當(dāng)選點(diǎn)，作兩條異面直線的平行線，構(gòu)造平面角；（2）證明這個(gè)角（或其補(bǔ)角）就是異面直線所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所構(gòu)造角的度數(shù)。 題型3：點(diǎn)線距離 例3．（xx京皖春，15）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面角（如圖所示）.M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn)，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點(diǎn)M到直線EF的距離為 。 解析：過(guò)M作MO⊥EF，交EF于O，則MO⊥平面BCFE. 如圖所示，作ON⊥BC，設(shè)OM=x， 圖 又tanMBO=，∴BO=2x 又S△MBE=BEMBsinMBE=BEME S△MBC=BCMBsinMBC=BCMN ∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=。 點(diǎn)評(píng)：該題較典型的反映了解決空間幾何問(wèn)題的解題策略：化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題來(lái)處理。 題型4：點(diǎn)面距離 例4．（xx福建理，18）如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2。 （Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD； （Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大小； （Ⅲ）求點(diǎn)E到平面的距離。 (1)證明：連結(jié)OC。 ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD。 ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD。 在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=。 而AC=2，∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90,即AO⊥OC。 ∴AB平面BCD。 （Ⅱ）解：取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB,OE∥DC。 ∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角。 在△OME中， 是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴ ∴ ∴異面直線AB與CD所成角的大小為 （Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h. , ∴S△ACD =AOS△CDE. 在△ACD中，CA=CD=2,AD=, ∴S△ACD= 而AO=1, S△CDE= ∴h= ∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。 題型5：線面距離 例5．斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為4cm的正三角形，側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成600的角，AA1=7。 （1）求證：AA1⊥BC； （2）求斜三棱柱ABC—A1B1C1的全面積； （3）求斜三棱柱ABC—A1B1C1的體積； （4）求AA1到側(cè)面BB1C1C的距離。 解析：設(shè)A1在平面ABC上的射影為0。 ∵ ∠A1AB=∠A1AC，∴ O在∠BAC的平行線AM上。 ∵ △ABC為正三角形，∴ AM⊥BC。 又AM為A1A在平面ABC上的射影，∴ A1A⊥BC （2） ∵ B1B∥A1A，∴ B1B⊥BC，即側(cè)面BB1C1C為矩形。 ∴ 又，∴ S全= （3）∵ cos∠A1AB=cos∠A1AOcos∠OAB，∴ cos∠A1AO= ∴ sin∠A1AO=，∴ A1O=A1Asin∠A1AO= ∴ （4）把線A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A或A1到平面BB1C1C的距離 為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影，首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面 設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1 ∵ BC⊥AM，BC⊥A1A ∴ BC⊥平面AA1M1M ∴ 平面AA1M1M⊥側(cè)面BCC1B1 在平行四邊形AA1M1M中 過(guò)A1作A1H⊥M1M，H為垂足 則A1H⊥側(cè)面BB1C1C ∴ 線段A1H長(zhǎng)度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離 ∴ 點(diǎn)評(píng)：線面距離往往轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離來(lái)處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得，體積法不用得到垂線。 題型6：線面夾角 例6．（xx浙江理，17）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC,∠BAD=90,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)。 (Ⅰ)求證：PB⊥DM; (Ⅱ)求CD與平面ADMN所成的角的正弦值。 解析：（I）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以。 因?yàn)槠矫妫裕? 從而平面. 因?yàn)槠矫?，所? （II）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則， 所以與平面所成的角和與平面所成的角相等。 因?yàn)槠矫妫允桥c平面所成的角。 在中，。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。 題型7：面面距離 例7．在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如圖： （1）求證：平面A1BC1∥平面ACD1； （2）求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離； （3）求點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離。 （1）證明：由于BC1∥AD1，則BC1∥平面ACD1， 同理，A1B∥平面ACD1，則平面A1BC1∥平面ACD1。 （2）解：設(shè)兩平行平面A1BC1與ACD1間的距離為d，則d等于D1到平面A1BC1的距離。易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，則cosA1BC1=，則sinA1BC1=，則S=。 由于，則Sd=BB1，代入求得d=，即兩平行平面間的距離為。 （3）解：由于線段B1D1被平面A1BC1所平分，則B1、D1到平面A1BC1的距離相等，則由（2）知點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離等于。 點(diǎn)評(píng)：立體幾何圖形必須借助面的襯托，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來(lái)。在具體的問(wèn)題中，證明和計(jì)算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個(gè)輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過(guò)對(duì)這個(gè)平面的截得，延展或構(gòu)造，綱舉目張，問(wèn)題就迎刃而解了。 題型8：面面角 例8．（xx四川理，19）如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，。 （Ⅰ）求證：面； （Ⅱ）求二面角的大小。 （Ⅲ）求三棱錐的體積。 解析：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié) ∵分別為的中點(diǎn)， ∵，∴面，面 ∴面面 ∴面 （Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn) ∵為的中點(diǎn) ∴ ∴面 作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得。 從而為二面角的平面角。 在中，，從而。 在中，，故二面角的正切值為。 （Ⅲ）， 作，交于，由面得， ∴面， ∴在中，， ∴。 點(diǎn)評(píng)：求角和距離的基本步驟是作、證、算。此外還要特別注意融合在運(yùn)算中的推理過(guò)程，推理是運(yùn)算的基礎(chǔ)，運(yùn)算只是推理過(guò)程的延續(xù)。如求二面角，只有根據(jù)推理過(guò)程找到二面角后，進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，才能求出。因此，求角與距離的關(guān)鍵還是直線與平面的位置關(guān)系的論證。 五．思維總結(jié) 空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決． 1．空間的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，)，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來(lái)度量，其平面角θ∈(0，π)。 對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過(guò)一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過(guò)程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過(guò)空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力． （1）求異面直線所成的角，一般是平移轉(zhuǎn)化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線；或過(guò)空間任一點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角θ，構(gòu)造一個(gè)含θ的三角形，解三角形即可。方法二是補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ。 （2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)（斜足），然后在直線上取一點(diǎn)（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影），最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。 （3）求二面角，一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來(lái)解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根據(jù)定義作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無(wú)棱二面角先作出棱后同上進(jìn)行。間接法主要是投影法：即在一個(gè)平面α上的圖形面積為S，它在另一個(gè)平面β上的投影面積為S′，這兩個(gè)平面的夾角為θ，則S′=Scosθ。 如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角a－l－b的平面角（記作q）通常有以下幾種方法： (1) 根據(jù)定義； (2) 過(guò)棱l上任一點(diǎn)O作棱l的垂面g，設(shè)g∩a＝OA，g∩b＝OB，則∠AOB＝q(圖1)； (3) 利用三垂線定理或逆定理，過(guò)一個(gè)半平面a內(nèi)一點(diǎn)A，分別作另一個(gè)平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC，則∠ACB＝q 或∠ACB＝p－q(圖2)； (4) 設(shè)A為平面a外任一點(diǎn)，AB⊥a，垂足為B，AC⊥b，垂足為C，則∠BAC＝q或∠BAC＝p－q(圖3)； (5) 利用面積射影定理，設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形F的面積為S，F(xiàn)在平面b內(nèi)的射影圖形的面積為S，則cosq＝. 圖 1 圖 2 圖 3 2．空間的距離問(wèn)題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離． 求距離的一般方法和步驟是：一作——作出表示距離的線段；二證——證明它就是所要求的距離；三算——計(jì)算其值．此外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離． 求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置. ②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理. ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點(diǎn)在于找到面的垂線.解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面。作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“cosθ＝”求二面角否則要適當(dāng)扣分。 ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法. ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形最終求得所需的角與距離 求距離的關(guān)鍵是化歸。即空間距離與角向平面距離與角化歸，各種具體方法如下： （1）求空間中兩點(diǎn)間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形。 （2）求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法。